第2章 学案34 椭圆的几何性质的综合应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 课 学案34椭圆的几何性质的综合应用 记 昆学习任务 1.进一步掌握椭圆方程及其性质的应用.（数学运算、逻辑推理) 2.了解椭圆在实际生活中的应用.（直观想象、数学运算） A.3,1 课堂活动 B.2+√5,2-√3 活动一探究椭圆中的最值问题 C.2,1 阄新知导学 D.√5+1，√5-1 阅读教材P139一140，完成下列问题， 2已知椭圆C5+6三1，F1,F?是其左、右焦 问题椭圆c,+ 62 =1的焦点F1(-c,0), 点，点Q(2,2),点P为椭圆上一动点，则 F2(c,0),P(xo,yo)是椭圆C上任意一点，你 |PF:十|PQ的最大值为 ,最小值为 能写出|PF1|,|PF2|的表示式吗？点P在什 么位置时，PF,|PF2取最大、小值？ 「方法总结」求解椭圆的最值问题的两种基本 方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何 特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是 几何法，解题的关键是能够准确分析出最值问题 所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及 对称知识求解. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确 厅新知生成 的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式 的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常 1.|PF:|与|PF2统称为焦半径，其最大值 用方法有配方法、换元法、判别式法、均值不等式 为 ,最小值为 法及函数的单调性法等. 2.P为 端点时，顶角0最大 活动二。掌握实际生活中的椭圆问题 今新知应用 今新知应用 1若稀圆C的方程为号+号=1，则该硒圆上 (多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球 的点到两焦点距离的最大、最小值分别为 的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知 ( 它的近地点A(离地心最近的一点)距地面 11102 椭圆的几何性质的综合应用学案34 mkm,远地点B(离地心最远的一点)距地面 2,已知椭圆C:。士1的右焦点为F,P是桶 听 nkm,并且F,A,B三点在同一直线上，地球 的半径约为Rkm,设该椭圆的长轴长、短轴 圆上任意一点，A(0,2√3)，则△APF周长的 记 长、焦距分别为2a,2b,2c,则 最大值为 ( y A.9+√21 B.7+23+5 C.14 D.15+3 1 x2+y2 3.(多选)设椭圆C:25十9 =1的左、右焦点分别 A.a-c=m+R 为F1,F2,P是C上的动点，则 B.a+c=n+R A.|PF|+|PF2|=8 C.2a=m+n B.|PF1|的最大值为9 D.b=√(m+R)(n+R) C,△PF,F2的面积的最大值为12 「方法总结」解决与椭圆有关的实际问题的 D.存在点P,使得PF1⊥PF2 思路 4.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆， 示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的 将原问题转化为数学问题. 椭圆组成的对称结构.某校体育馆的钢结构与 (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或 几何性质求出数学问题的解， “鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭 圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均 (3)用解得的结果说明原来的实际问题. 七课堂小结 为③ ,由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭 1.知识清单： ,则内层椭 1 圆引切线AC,若AC的斜率为- (1)椭圆中的最值问题. 圆的短轴长为 (2)实际生活中的椭圆问题， 2.方法归纳：转化法、数形结合. 3.常见误区：容易忽略实际问题中量的取值范围、 4课堂达标 图1 图2 A.75米 B.50√2米 1.P为椭圆C.若+y2=1上-点，410)，则 C.50米 D.25√2米 |PAI的最小值为 ( 5.(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”， 1 A.1 .2 是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航 天器，2019年9月25日，中国科研人员利用嫦 c 6 D. 娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，： 10310 人教B版数学选择性必修第一册 并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际 6.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运 科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现 动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道 记 假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在 定律，即所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆， 月球附近一点P变轨进人以月球球心F为一 且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕 个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P 太阳运行的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运行 点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆 的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离 轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭 与最近距离之比为2，则椭圆C的离心率 圆轨道I和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示 为 椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确 7.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱 的是 高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道， 车道总宽为8√7米，如果限制通行车辆的高度 不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应 是 米 6米 A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2一c2 &椭圆之 =1(a>b>0)的左焦点为F,直线 C.91<c2 x=m与椭圆相交于A,B两点，若△FAB的 周长最大时，△FAB的面积为bc,则椭圆的离 D.ez 心率为 al a2 课后反思 11104学案34椭圆的几何性质的综合应用 由于-1≤cos0<1,故当c0s0=号时，PA取最小值 3 3 课堂活动 故选D.] 活动一 2.C[由椭圆方程可得F(2,0), 设椭圆的左焦点为F1, 4 新知导学 问题提示：在椭圆方程的推导过程中可知PF,|=√(x。十c)2十y8 则F1(-2,0), =a十后，=a十e,根据精圈的定义PF,+PF,=2a, 又A(0,25), 则|AF|=|AF1=4, 4-32 得|PF2|=a-exo. 由题意可得△APF的周长为 一a≤x。≤a,.当xo=一a,即P为椭圆的左端点时， AF+AP+IPFI=6+4 |PF1|取最小值a一c,|PF2|取最大值a十c;当xo=a,即 +|AP|-IPF1I≤10+IAF 3 P为椭圆的右端点时，|PF,|取最大值a十c,|PF2|取最小 =14, -41 值a-c. 当且仅当A,P,F:三点共线时取等号，即点P在点P'处时 新知生成 取得最大值， 1.a+c a-c 即△APF周长的最大值为14. 2.短轴 故选C.] 新知应用 1.A[由题知a=2,b=√3， 3BCD【巴知描圆C:5十1的左、右焦点分别为EE 所以c=√/4-3=1， P是C上的动，点， 所以距离的最大值为a十c=3, 则a=5,b=3,c=4,对于A,|PF1|+|PF2|=2a=10,故A 距离的最小值为a一c=1.] 错误； 2.10+√510-√5[由题可知a=5,b=4,c=3, 对于B,PF1|∈[a-c,a+c],即|PF1|的最大值为9，故B ∴.F1(-3,0),F2(3,0) 正确； 如图所示，点Q在椭圆内部， 对子C△PP,R的面积的最大值为号×2cX6=12,故C 正确； 对于D,以F1F2为直径的圆的方程为x2十y2=16, 又以FF2为直径的圆与椭圆C有交点， 即存在点P,使得PF1⊥PF2,故D正确.故选BCD.] 点P为椭圆上的点， 则|PF,|+|PF2|=2a=10, 4B[内，外精回的离心率均为气，设内层精国的半怎轴长为 |PF11=10-|PF21, IPF11+1PQ|=|PQ1-IPF2|+10, b,e=c 又1川PQ|-|PF2|川≤|QFz1=5, ∴-5≤|PQ|-IPF2|≤5， 所以a=2b,则内层椭国方程为x 即|PF1+|PQ|∈[10-5,10+√5].] 由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引线AC,则AC 活动二 新知应用 的方程为y=-合（红+10)， ABD[,'地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可 代入内层椭圆方程可得x2+100x十5000一2b2=0, 得m=a-c-R, 可得△=10000-4(5000-2b2)=0,解得b2=1250. (n=a+c-R, 所以b=25√2,2b=50√2.故选B.] 六8知 5.BD[由题图可知，a1>a2c1>c2,所以a1十c1>a2十c2,所 以A错误； 故A,B正确； 在椭圆轨道I中可得a1一c1=|PF|,在椭圆轨道Ⅱ中可得 由①可得2a=m十n十2R,故C错误； PF|=a2-c2, 由①可得(m十R)(n十R)=a2-c2. 所以a1一c1=a2一c2,所以B正确， a2-c2=b2,.b2=(m+R)(n+R), a1十c2=a2十c1,等式两边同时平方得 ∴.b=√(m十R)(n+R),故D正确.] a+c+2a1c2=a2+c+2a2c1, 课堂达标 所以a号-c+2a1c2=a-c+2a2c1 1.D[设P(2cos0,sin0),0∈R,则|PA|=√/(2cos0-1)2+sin0 即b+2a1c2=b经+2a2c1, =√/4cos20-4cos0+1+sin20=√3cos20-4cos0+2 由题图可得，b1>b2, =√(s0-+， 所以2a,6<2a,会，所以C餐这，D正确.] 511■ 6了[银据题意，设椭圆C的发距为20，长铅长为2，所以地 活动二 新知导学 球轨道与太阳中心的最远距离为a十c,最近距离为a一c,所 问题3提示：以F1F2所在直线为x轴， 以a十C=2,即a=3c,e==3,故椭周C的离心率 线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立 a-c a 平面直角坐标系，如图所示， 为号] 此时双曲线的焦，点分别为F1（一c,0), 7.32[设椭圆方程为 F2(c,0),焦距为2c,c>0.设P(x,y)是 双曲线上一，点，则 9 I|PF1-|PF2I|=2a(a为大于0的常数)， 16×7 27 当，点(4√7,4.5)在椭圆上时 36 因为|PF1|=(x+c)+y2, 解得a=16, |PF2=W/(x-c)2+y2, "车辆高度不超过4.5米， 所以√(x+c)+y-√(x-c)'+y2=士2a,① .a≥16，d=2a≥32， 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 故拱宽至少为32米.] (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2), [设椭圆的右焦点为E(如图所示). y2 昏式两边同除以a(一a),得号。。 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0,类比椭 圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2,其中b>0,代入上 式，得y a2- =1(a>0,b>0. 由椭圆的定义得△FAB的周长为|AB|十|AF|十|BF =|AB|+(2a-|AEI)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-|AE 问题4提示，少 a2- 6=1(a>0,b>0). -BE. 新知生成 因为|AE|+|BE≥>|AB|, (a>0,b>0)(a>0,b>0)(-c,0),(c,0)(0,-c), 所以|AB|-|AE|一|BE≤0，当且仅当AB过点E时取 等号， (0,c)a2+b2 所以△FAB的周长为|AB|+AF|+|BF|=4a+|AB| 新知应用 |AE|-|BE|≤4a, 解：(1)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c=2√2. 所以△FAB的周长的最大值是4a, 此时△PAB的面取为S=号X2cX25-2-c, 藏双南线的标准方餐为号若-1a>06>0. aa 整理得a=2b 99-1 则有a2+b=c2=8.0 以e=÷(合--(T- 解得a2=3,b2=5. 故所求双曲线的标准方程为否- 学案35双曲线的标准方程 35=1. 课堂活动 (2)法一：若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为- a36=1 活动一 (a>0,b>0), 新知导学 问题1提示：双曲线，曲线上的点满足条件：MF一MF2川 因为点P(飞，)和Q(-9)在风南线上， 常数<|FF2. 9225 问题2提示：不是，是以F1,F2为端点的两条射线。 a216b2 =1, 所以 解得 a2=-16,(合去). 新知生成 25625 b2=-9 =1, 正常数<2a焦点焦距 9a2b2 新知应用 1.D[依题意得|F1F2=10, 若焦点在y轴上，测镜双南线的方程为兰一若=1a>0,0 当a=3时， >0), 因为|PF1-|PF2|=2a=6<|F1F2l, 2259 故，点P的轨迹为双曲线的右支； 将P,Q两点坐标代入可得 16a26-1, 当a=5时，2a=10=|F1F2|, 故点P的轨迹为一条射线.] 臣-1 2.C[由题意，知MN|=4,当a=1时，PM-|PN|=2a= 2<4,此时点P的轨迹是双曲线的一支； 解得2=9， 62=16, 当a=2时，PM|一|PN|=2a=4=|MN|,点P的轨迹为 以N为端点沿x轴向右的一条射线.] 所以双曲线的标准方程为上 916=1. 1152