2.4 第2课时 求曲线方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第2课时 学习目标 1.初步掌握求曲线方程的方法步骤 2.初步掌握由曲线方程研究曲线性质的 方法。 3.领悟坐标法和解析几何的思想 要点精析 川要点1直接法求曲线方程 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐 标(x,y),然后根据题目中的等量关系列 出x,y之间的关系并化简.主要有以下两类 常见题： (1)题日给出等量关系，求轨迹方程， 可直接代入即可得出方程 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹 方程，可利用已知条件及曲线的几何性质寻 找等量关系，得出方程。 :思考求出曲线的方程后要注意什么？ 例1在平面直角坐标系xOy中，点B 与点A(-1,1)关于原点O对称，点P是动 点，且直线AP与BP的斜率之积为写，则 点P的轨迹方程为() A.3x2+y2=4(x≠±1) B.3x2+y2=1(x≠±1) C.x2+32=4(x≠±1) D.x2+3y2-1(x≠±1)》 第二章平面解析几问。 求曲线方程 分析 由题意可知，点B坐标，设P(x, y), 将k=k= x-1 (x≠±1)代入 KAp'kBp=- 中并化简即可得到点P的轨迹 3 方程 P变式训练① 设动点M在直线y=O和y=-2上的射影 分别为点N和R,已知MN·MR=OMP,其 中O为坐标原点，求动点M的轨迹方程： 川要点2定义法求曲线方程 某动点的轨迹如符合直线、圆、圆锥 曲线的定义，则可根据定义得到动点的轨 迹方程 思考求动点的轨迹方程与求其轨迹 有何区别？ 例2阿波罗尼斯证明过这样一个命 题：平面内到两定点距离之比为常数k(k> 0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆 称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B 间的距离为2，动点P清足附-V7,求 点P的轨迹方程与其轨迹」 学 高中数学选择性必修第一册人教B版 分析以经过A,B的直线为x轴，线 段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 标系，设点P(x,y),根据已知条件可得出 ,点P的轨迹方程， 反思感悟 在求轨迹方程之前，首先建立适当的 平面直角坐标系，建系的方法需要积累。 ⑧变式训练2 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点 A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中 点P的轨迹方程为 川要点3相关点法（代入法）求曲线方程」 若动点满足的条件不方便用等式表示， 但动点是随着另一动点（称之为相关点）的 运动而运动，且相关点满足的等量关系是明 显的，这时我们可以用动点的坐标表示相关 点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程， 求得动点的轨迹方程. 思考中点坐标公式和三角形的重心 坐标公式是什么？ 例3已知点A(1,0),直线l:y=2x 4,点R是直线I上的一个动点，若P是RA 的中点，则点P的轨迹方程为() A.y=-2x B.y=2x-6 C.y=2x-3 D.y=2x+4 (76)学 分析设P(x,y),R(x,y),由中点 坐标公式把x,y用x,y表示，再把(x, y)代入已知直线方程即可， 反思感悟 相关点法（代入法）求解曲线方程的 步骤： (1)设动点P(x,y),相关动点M(xo, Yo). (2)利用条件求出两动点坐标之间的 [xf(x,y), 关系 yog(x,y). (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程」 B变式训练③ 已知定点A(-2,0),B(2,0)和曲线 y=x2+3上的动点C,若点G是△ABC的重 心，求动点G的轨迹方程 数学文化 例（多选题）古希腊著名数学家阿波 罗尼斯（约公元前262一前190）与欧几里 得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》 八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比 为定值入（入≠1）的点所形成的图形是圆 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿 波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中， 4(-1,0,B,0点P清起路-子设 点P所构成的曲线为E,下列结论中正确的 有() A曲线E的圆心坐标为了，0 B.4≤IPB1≤4 3 C.曲线E的周长为π D.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最 小距离为号(V2-1) 分析设P(x,y),利用两点间的距 离公式求出点P所构成的曲线方程E,然 后逐一判断即可. 第二章平面解析几何。 反思感悟 著名的阿波罗尼斯圆给出了圆的另一 种定义方式，它是讨论一动点与两定点的 距离之间的关系，为后面研究椭圆、双曲 线的定义奠定了基础 学(77轴夹角平分线上的点的轨迹方程是+y=0. 变式训练1A【解析】设曲线F(x,y)=0和F(x,y)= 0的交点P的坐标为(x,yo), 因此有F(o,y%)=0且B(xo,o)=0,因此F(, ya)-F2(xo,a)=0, .曲线F(x,y)-F(x,y)=O必定经过P点，故选A. 例2①③【解析】将方程中的x换成-x,y换成-y,方 程不变，.曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中 的x换成y,y换成x,方程变为y+x2=1与原方程不同， 故②错误；在曲线C上任取一点M(ao,yo),+=l,≤ 1,≤后，x后+≥x+y=1,即点M在圆x2+y2-1上或 圆外，故③正确.故正确的结论的序号是①③. 变式训练20【解析】根据题意，曲线C:x+(a+1)y2+ ay-b0(a是常数)关于x轴对称，则(x,-y）和(x,y) 都在曲线C上，则有x+(a叶1)y2+-b=x+(a叶1)y2-ay-b, 变形可得2y=0,必有=0. 2x-5y+5=0,① 例3解：建立方程组 =-10,② 由①②消去y,得 2x2+5x+50=0,③ △=25-4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组 无实数解，因此曲线C1:2x-5y45=0与曲线C:y=-10无 交点 变式训练3解：(1)两曲线的交点坐标满足方程组 xsin0+ycos0=1, [x2=sin0+cos0. 解得 x'cos0-y'sin0=1, ly2=cos0-sin0. 有4个不同交点等价于x>0且y>0,即 sin0+cos0>0. cos0-sin0>0. 又因为0<c号，所以6的取值范围为0、平 (2)由(1)知，两曲线4个交点的坐标满足方程x+ -2co00k0k4, 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为= V2cos00<0k年. 因为c00在0，牙上是诚函数，所以由cos0=l, cos晋=竖，得r的取值范围为(Z,V2). 5 例4D【解折】MN中点Q-多，0，k子=号 21 ∴线段MN的垂直平分线方程1：y-2+弓， 参考答案。 即l:y=-2x-3. 对于①， [0y=-2-3, 方程组无解，P点不存在。 14x+2y-1=0, 对于②， y-2x-3, 得5x2+12+6=0, x2+y2=3, 4=144-120=24>0,.方程有两解， 存在点P满足题意。 1y=-2x-3, 对于③， x2 2+1, 得(3+4-0，=号 .存在点P满足题意. y=-2x-3, 对于④， 得(7x+10)(x+2)=0. =9,g-2,存在点P满足题意：故述D 数学文化 CD【解析】根据题中图形可得，曲线C有四条对称 轴x=0,y=0,y=±x,故A错误； 由4 (x2+y2)-16x3y2 可得x2=y2=2,即圆x2+y2=4与曲线 C:(x2+2)=16xy相切于点(V2,V2),(V2, -V2),(-V2,V2),(-V2,-V2),(x2+y2) 16xy内切于圆x2+y24,故曲线C上任意一点到坐标原点 0的距离的最大值为V2+2=2,故C正确；圆x2+y2=4位 于第一象限的整点只有(1,1)，但(12+12)3=8≠16，.曲 线C在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C在 第二、三、四象限也不过整点，又：(0,0)显然在曲线 (x2+y2)=16xy2上，.曲线(x2+y2)=16xy2只过一个整点，故 B错误；设曲线C上的任一点的坐标为(x,y),则过该 点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积y,由 (x24y2)3=16xy2可得16x3y2=(x2+y2)3≥8lxy,当且仅当x卡 y=V2时，等号成立，.xy≤2，故D正确.故选CD. 第2课时求曲线方程 要点精析 例1C【解析】点B与点A(-1,1)关于原点0对 称，B(1,-1) 设P,,则，s,x≠+1，且 号一品号，4 3y2-4(x≠±1)， .点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).故选C. 变式训练1解：设M(x,y),则N(x,0),R(x,-2) 49 高中数学选择性必修第一册人教B版 .OM=(x,y),MN=(0,-y),MR=(0,-2-y), 由条件可得-y(-y-2)=x2+y2, 整理可得点M的轨迹方程为x2=2y. 例2解：以经过A,B的直 线为x轴，线段AB的垂直平 分线为y轴建立如图所示的平 面直角坐标系，则A(-1,0), B1,0,设点P,功别 例2答图 -V2,即x+)+-V2,整理可得+-6r+ 1V/(x-1)2+y2 1=0,即(x-3)2+y2=8,∴.点P的轨迹是以C(3,0)为圆 心，2V2为半径的圆. 变式训练2x号+(0-2八年【解折】由圆C:(x 1)2+(y-1)2=9,可知圆心C(1,1). 由圆的性质可知CP⊥PA,设AC的中点为 B3.2,则Bn-4G-×VI-24I-3=Y 2 动点P的轨迹为以B为圆，以V5为半径的圆， 2 即P的轨迹方程为x子+0-2八 例3C【解析】设P(x,y),R(x1,y), 已知A(1,0),由P是RA的中点， + 2， 则x=2-1,0 y=2y. 点R是直线1上的一个动点， ∴.点R的坐标满足直线1的方程，代人得y=2x-4.② 把①代人②得2y=2(2x-1)-4,即y=2x-3.故选C. 变式训练3解：设G(x,y),C(x,y),则h=x+3, -2+2+x1 X=- 3 x1=3x, 由重心坐标公式得 代入y=x+3 3’ y1=3y, 中得3y=9x2+3,即y=3x2+1.经检验，上式就是动点G的 轨迹方程。 数学文化 ABD【解析】设代，功由路}可得V+ =子V河，整理可得号++10，化为+房 产白，曲线E的圆心坐标为-子，0)，半径为号， 50 故A正确； 圆心号，0到点B1,0)的距离为号，号号 ≤≤弩+专，即号≤Pm≤4，放B正确： 3 圆的周长为2m,故C错误， 圆心到直线+W-10的距离为了0 V2 4Y2,.曲线E上的点到直线x+-1=0的最小距离为 3 4Y2-音号（V7-,放D正确故选ABD 3 >"2.5椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 第1课时求椭圆的标准方程 要点精析 例1C【解析】由IMF+MF=2=FF知，点M的轨迹 不是椭圆，而是线段FF故选C. 变式训练1B【解析】Vx++3严+Vx+-3=4V3 表示平面内点M(x,y)到点(0，-3)，(0,3)的距离 之和为4V3,而3-(-3)=6<4V3,.点M的轨迹是 椭圆.故选B. 例2解：(1)根据题意，设点P(x,y),F(-2,0), F2(2,0),则有IPF+PF=4V/2>FF=4. 结合椭圆的定义可得，点P的轨迹即是以F(-2, 0),F(2,0)为焦点的椭圆. 2a=4V2,因此b=d- c=2, c4,放点P的锁迹方程为营+学1. (2)方法一：①当焦点在x轴上时， 设栖圆的标准方程为号+后1（®b0, -1. a2 a2-15. 依题意有 解得 2Y5+. b2=5, 故所求箱圆的标准方程为后+兮1 ②当焦点在y轴上时，设桶圆的标准方程为号+斧 =1(a>b>0).