2.4 第1课时 曲线与方程的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.4曲线与方程 第1课时曲线与方程的概念 分析只有点和方程的解一一对应， 学习目标 才能说曲线是方程的曲线、方程是曲线的 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义. 方程。 2.了解曲线与方程的对应关系 3.了解用曲线方程研究曲线性质的方法 4.会求两曲线的交点。 要点精析 川要点1曲线的方程与方程的曲线 反思感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲 的解，即直观地说“点不比解多”，称为 线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系： 纯粹性 (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x, (2)以这个方程的解为坐标的，点都在 y)=0的解 曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为 (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点 完备性 都在曲线C上。 则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线， 变式训练1 方程F(x,y)=0为曲线C的方程， 设曲线F(x,y)=0和F,(x,y)=0的交 思考如果曲线C的方程是F(x,y)= 点为P,那么曲线F(x,y)-F2(x,y)=0必定 0,且P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一 点，用集合的特征性质描述法如何表示曲 A.经过P点 线C? B.经过原点 例1分析下列曲线上的点与相应方程 C.不一定经过P点 的关系： D.经过P点和原点 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线 与方程x=2之间的关系； 川要点2用曲线方程研究曲线性质 (2)第二、四象限两轴夹角平分线上的 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个 点与方程x+y=0之间的关系， 方面： 72)学 第二章平面解析八何。 (1)研究曲线的组成和范围，即看一下 川要点3曲线的交点问题 所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的， 在某些情况下可以根据方程求得方程所表示 求两曲线的交点的一般方法 曲线的大致范围 (1)求两曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0 (2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果 F(x,y)=0, 的交点，实际上是求方程组 相交，求出交点的坐标，曲线与坐标轴的交 G(x,y)=0 点是确定曲线位置的关键点 的实数解.交点的个数实际上是方程组 (3)研究曲线的对称性（关于x轴、y F(x,y)=0, 实数解的个数.方程组有几对 轴、原点). G(x,y)=0 (4)研究曲线的变化趋势，即y随x的 实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程 增大或减小的变化情况. 组无实数解，那么这两条曲线就没有交点 (5)根据方程画出曲线的大致形状，在 (2)如果只涉及曲线的一部分，那么常 画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过 用数形结合的方法 列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的 例3已知曲线C:2x-5y+5=0,C2: 图象，然后根据对称性画出整条曲线， r、10 判断两曲线有无交点.若有交点， 例2已知曲线C的方程是x+y2=1.关 求出交点坐标；若无交点，请说明理由 于曲线C的几何性质，给出下列三个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线=x对称； ③曲线C所围成的区域的面积大于π 其中，所有正确结论的序号是 反思感悟 研究曲线的对称性：将x换为-x,y不 变，原方程不变，则曲线C关于y轴对称； 将y换为-y,x不变，原方程不变，则曲线 C关于x轴对称；将x换为-x,y换为-y, 原方程不变，则曲线C关于原点对称；将 x换为y,y换为x,原方程不变，则曲线C 反思感悟 关于直线y=x对称. 可以把求两曲线的交点坐标的问题转 P变式训练2 化为解方程组的问题，把讨论交点的个数 问题转化为讨论方程组解的个数问题，即 已知曲线C:x4+(a+1)y2+ay-b=0(a∈ 用代数方法研究几何问题。 R)关于x轴对称，则a= 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练3 数学文化 设0<0<受，曲线in0+o0=l和 例 （多选题)曲线C:(x2+y2)3=16x2y2 为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥 x2cos0-y2sin0=1有4个不同的交点， 的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交 (1)求0的取值范围： 桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的 (2)证明这4个交点共圆，并求圆半径 1 转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行 的取值范围。 驶环道后自右侧汇入高速公路，四条环形匝 道就形成了苜蓿叶的形状.给出下列结论， 正确的有( 例4已知两点M1,,N-4,- 给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0;②x2+y2= 图2-4-1(A) 图2-4-1(B) 3:③号1：④号1在曲线上存在点 A.曲线C只有两条对称轴 B.曲线C经过5个整点（即横、纵坐 P满足IMP=WNPI的所有曲线方程是( 标均为整数的点) A.①③ B.②④ C.曲线C上任意一点到坐标原点O的 C.①②③ D.②③④ 距离都不超过2 分析点P满足MPI=IWPI,则，点P在 D.过曲线C上的任一点作两坐标轴的 线段MW的垂直平分线上，此题转化为线 垂线与两坐标轴围成的矩形面积最 段MN的垂直平分线l与题中的曲线是否有 大值为2 公共点P的问题. 74)学高中数学选择性必修第一册人教B版 (3)方法一：圆C的圆心(1，-5)到直线x-2y+ 4-0的距离d=1-2x(-5)+41=3V5,公共弦长为 V12+(-2) l=2V-f=2V50-45=2V5】 方法二：设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足 方程组 -2y+4=0,解得。”或0， x2+y2+2.x+2y-8=0, y=2, ..ABl= V(-4-0)+(0-2)7=2V5.即公共弦长为2V5 变式训练2B【解析】设P(x,y),则圆0：x2+y=4, 且AP=(x+3,y),BP=(x,y-4),由AP1BP,得AP. mx+3)+y04)=r443x40.即圆C:+P+ G-2空，放点P的轨迹是以，2为圆心，子为 半径的圆，圆心距00-V多2=多，nn-2+多 号，m号2分rns00o,两圆相交，满足 条件的点P有2个.故选B. 例3x+1=0(或7x-24y-25=0,3x+4y-5=0)【解析】方 法一：几何直观法.根据圆心和半径关系可知，x=-1既 是圆x2+y2=1的切线，也是圆(x-3)2+(y-4)2=16的切线 故x=-1为所求！ 方法二：几何直观法.两圆圆心距为5，圆心的连线 方程为y=号，代人2+圹1，求得交点坐标为 (号，专)，人号，)，故两个圆的公共点为 (号，专)，从面公切线可取过点（号，号），且与两个 圆，心的连线垂直的直线，故)广子x+为所求。 方法三：待定系数法，上面两个方法已经求出了两 圆的一条外公切线和一条内公切线，设另一条外公切线 1的斜率为k 由两个圆心的连线方程)广号：与一1联立，可求两 条外公切线的交点为-山，一号，则1的方程为)=kx+6 专，圆心00.0到1的距离为19-子 V/2-1 解得子放子总为所求 变式训练3解：把已知两圆的方程相减，即得两圆的 一条公切线的方程为2ax-y-10a+8=0. 由于两圆相切时，圆x2+y2=4的圆心(0,0)到公 48 切线的距离等于半径2，即10a+81一=2,5r- V(2a+(-a 10a+4=0,a=1±V5 5Γ 「注]本题也可以利用圆心距与半径求解 数学文化 A【解析】画出 x2+y2≤4， A={x,)+0-1)2≤1或2+g+1≥1， x≤0 表示的区域，如图阴影部分」 由=34，得)圣+子，当直线y子+导与 圆x2+0y-1)21相切时，如图，此时：的值最大，此时圆 心(0,1)到直线3x+4-=0的距离为1,4=1 132+42 解得z=9或z=-1（舍），2mm=9. 当直线)-子+子与圆4护-4相切时，如图，此 时z的值最小. 由圆心(0,0)到直线3x+4y-z=0的距离为2，得 上-=2，解得8=10（舍）或z=-10,2m-10, V3+4 .·z=3x+4y的最大值与最小值之和为9+(-10)=-1， 故选A. 例题答图 >"2.4曲线与方程 第1课时曲线与方程的概念 要点精析 例1解：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点 的坐标都是方程xl=2的解，但以方程lx=2的解为坐标的 点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.如点 (-2,0)满足方程x=2,但点(-2,0)不在直线x=2上. 因此，=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程. (2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满 足x+y=0:反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第 二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两 轴夹角平分线上的点的轨迹方程是+y=0. 变式训练1A【解析】设曲线F(x,y)=0和F(x,y)= 0的交点P的坐标为(x,yo), 因此有F(o,y%)=0且B(xo,o)=0,因此F(, ya)-F2(xo,a)=0, .曲线F(x,y)-F(x,y)=O必定经过P点，故选A. 例2①③【解析】将方程中的x换成-x,y换成-y,方 程不变，.曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中 的x换成y,y换成x,方程变为y+x2=1与原方程不同， 故②错误；在曲线C上任取一点M(ao,yo),+=l,≤ 1,≤后，x后+≥x+y=1,即点M在圆x2+y2-1上或 圆外，故③正确.故正确的结论的序号是①③. 变式训练20【解析】根据题意，曲线C:x+(a+1)y2+ ay-b0(a是常数)关于x轴对称，则(x,-y）和(x,y) 都在曲线C上，则有x+(a叶1)y2+-b=x+(a叶1)y2-ay-b, 变形可得2y=0,必有=0. 2x-5y+5=0,① 例3解：建立方程组 =-10,② 由①②消去y,得 2x2+5x+50=0,③ △=25-4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组 无实数解，因此曲线C1:2x-5y45=0与曲线C:y=-10无 交点 变式训练3解：(1)两曲线的交点坐标满足方程组 xsin0+ycos0=1, [x2=sin0+cos0. 解得 x'cos0-y'sin0=1, ly2=cos0-sin0. 有4个不同交点等价于x>0且y>0,即 sin0+cos0>0. cos0-sin0>0. 又因为0<c号，所以6的取值范围为0、平 (2)由(1)知，两曲线4个交点的坐标满足方程x+ -2co00k0k4, 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为= V2cos00<0k年. 因为c00在0，牙上是诚函数，所以由cos0=l, cos晋=竖，得r的取值范围为(Z,V2). 5 例4D【解折】MN中点Q-多，0，k子=号 21 ∴线段MN的垂直平分线方程1：y-2+弓， 参考答案。 即l:y=-2x-3. 对于①， [0y=-2-3, 方程组无解，P点不存在。 14x+2y-1=0, 对于②， y-2x-3, 得5x2+12+6=0, x2+y2=3, 4=144-120=24>0,.方程有两解， 存在点P满足题意。 1y=-2x-3, 对于③， x2 2+1, 得(3+4-0，=号 .存在点P满足题意. y=-2x-3, 对于④， 得(7x+10)(x+2)=0. =9,g-2,存在点P满足题意：故述D 数学文化 CD【解析】根据题中图形可得，曲线C有四条对称 轴x=0,y=0,y=±x,故A错误； 由4 (x2+y2)-16x3y2 可得x2=y2=2,即圆x2+y2=4与曲线 C:(x2+2)=16xy相切于点(V2,V2),(V2, -V2),(-V2,V2),(-V2,-V2),(x2+y2) 16xy内切于圆x2+y24,故曲线C上任意一点到坐标原点 0的距离的最大值为V2+2=2,故C正确；圆x2+y2=4位 于第一象限的整点只有(1,1)，但(12+12)3=8≠16，.曲 线C在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C在 第二、三、四象限也不过整点，又：(0,0)显然在曲线 (x2+y2)=16xy2上，.曲线(x2+y2)=16xy2只过一个整点，故 B错误；设曲线C上的任一点的坐标为(x,y),则过该 点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积y,由 (x24y2)3=16xy2可得16x3y2=(x2+y2)3≥8lxy,当且仅当x卡 y=V2时，等号成立，.xy≤2，故D正确.故选CD. 第2课时求曲线方程 要点精析 例1C【解析】点B与点A(-1,1)关于原点0对 称，B(1,-1) 设P,,则，s,x≠+1，且 号一品号，4 3y2-4(x≠±1)， .点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).故选C. 变式训练1解：设M(x,y),则N(x,0),R(x,-2) 49