2.5.2 第1课时 研究椭圆几何性质的思想方法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 鱼群的运动轨迹方程是10艺01 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3， 因此设此时距A,B两岛的距离分别为5k,3k, 由椭圆的定义可知5k+3k=2x40=80,..k=10. 即鱼群分别距A,B两岛的距离为50 n mile和 30 n mile. 例2解：直接法.根据题意，直接列出方程，化简 可得 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定 直线1：x=2的距离的比是常数4， ，平 号，即25[(-4P]=16x-空，整理可得9x+25y产 25,即动点M的氧迹方程为芳+号-1 变式训练2解：设P(x,y)(x≠±V6),由题意得 nV石'V6合，化商利若1生V6. :曲线C的轨迹方程为若+1(x≠±V6)。 例3解：由垂直平分线性质可知MO曰MAI,ICMI+MAI= ICMI+IMOI=ICOI,.ICMI+IMA=5 .M,点的轨迹为椭圆，其中2a=5,焦点为C(-1, 0，A1,0、c=1,-2斗，所求轨迹 方程为十 44 变式训练3解：如图所示，设动圆圆心为M(x,y), 半径为r. 变式训练3答图 由题意动圆M内切于圆C,MC=13-r. 圆M外切于圆C2,MC=3+r ..IMC +IMC=16>IC C2l=8. ∴.动圆圆心M的轨迹是以C,C2为焦点的椭圆， 且2a=16,2c=8,b2=2-c2-48. 故所求轨迹方程为女+上 64481. 52 例4+戈=1【解析】设Q(x,y),P(,o),由点Q 是线段0p的中点知w2,2草+号1,2 4 1,即+号1 8 变式训练4装+芳1≠0》【解析】设M, P(xo,yo). x0=x, M为垂线段PP的中点， lyo=2y. P点在圆C:x2+y=8上，P点坐标满足圆的方 程，即+=8,4(2y)=8,即+=10≠0). 82 数学文化 3:5【解析】由椭圆的光学性质得到直线'平分 ∠州，由角平分发定理如器-器，由横园定义 知PF=号，FPF=4,PF号，故FM:IRM=3:5. 2.5.2椭圆的几何性质 第1课时研究椭圆几何性质的思想方法 要点精析 网1解：由题流知，药圆的标准方程为号子1，江 3,b=2,c=V5,即长轴长为6，短轴长为4，焦距为 2V5,焦点坐标为(-V5,0),(V5,0),顶点 坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B(0,-2),B,(0,2),离 心率e=V5 3 变式训练1解：不妨设F,F分别是椭圆C的左、右 焦点，由M点在第一象限，△MFF是等腰三角形，知 IF MI-IF FI 又由椭圆方程6+苏1知，a6,b-2V了，6=4， 知IFF=2c=8,IFM+FM=2x6=12,所以IFM=8,IFM=4. 设M.0(0.20.则44后-64.解 (x0-4)2+y=16, 得xw=3,y=V5,即M(3,V15). 例2解：（①）由题意得椭圆的标准方程为亡+Y=1 mm m+3 由于m0,故m心3，即椭圆的焦点在x轴上， m+3,c2m-m2=m42m ∴.a=m,b2= m+3m+3 1/m+2m Yn3=,即m2-m0, a vm 2 又.m>0,故m=1. (2)由（1)知椭圆方程为4上=1， 1 4 4,c21-13 故1，b2= 44 故焦点坐标为3,0，Y3,0, 2 顶点坐标为(1,0，(1,0，(0,7,0，-3】 变武训练2证明：设P代，，则kk产 k①. 又P在椭圆上，：艺+答-1 整理有疗=-好-)②. 将2代人①，有=号 例3之【解析】设IFF=2e(c>0),由IPFI:FI:1 PF=4:3:2,得Prgc,PF号c,且PrbP,由 椭圆的定义可得2a=PF+lPF,4e,离心率c=7 变式训练3解：设AB=BC=x,由cosB=-7及余弦定理」 18 AC-AP-2AB-C-G ,40哥x 椭圆以A、B为焦点，故2c=AB=x,又椭圆经过 点C,1G+BG=+号x=2a=号x,e=合 5 8 2 a 4 8，故 离心率e=8 3 变式训练3答图 参考答案。 数学文化 100-3476-c, 2 ①③【解析】依题意 40.36-a. 即838=-6，解得0-198， 12138=a+c, c=150. 2c=300,①正确；2a=3976,②错误； 离心半台03对、③正确 ∴.正确的为①③ 第2课时点、直线与椭圆的位置关系 要点精析 例1B【解析】：点Aa,1)在椭圆若+亏-1的外 部，号+宁>1.解得ae0,V7)U(V7,+). 故选B. 变式训练1解：利用直线PA2斜率的取值范围确定点 P的变化范围，再利用斜率公式计算直线PA,斜率的取 值范围. 由题知，A(-2,0),A2(2,0),当PA2的斜率为-2 时，1m:y=-2(x-2)代入椭圆方程中，有19x2-64x+52= 0,解得x2(合)或治得P治，治，此时直线 PA,斜率为冬，同理，当直线PH,的斜率为-1时，得 P号，号》，此时直线P,的斜率为圣 所以直线PA,的斜率的取值范围是[令，子) 例2C【解析】由椭圆方程得，=4，b2=1,c2=3, 右焦点坐标为(V3,0),则直线1的方程为y=-V3. y=x-1V3, 设A(,,B62,2),联立2+1， 消去Y得， 52-8V348=0,则场=8y,=g,MB V1FVo4=V7×V8}-4x号 令，即弦AB的长为号故选C 变式训练2解：(1)V310A=2I0B1,.V3a=2b, 又由-c,消去6得a2ae,解得台号 53N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.5.2 椭圆的几何性质 第1课时 研究椭圆几何性质的思想方法 例1求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、短 学习目标 轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 1.了解研究椭圆几何性质的思想方法. 2.掌握椭圆的简单几何性质，并正确地 画出图形 3.理解离心率对椭圆扁平程度的影响。 要点精析 川要点1椭圆的简单几何性质 反思感悟 标准 x2 方程 +京=1(a>>0) F+=l(>b>0) x (1)用标准方程研究椭圆几何性质的 步骤：①将椭圆方程化为标准形式；②确 ! 定焦点位置；③求出a,b,c;④写出椭圆 图形 的几何性质 B (2)a,b,c分别应为长半轴长、短半 轴长、半焦距 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心： (0,0) 变式训练1 焦点 F(-c,0),2(c,0)F(0,c),F(0,c) 设F,乃为精圆C:G元1的两个焦 焦距 IF Fl-2c 点，M为C上一点且在第一象限，若△MFF 顶点 A(-a,0),A2(a,0),A(0,-a),A2(0,a), B1(0,b),B2(0,b)B(-b,0),B2(b,0) 为等腰三角形，求M点的坐标 轴长 长轴MA=2a,短轴1B1B=2b 离心率 e=c∈(0,1) a 思考 椭圆的一个焦点、中心和短轴 的一个端点构成了一个直角三角形，称为 椭圆的特征三角形，特征三角形三条边长 满足的关系式是什么？ 84)学 第二章平面解析八何。 川要点2利用椭圆的几何性质解题 变式训练2 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与 P为椭圆号+卡-1(ab0)上的任意一 2 坐标无关的本身固有性质，如长轴长、短轴 长、焦距、离心率等，它反映了椭圆的范 点，A(-a,0),B(a,0). 围、对称性、扁平程度等；另一类是与坐标 求证：kphm 有关的性质，如顶点、焦点等，它反映了椭 圆及其特殊点的位置 思考前网号+芳-1(o60)上任意 一点P(x,y)(y≠0)与两焦点F,F2构成 的△P℉F称为焦点三角形，其周长为多少？ 例2已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0) 的离心率e=V 2 川要点3求椭圆的离心率 (1)求m的值； 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比 (2)求椭圆的焦点坐标、顶点坐标. e=e,称为椭圆的离心率 a 思考为什么离心率影响椭圆的扁平 程度？ 例3设椭圆的两个焦点分别为F,F2, 若椭圆上存在点P满足IPF:IFF:PF=4: 3:2,则椭圆的离心率等于 分析设F,Fl=2c(c>0),由题意可得 PR号，PF告， 再由椭圆的定义即 可求解 反思感悟 反思感悟 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方 求椭圆离心率的两种方法： 程通常用待定系数法.根据已知条件“选标 (1)直接法：若已知a,c,可直接利 准，定参数”，其一般步骤为：①确定焦点 用e=c求解.若已知a,b或b,c,可借助于 所在的坐标轴；②求出2，b2的值；③写 出标准方程. a=b2+c2求出c或a,再代入公式e=c求解. a 学 85 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)方程法：若a,c的值不可求，则 数学文化 可根据条件建立a,b,c的关系式，借助 于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程， 例嫦娥四号月球探测器于2018年12 再将方程两边同除以α的最高次幂，得到 月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星 关于e的方程，即可求得e的值 发射中心发射.12日下午4时43分左右， 嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点 变式训练③ 的椭圆形轨道，如图中轨道3所示，其近月 在△ABC中，AB=BC,cosB=8, 若 点与月球表面距离为100km,远月点与月 球表面距离为400km,已知月球的直径约 以A,B为焦点的椭圆经过C,求该椭圆的 为3476km,对该椭圆：①焦距长约为 离心率 300km;②长轴长约为3988km;③离心 率约为75.上述结论正确的是 994 3绕月飞行 环月降轨4 鹊桥 2 近月制动 图2-5-4 分析根据已知条件求得椭圆对应的 a,C, 由此确定正确答案」 86)学