2.5.1 第2课时 求有关椭圆的轨迹方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第2课时求有) 学习目标 1.用坐标法探求有关椭圆的轨迹方程. 2.培养学生将实际问题情境抽象为数学 问题模型的能力 要点精析 川要点1与椭圆有关的实际问题应用 例1某隧道设计为双向四车道，车道 总宽22m.要求通行车辆限高4.5m,隧道 全长2.5km,隧道的拱线近似地看成半个椭 圆形状（如图2-5-1）.若最大拱高h为6m, 则隧道设计的拱宽1是多少米？ (单位：m) 图2-5-1 B变式训练① 某海域有A,B两个岛屿，B岛在A岛 正东40 n mile处，经多年观察研究发现， 某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰 好是A,B两岛，曾有渔船在距A岛正西 20 n mile发现过鱼群.某日，研究人员在A, B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探 第二章平面解析几何。 椭圆的轨迹方程 测信号（传播速度相同），A,B两岛收到鱼 群反射信号的时间比为5：3.你能否确定鱼 群此时分别与A,B两岛的距离？ 川要点2求有关椭圆的轨迹方程 求曲线方程的常用方法： (1)定义法；(2)直接法；(3)代入 法（相关点法） 思考探究V(x+c)+y=a+Cx的几何 特征 例2已知动点M(x,y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线1：x=25的距离的 4 比是常数号，求动点M的轨迹方程， 学(81 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 例2中的定点是椭圆的焦点，定直线 是准线.这也称为椭圆的第二定义，即椭圆 上的点到焦点的距离与到相应定直线（准 线)的距离的比值为常数（离心率） 变式训练2 已知点A(-V6,0),A2(V6,0), 直线PA,PA,的斜率之积为-6，设点P的 轨迹为曲线C,求曲线C的方程， 例3如图2-5-2，圆 C:(x+1)2+y2=25及点A(1, 0),Q为圆上一点，AQ的 垂直平分线交CQ于M,求 图2-5-2 点M的轨迹方程. 分析根据垂直平分线的性质，利用 椭圆定义法可求出轨迹方程」 82)学 反思感悟 在求动点的轨迹方程时，当发现动点 到两定点的距离之和为定值（大于两定点之 间的距离)时，由椭圆的定义知其轨迹是椭 圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求 出α，c,即可写出其方程，这种求轨迹方 程的方法称为定义法 P变式训练③ 已知两圆C1:(x-4)24y=169,C2:(x+4)2+ y=9,动圆在圆C内部且和圆C相内切， 和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程. 例4已知P是椭圆父+公=1上一动 4 8 点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨 迹方程为 反思感悟 Q点和P点的坐标之间满足某种关系， 因为点P在定曲线上运动，所以P点的坐 标适合定曲线方程，将其坐标(x,yo)代 入方程中，转化为关于点Q(x,y)满足的 方程，即为所求，称其为代入法 变式训练④ 已知圆C:x2+y2=8(y≠0)，从圆上任意 一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足，则 线段PP的中点M的轨迹方程为 数学文化 例如图2-5-3所示，椭圆有这样的光 学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经 椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦 点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲 第二章平面解析几何。 线C的方程为菩+号1，其左、右焦点分别 是F,F,直线1与椭圆C切于点P,且 PR=3,过点P咀与直线1垂直的直线r与 F,F2交于点M,则lFM:IFM= p切线-1 、法线 F F 图2-5-3 学(83-2+V3Y=1. b2 依题意有 解得5， 22X31 b2-15. b2 a心b>0,.方程组无解 综上，所术横园的标准方程为行芳1 方法二：设所求椭圆的方程为mx2+y2=1(m>0,> 0,m≠n), 1 3m+4n=1, 依题意有 解得 m15' 12m+n=1, 1 5 :所求前园的标准方程为后芳1 变式训练2解：(1）a=10,c=6,b2=d2-c2=64, :标园的标准方程为品后1或后而-山 (②)将桶圆9+436化为标准方程，得菩+亏 1,得焦点为(0，±V5),设经过点(2,3)且与椭 圆9x36有共同焦点的椭圆方程为芳+片1(@b 2-b2=5, 0),由题意，得4+9=1， 解得=15，b2=10,.所求 b22 防圆方程为品卡引 例3C【解析】如图所示，由椭圆及圆的方程可知两 圆圆心分别为A(-4,0),B(4,0),恰好是椭圆的两个 焦点，由椭圆定义知IPAI+PB=2a=10.连接PA,PB分别 与两圆相交于M1,N,两点，此时PM+PV,最小，最小 值为IPAI+PB引-2r=8:连接PA,PB并延长，分别与两圆 相交于M2,N2两点，此时PMl+HPWN2l最大，最大值为 IPA+|PB+2r=12.故选C. 例3答图 变式训练3B【解析】根据椭圆的方程知-8， -≤生P月受广--8，当且仅当 PF=PF时取等号.故选B. 例4证明：设A,B的坐标分别为(x,y)和(：， y2),因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不 参考答案。 平行于y轴，即1≠2，又交点P(0,0),故IPAI=PBI, 即(x-)P+yi=(x0)2+.① A,g在前国上，b空，-经， 将上式代入①，得2(6-t)x(G-)-2 x1≠2，可得。=t业.a2-b2 2 a2 -a≤≤a,-a≤≤a,且x1≠x2, -2akxtx2a,-b xx 4-62 a 数学文化 C【解标】由题意稀圆方程为若+卡1(o60, 排除BD. 矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的周长为 2(2a+2b)=4a+4b=72,a+b=18. 在椭圆兰+亡=1中，a=9,b=4,a+h=13,故A不 8116 满足题意」 0+后1中，a=10,b8.a6=18,清足 在椭圆 题意.故选C 第2课时求有关椭圆的轨迹方程 要点精析 例1解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点 P1,45.设殊圆方程为号+后-1 例1答图 将b=h=6与点P坐标代人椭圆方程， 得4y7,此时1-2-8y7326,因此隧 7 道的拱宽1约为33.26m. 变式训练1解：以AB的中点为原点，AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系（图略）. 设箭圆方程为号+茶-1（®60）且6=V. 焦点A的正西方向椭圆上的点距原点的距离为α， .∴a-c=20. 又AB1=2c=40,则c=20,a=40,故b=20V3, 51 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 鱼群的运动轨迹方程是10艺01 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3， 因此设此时距A,B两岛的距离分别为5k,3k, 由椭圆的定义可知5k+3k=2x40=80,..k=10. 即鱼群分别距A,B两岛的距离为50 n mile和 30 n mile. 例2解：直接法.根据题意，直接列出方程，化简 可得 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定 直线1：x=2的距离的比是常数4， ，平 号，即25[(-4P]=16x-空，整理可得9x+25y产 25,即动点M的氧迹方程为芳+号-1 变式训练2解：设P(x,y)(x≠±V6),由题意得 nV石'V6合，化商利若1生V6. :曲线C的轨迹方程为若+1(x≠±V6)。 例3解：由垂直平分线性质可知MO曰MAI,ICMI+MAI= ICMI+IMOI=ICOI,.ICMI+IMA=5 .M,点的轨迹为椭圆，其中2a=5,焦点为C(-1, 0，A1,0、c=1,-2斗，所求轨迹 方程为十 44 变式训练3解：如图所示，设动圆圆心为M(x,y), 半径为r. 变式训练3答图 由题意动圆M内切于圆C,MC=13-r. 圆M外切于圆C2,MC=3+r ..IMC +IMC=16>IC C2l=8. ∴.动圆圆心M的轨迹是以C,C2为焦点的椭圆， 且2a=16,2c=8,b2=2-c2-48. 故所求轨迹方程为女+上 64481. 52 例4+戈=1【解析】设Q(x,y),P(,o),由点Q 是线段0p的中点知w2,2草+号1,2 4 1,即+号1 8 变式训练4装+芳1≠0》【解析】设M, P(xo,yo). x0=x, M为垂线段PP的中点， lyo=2y. P点在圆C:x2+y=8上，P点坐标满足圆的方 程，即+=8,4(2y)=8,即+=10≠0). 82 数学文化 3:5【解析】由椭圆的光学性质得到直线'平分 ∠州，由角平分发定理如器-器，由横园定义 知PF=号，FPF=4,PF号，故FM:IRM=3:5. 2.5.2椭圆的几何性质 第1课时研究椭圆几何性质的思想方法 要点精析 网1解：由题流知，药圆的标准方程为号子1，江 3,b=2,c=V5,即长轴长为6，短轴长为4，焦距为 2V5,焦点坐标为(-V5,0),(V5,0),顶点 坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B(0,-2),B,(0,2),离 心率e=V5 3 变式训练1解：不妨设F,F分别是椭圆C的左、右 焦点，由M点在第一象限，△MFF是等腰三角形，知 IF MI-IF FI 又由椭圆方程6+苏1知，a6,b-2V了，6=4， 知IFF=2c=8,IFM+FM=2x6=12,所以IFM=8,IFM=4. 设M.0(0.20.则44后-64.解 (x0-4)2+y=16, 得xw=3,y=V5,即M(3,V15). 例2解：（①）由题意得椭圆的标准方程为亡+Y=1 mm m+3 由于m0,故m心3，即椭圆的焦点在x轴上，