2.5.1 第1课时 求椭圆的标准方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.5 椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 第1课时求椭圆的标准方程 D.线段FF2的垂直平分线 学习目标 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解 B变式训练① 决问题， 平面内，若点M(x,y)满足关系式 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的 Vx2+(y+3)2+Vx2+(y-3)2=4V3,则点M 标准方程. 的轨迹是() 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能 A.不存在 B.椭圆 运用标准方程解决相关问题， C.线段 D.直线 要点精析 川要点2 椭圆的标准方程 川要点1椭圆的定义及相关的概念 焦点位置 在x轴上 在y轴上 如果F,F2是平面内的两个定点，a是 标准方程 +存=1(a>b>0) 一个常数，且2a>FFl,则平面内满足PF+ lPF,=2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中， 图形 两个定点F,F称为椭圆的焦点，两个焦点 之间的距离FF,称为椭圆的焦距， 焦点坐标 (-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c) 思考椭圆定义中，将“2a>FF”改 a,b,c 为“2a<lFF”或“2a=FF”,其他条件不 a2-b2+c2 的关系 变，动点P的轨迹是什么？ 思考 (1)确定椭圆的标准方程需要 例1平面内，若点M到定点F(-1, 知道哪些量？ 0),F2(1,0)的距离之和为2，则点M的轨 (2)如何判断椭圆的焦，点位置？ 迹为() 例2分别求满足下列条件的椭圆的标 A.椭圆 准方程： B.直线FF (1)两个焦点的坐标分别为(-2,0)和 C.线段FF (2,0),椭圆上的点P到两焦点距离之和等 78)学 第二章平面解析八何。 于4V2; 川要点3与椭圆有关的最值问题 (2)经过点A(V3,-2)和点 与椭圆有关的最值问题涉及的知识点有 B(-2V3,1). 椭圆的定义、基本不等式和三点共线的几何 分析利用待定系数法求椭圆的标准 性质 方程，该解法的一般思路为：先确定焦，点 思考基本不等式的内容是什么？ 位置，设出椭圆的标准方程；如果不确定 焦点位置，则应分类讨论，再用待定系数 例3设P是精圆云+号1上一点，M, 法求出a,b的值. N分别是两圆：(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上 的点，则IPM+PN的最小值和最大值分别为 ( A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12 反思感悟 从条件看，动，点P在椭圆上，M,N分 反思感悟 别是两圆上的动点，背景是圆外的点到圆 若椭圆的焦点位置不确定，可用以下 上的点的距离最值问题.方法是以静制动， 两种方法：①分焦点在x轴上和在y轴上 发现两圆圆心是椭圆的焦点是关键，考查 两种情况讨论.②可设椭圆的方程为mx2+ 了椭圆的定义，动点P和两个圆心的距离 ny2=1(m>0,n>0,m≠n),由于m,n的 和是定值 大小不确定，所以焦点在x轴和y轴上的 情况都包含 变式训练③ B变式训练2 已知椭圆x +1的左、右焦点分别为 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： F,2,点P在椭圆上，则PFPF的最大 (1)a=10,c=6; 值是( (2)经过点(2,3)，且与椭圆9x2+42= A.2V2 B.8 36有共同的焦点. C.10 D.4V2 例4 卫知防圈号+点1(a60),4, B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线 与x轴相交于点P(o,0),证明-2-B<< a 学 79 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 a2-b2 a 数学文化 分析点在椭圆上，点的坐标满足椭 例古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面 圆方程. 切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于 圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆； 把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用 周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆 T,且T与矩形ABCD的四边相切.设椭圆T 在平面直角坐标系中的方程为荐+希(@心 b>0),下列选项中满足题意的方程为() A. B.= 8116 1681 c+4 D需+而 分析在平面图形中求解，利用圆锥 曲线的来源来理解矩形ABCD的四边与椭 圆相切，得到a,b的关系式. 80)学高中数学选择性必修第一册人教B版 .OM=(x,y),MN=(0,-y),MR=(0,-2-y), 由条件可得-y(-y-2)=x2+y2, 整理可得点M的轨迹方程为x2=2y. 例2解：以经过A,B的直 线为x轴，线段AB的垂直平 分线为y轴建立如图所示的平 面直角坐标系，则A(-1,0), B1,0,设点P,功别 例2答图 -V2,即x+)+-V2,整理可得+-6r+ 1V/(x-1)2+y2 1=0,即(x-3)2+y2=8,∴.点P的轨迹是以C(3,0)为圆 心，2V2为半径的圆. 变式训练2x号+(0-2八年【解折】由圆C:(x 1)2+(y-1)2=9,可知圆心C(1,1). 由圆的性质可知CP⊥PA,设AC的中点为 B3.2,则Bn-4G-×VI-24I-3=Y 2 动点P的轨迹为以B为圆，以V5为半径的圆， 2 即P的轨迹方程为x子+0-2八 例3C【解析】设P(x,y),R(x1,y), 已知A(1,0),由P是RA的中点， + 2， 则x=2-1,0 y=2y. 点R是直线1上的一个动点， ∴.点R的坐标满足直线1的方程，代人得y=2x-4.② 把①代人②得2y=2(2x-1)-4,即y=2x-3.故选C. 变式训练3解：设G(x,y),C(x,y),则h=x+3, -2+2+x1 X=- 3 x1=3x, 由重心坐标公式得 代入y=x+3 3’ y1=3y, 中得3y=9x2+3,即y=3x2+1.经检验，上式就是动点G的 轨迹方程。 数学文化 ABD【解析】设代，功由路}可得V+ =子V河，整理可得号++10，化为+房 产白，曲线E的圆心坐标为-子，0)，半径为号， 50 故A正确； 圆心号，0到点B1,0)的距离为号，号号 ≤≤弩+专，即号≤Pm≤4，放B正确： 3 圆的周长为2m,故C错误， 圆心到直线+W-10的距离为了0 V2 4Y2,.曲线E上的点到直线x+-1=0的最小距离为 3 4Y2-音号（V7-,放D正确故选ABD 3 >"2.5椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 第1课时求椭圆的标准方程 要点精析 例1C【解析】由IMF+MF=2=FF知，点M的轨迹 不是椭圆，而是线段FF故选C. 变式训练1B【解析】Vx++3严+Vx+-3=4V3 表示平面内点M(x,y)到点(0，-3)，(0,3)的距离 之和为4V3,而3-(-3)=6<4V3,.点M的轨迹是 椭圆.故选B. 例2解：(1)根据题意，设点P(x,y),F(-2,0), F2(2,0),则有IPF+PF=4V/2>FF=4. 结合椭圆的定义可得，点P的轨迹即是以F(-2, 0),F(2,0)为焦点的椭圆. 2a=4V2,因此b=d- c=2, c4,放点P的锁迹方程为营+学1. (2)方法一：①当焦点在x轴上时， 设栖圆的标准方程为号+后1（®b0, -1. a2 a2-15. 依题意有 解得 2Y5+. b2=5, 故所求箱圆的标准方程为后+兮1 ②当焦点在y轴上时，设桶圆的标准方程为号+斧 =1(a>b>0). -2+V3Y=1. b2 依题意有 解得5， 22X31 b2-15. b2 a心b>0,.方程组无解 综上，所术横园的标准方程为行芳1 方法二：设所求椭圆的方程为mx2+y2=1(m>0,> 0,m≠n), 1 3m+4n=1, 依题意有 解得 m15' 12m+n=1, 1 5 :所求前园的标准方程为后芳1 变式训练2解：(1）a=10,c=6,b2=d2-c2=64, :标园的标准方程为品后1或后而-山 (②)将桶圆9+436化为标准方程，得菩+亏 1,得焦点为(0，±V5),设经过点(2,3)且与椭 圆9x36有共同焦点的椭圆方程为芳+片1(@b 2-b2=5, 0),由题意，得4+9=1， 解得=15，b2=10,.所求 b22 防圆方程为品卡引 例3C【解析】如图所示，由椭圆及圆的方程可知两 圆圆心分别为A(-4,0),B(4,0),恰好是椭圆的两个 焦点，由椭圆定义知IPAI+PB=2a=10.连接PA,PB分别 与两圆相交于M1,N,两点，此时PM+PV,最小，最小 值为IPAI+PB引-2r=8:连接PA,PB并延长，分别与两圆 相交于M2,N2两点，此时PMl+HPWN2l最大，最大值为 IPA+|PB+2r=12.故选C. 例3答图 变式训练3B【解析】根据椭圆的方程知-8， -≤生P月受广--8，当且仅当 PF=PF时取等号.故选B. 例4证明：设A,B的坐标分别为(x,y)和(：， y2),因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不 参考答案。 平行于y轴，即1≠2，又交点P(0,0),故IPAI=PBI, 即(x-)P+yi=(x0)2+.① A,g在前国上，b空，-经， 将上式代入①，得2(6-t)x(G-)-2 x1≠2，可得。=t业.a2-b2 2 a2 -a≤≤a,-a≤≤a,且x1≠x2, -2akxtx2a,-b xx 4-62 a 数学文化 C【解标】由题意稀圆方程为若+卡1(o60, 排除BD. 矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的周长为 2(2a+2b)=4a+4b=72,a+b=18. 在椭圆兰+亡=1中，a=9,b=4,a+h=13,故A不 8116 满足题意」 0+后1中，a=10,b8.a6=18,清足 在椭圆 题意.故选C 第2课时求有关椭圆的轨迹方程 要点精析 例1解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点 P1,45.设殊圆方程为号+后-1 例1答图 将b=h=6与点P坐标代人椭圆方程， 得4y7,此时1-2-8y7326,因此隧 7 道的拱宽1约为33.26m. 变式训练1解：以AB的中点为原点，AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系（图略）. 设箭圆方程为号+茶-1（®60）且6=V. 焦点A的正西方向椭圆上的点距原点的距离为α， .∴a-c=20. 又AB1=2c=40,则c=20,a=40,故b=20V3, 51