训练二十六 曲线与方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练二十六 曲线与方程 基础练 固应周 6.设P是曲线2x^}-=1上的一动点,0为$ 坐标原点,M为线段OP的中点,则点M 1.已知坐标适合方程f(x,y)三0的点都在 的轨迹方程为 . 曲线C上,那么 ( 7.(2022·日照高二期中)在平面直角坐标系 A. 曲线C上的点的坐标都适合方程 xOy中,若曲线y=4一x^{}与直线y=m f(x,y)-0 有且只有一个公共点,则实数的值为 B.不在C上的点的坐标必不适合f(x,)-0 C. 凡坐标不适合f(x,v)一0的点都不在 8.已知圆C:(x-1)*}+y-1,过原点O作圆 C上 的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程 D.不在C上的点的坐标有些适合f(x,y) -0,有些不适合f(x,y)一0 2.方程x②一xy=0表示的曲线是 -~_ __ A.双曲线 B.双曲线与一条直线 C.一条直线 D.两条直线 3.在直角坐标平面内,曲线x一1|士 x+1 十y一4围成的图形面积为 。 _ A.12 B.16 C.20 D.24 4.曲线y=- 1-x*与曲线y+x=0的$ 公共点的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 5.平面直角坐标系xOy中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC= aOA+gOB,其中a,BER且a+8=1,则 点C的轨迹方程为 _ _ A.(x-1)*+(y-2)*-5 B.3x+2-11-0 C.2x--0 D.x+2-5-0 51 高中数学·选择性必修 第一册(RJB 9.已知动点M在曲线x^{}十v一1上移动, 13.已知圆x^{}+^}=4上一定点A(2,0) M和定点B(3,0)连线的中点为P,求P B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上异于点 点的轨迹方程 A的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程 (2)若 PBQ=90{*},求线段PQ中点的勃 迹方程. 能力练 周 10.如果把一个平面区域内两点间的距离的最 大值称为此区域的直径,那么曲线 y= 4-^*围成的平面区域的直径为 ( _ 创新练 A.2 B.4 C.8 D.2/17 14.如图,在四梭锥P-AB 11.(2022·德州高二期末)方程y-1= CD中,侧面PAD为正 3-(x一2)^{}所表示的曲线的长度是 三角形,底面ABCD为 正方形,侧面PAD底 B.23n A.6π 面ABCD,M为底面ABCD内的一个动 点,且满足MP=MC,则点M在正方形 C.23x十4V3 D.6n+12 ABCD内的轨迹为 1___.(填序号) 12.已知M(-2,0),N(2,0),点P(x,y)为坐 #### 标平面内的动点,满足|MN|·MP|+ MN·NP-0,则动点P的轨迹方程为 ① ② ③ ④ 5212.解析 法一 设经过两圆交点的圆的方程为 14.解 (1)把圈C:x十y十8x-4y=0的方程化为(十 $#+y-4-6+(r+y-4y-6)-0(-1, 4)+(y-2)-20. 4 所以圆心C(-4,2),半径为2/5.因为O(0,0),所以 所以回心&标为(). oC的中点为(-2,1),h=-2. 因为圆心在直线--4-0上,所以1 2-4 由已知条件得,所求直线与直线人,垂直,且经过 2_ OC的中点(-2,1). 即直线经过点(一2,1),且斜率k一2,所以所求直线方 -0,即-一 ~_l 程为y-1-2(x+2). 故2x一y+5一0即为所求的直线方程. 所以所求园的方程为x+y{-6x十2y-6-0. (2)由(1)得:直线AB的方程为2x-y十5-0. 法二 由{ AB的距离为a-一. +y-4y-6-0. 由点到直线的距离公式可得,圆心O(0,0)到直线 的方程为y一工. 5 解得 因为圆O和圆C关于直线对称,所以圆O的半径与 1y.二-1,) 1-3. C的半径相等,为2/5. 所以两回r+y-4r-6-0和x+y-4y-6-0的 所以弦长AB-2 --2(2v)-v) 交点坐标分别为A(-1,-1),B(3,3), -2/15. 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为 y-1--(vr-1,即r+y-2-0. 要使八ABP的面积最大,只需点P到直线AB的距离 {2二得{ (-3. 最大, 由 -y-4-。.y--1, 结合图形可知,当PO|AB时,△ABP的面积最大, 即所求圈的圆心坐标为(3,一1). 此时点P到直线AB的距离为25+5-35. 半径为(3-3)+[3-(-1]-4. 此时△ABP的面积为s-×2v15×35-15V3. 所以所求圈的方程为(x-3)十(y+1)-16 所以△ABP面积的最大值为15③. 答案(r-3)+(y+1)-16 训练二十六 曲线与方程 13.解(1)设A(x,y),M(x,y)..'M为AB中点, 1.解析 根据题意可以举例方程/(x,y)一0为x十y-1( 乙4 >0),曲线C为单位圆,可知方程表示的曲线为曲线C的 . 得x-2x-4,y-2y. # 一部分,结合选项知A.C.D都不正确,只有B正确. 答案 B 2.解析 因为x-xy-0,即x(x-y)-0,所以x-0或 ?点A在圈C上..+(y+2)-4. x一y,因此表示的曲线是两条直线,故选D. '(2-4+(2y+2)-4,化简得(r-2)+(+1D=1. 答案D '点M的轨迹C,的方程为(x-2)十(y+1)-1. 3.解析 当x1时,|y|-4 (2)由直线l;mx-y+m-1-0(mER)可化为y+1= -2r; n(x+1),所以直线1过定点P(-1,-1),P在圆 当一1r1时,yl-4; C.内,C(0.-2). 当x<-1时,1y-4+2x. 当直线71CP时,CD有最小值, 作出图形如图: 又CP=①+T-/②,圆C的半径为2,所以 所以曲线围成的图像的面积 CD-22-②-2② 答案 A 1#消去y得-1-- 4.解析 联立 /的方程为x-y-0. /_ 二-1x, (3)·CC-5且1<3.两相交. r+y+4y-0. ① ,+-4+2y+4-0. ② ①-②得4x+2y-4-0,即2x+y-2-0,故公共弦所 在的直线方程为2r十y-2-0. #的公共点。为(#},#和(##,)## 答案 B 因为圆C的半径为2, 5.解析 设点C(x,y),则OC一(x.y). 以公共孩长为2#-#、##4# 因为A(3,1).B(-1,3),所以OA-(3.1),0B-(-1.3). 所以OC-。0A+8oB-(3a-3.a+33)-(x,y).所以 {1=3a-8 又a+g-1,所以+2y-(3a-})十2(a+ .公共弦长为. -3. 88 3-5a+5B-5,即点C的轨迹方程为x+2-5-0. 那么曲线 y|-4-工^围成的平面区域的直径为8. 答案 D 答案C 6.解析 设M(x,y),P(x,y),因为M是线段OP的中 11.解析 因为方程lyl-1- 3-(r-2). 2. 所以ly -1 0,所以y1或y -1.将原式变形可 点,则有 1y。-2y. 得(x-2)}+(|yl-1)一3,所以曲线为两个半圆,半 径为/③,所以曲线的长度为C-2π×③-2/3π -1上.2--1,即8-4y-1. 答案 B 答案 8x-4y-1 12.解析 由题意,知MN-(4.0).MN|-4.MP-(x十 7.解析 .曲线y=4一r是以原点0(0,0)为圆心,2 2.y),NP-(x-2.y). 为半径的半圆(:轴及上侧). 与直线L:y一m(L/x轴)有且只有一个公共点,如图: 由 MN|. MP|+MN·NP-0. 得4 (x+2)+y+4(x-2)-0,化简整理,得y 一8x. 答案 y二-8x 13.解(1)设AP的中点为M(x,y). 由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x一2.2y). 因为P点在圈x+-4上,所以(2x-2)+(2y)-4. '由图像可知,一2. 答案2 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)+y-1(x2). 8.解 如图,设OQ为过O点的一 (2)设PQ的中点为N(x,y). 条弦,P(x,y)为其中点,连接 在Rt△PBQ中,PN=BN . CP,则CPOQ 设O为坐标原点,连接ON,则ON|PQ. 设M为OC的中点,则M的坐 M C(1.0) 所以OP -ON +PN -ON|+|BN . 标为(). 所以x+y+(x-1)+(y-1)-4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x+y-x-y-1-0. :/OPC-90”, 14.解析 符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平 .PM-.- 面AC的交线,③④不正确. .动点P在以点M(.o)为圆心,OC为直径的圆上, 故所求轨述方程为(c-)+y-(0<<1). 9.解设P(x,y),M(x,y),因为P为MB的中点,所以 123 A (r.-2r-3. 1 2 根据题意可知PD一DC, -2y. 则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点, 又因为M在曲线t+y-1上, 且满足MP一MC”,设AB的中点为N,连接PN,DN. 取PC的中点E,连接NE,DE,所以DE PC 所以(2x-3)+4y-1. 所以P点的轨方程为(-3)+-1. 因为乎面PAD |底面ABCD,AB |AD. 所以AB1平面PAD,所以AB PA. 10.解析 曲线ly一4一x”,等价于 因为PA-BC,AN=NB.PAB= CBN. {y_4-”,→0如图: 所以△PAN△CBN..PN-CN. y-x-4,y0. 点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点,且满足 MP-MC”,且NE PC,所以PC 平面EDN. 当M点在线段DN上运动时,都有DN1ME,且E是 中点,总有MP一MC, 所以点M在正方形ABCD内的轨迹是线段DN,所以 ①正确,②不正确。 答案① 训练二十七 圆的标准方程 1.解析 设圆C的右焦点是F。,坐标原点为O. 由圆的定义得|MF |+|MF。|-2a 2c, 则点P的轨迹是以F,O为焦点的圆,故选B 由图形可知,上下两个顶点之间的距离最大为8 答案 B 89