2.3.4 圆与圆的位置关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析八何。 2.3.4 圆与圆的位置关系 则方程组解的个数与两圆的位置关系 学习目标 如下： 1.理解圆与圆的位置关系的种类 方程组解的个数 2 1 0 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方 两圆的公共点 法与几何判断方法，能够利用上述方法判断 的个数 2 0 两圆的位置关系. 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的 方法和它的优越性 思考将两个相交的非同心圆的方程 x2+y+Dx+E+F=0(i=1,2)相减，可得一 要点精析 直线方程，这个直线方程具有什么样的特 川要点1圆与圆位置关系的判定 殊性呢？ 例1已知圆C1:x2+2-2ax-2y+a2-15= 1.几何法：若两圆的半径分别为r1,2, 0,圆C2:x2+y2-4a-2y+4a2=0(a>0).试求a 两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判 为何值时，两圆C,C2的位置关系为： 断方法如下： (1)相切；(2)相交；(3)外离； 位置关系 图示 d与r,r2的关系 (4)内含. 外离 d>r+r2 外切 d=r+r2 相交 Ir-r<d<ri+r2 内切 d=n-2 内含 d<r-r 变式训练1 2.代数法：设两圆的一般方程为C1: 已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆C2: x2+y2+Dx+Ey+F1=0(D+E-4F>0) 4x2+4y2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线 C2:x2+y2+Dx+E2y+F2=0(D3+E-4F>0), 的条数为() x+y2+Dx+Ey+F=0 联立方程组 A.1或3 B.4 x2+y2+D2x+Ey+F2=0, C.0 D.2 学(69 高中数学选择性必修第一册人教B版 要点2两圆的公共弦问题 川要点3两圆相切 1.求两圆公共弦长的方法 解决两圆相切问题的步骤 (1)联立两圆方程求出交点坐标，再用 (1)定性，即必须准确把握是内切还是 距离公式求解. 外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切 (2)先求出两圆公共弦所在的直线方 还是外切两种情况讨论 程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构 (2)转化思想，即将两圆相切的问题转 成的直角三角形求解 化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对 2.过两圆的交点的圆的方程 值（内切时）或两圆半径之和（外切时）· 已知圆C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C2: 例3与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16 x2+y2+Dx+E2+F2=0相交，则过两圆交点的 都相切的一条直线的方程为 圆的方程可设为x2+y2+Dx+E0y+F1+入(x2+y2+ 分析本题以两个已知圆为背景，通 D2x+E2y+F)=0(入≠-1). 过圆的方程可以确定两个圆的位置关系是 例2已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和 相外切，因而公共切线有三条.但题目只要 x2+y2+2x+2y-8=0. 求写出满足条件的其中一条即可，所以利 (1)判断两圆的位置关系； 用几何直观，可以迅速作答.也可以利用待 (2)求公共弦所在的直线方程； 定系数法建立方程求解 (3)求公共弦的长度， B变式训练③ 已知圆x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0与圆 x2+y2=4相切，求a的值 变式训练② 已知点P在圆0：x2+y2=4上，点A(-3, 0),B(0,4),则满足AP⊥BP的点P的个 数为() A.3 B.2 C.1 D.0 70)学 第二章平面解析九何。 数学文化 点(x,y)∈A,则z=3x+4y的最大值与最小 值之和为（ 例太极图被称为“中华第一图”.从 A.-1 B.19 孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记 C.1 D.20 物：从道袍、卦摊、中医、气功到武术 分析首先画出集合A所表示的区域， …太极图无不跃居其上.这种广为人知的：结合图形，平移直线=3x+4y可得到，当 太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起， 直线与阴影部分相切时取得最值，利用，点 因而被称为“阴阳鱼太极图”.在某个太：到直线的距离公式即可求得. 极图图案中，阴影部分可表示为集合A= x2+y2≤4， (x,y)2+(y-1)2≤1或x+y+1)2≥1，.设 x≤0 学（71故b的取值范围是[-2V√3，V15]. 变式训练2解：由直线l:mx+y+3m-V3=0,.直 线1过定义(-3，V3),圆心0到直线l的距离d= I13m-V31 Vm2+1 如图，由AB1=2V3,在半弦长、d和半径构成的 直角三角形中，有P+(V3)=12,即3m-V3+ Vm2+1/ (V3)212,解得m=-V3 3 YA B 变式训练2答图 又直线1的斜率为-m=Y写，∠BC- 6 在Rt△CDE中，CD=AB=2V3x2=4. V3 故CD的长度为4. 例3解：设圆的圆心P(a,b),半径为r,则点P到x 轴、y轴的距离分别为bl,lal. 由题知，圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°， 知圆P截x轴所得的弦长为V2r,故2=2b.① 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以户二-㎡+1.② 由①、②，得2b2-㎡=1.③ 又点P(a,b)到直线-2=0的距离为d=a-2 V5 ..5dP=la-2bP=a+4b2-4ab ≥2+4b2-2(2+b2)=2b2-2=1. 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5dP=1, 从而d取得最小值. 由此有=b, 、得1或-1， 2b2-2=1, b=-1. 于是=2b2知=V2. 于是所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)P+(+ 1)2=2. 数学文化 A【解析】如图所示，设动点C(x,y),则 V(+2)+y7=2V(x-2)2+y, 化简可得-9x40,化为标准方程可得圆P一 参考答案。 x9-g 91 例题答图 ∠DPE=2∠DFE=60°，IPEI=HPDI,则△DPE为等边 三角形，过圆心P作PG⊥DE于点G,则IPG=PElsin60° 4V3 41V3_sin∠PAG=鼎=6=V3 PAI16'4之，cs∠PAG 3 V3 V1-孕F-Y里，k=tLP4G=4=V ，4 4 1313 4 故选A 2.3.4圆与圆的位置关系 要点精析 例1解：圆C1,C2的方程经配方后可得C:(x-a)P+(y 1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, .圆心C(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,2=1, ..lCC2l=V(a-2a)2+(1-1=a. (1)当1C,C=r+=5,即5时，两圆外切；当1C,C,= 1-2=3,即a=3时，两圆内切. (2)当3<1C,Cl<5,即3<a<5时，两圆相交. (3)当1CC>5,即a>5时，两圆外离. (4)当1CC<3,即a<3时，两圆内含. 变式训练1D【解析】对两个圆的方程配方得圆C: (-1产(+21及圆G:(-2产4(0*1户=子，则圆心距 d=GGV=V7.l<V2<+分，放两个圆 相交，则这两个圆的公切线有2条.故选D. 例2解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C: (x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,∴.圆C1的圆 心坐标为(1，-5)，半径为=5V2,圆C2的圆心坐 标为(-1，-1)，半径为r=V10. .IC Cal=2V5 r+r2=5V2+V10,Ir-r2l=15V2- V10l,∴.r-2l<lCC2<+n2,.两圆相交 (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 x-2y+4=0. 47 高中数学选择性必修第一册人教B版 (3)方法一：圆C的圆心(1，-5)到直线x-2y+ 4-0的距离d=1-2x(-5)+41=3V5,公共弦长为 V12+(-2) l=2V-f=2V50-45=2V5】 方法二：设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足 方程组 -2y+4=0,解得。”或0， x2+y2+2.x+2y-8=0, y=2, ..ABl= V(-4-0)+(0-2)7=2V5.即公共弦长为2V5 变式训练2B【解析】设P(x,y),则圆0：x2+y=4, 且AP=(x+3,y),BP=(x,y-4),由AP1BP,得AP. mx+3)+y04)=r443x40.即圆C:+P+ G-2空，放点P的轨迹是以，2为圆心，子为 半径的圆，圆心距00-V多2=多，nn-2+多 号，m号2分rns00o,两圆相交，满足 条件的点P有2个.故选B. 例3x+1=0(或7x-24y-25=0,3x+4y-5=0)【解析】方 法一：几何直观法.根据圆心和半径关系可知，x=-1既 是圆x2+y2=1的切线，也是圆(x-3)2+(y-4)2=16的切线 故x=-1为所求！ 方法二：几何直观法.两圆圆心距为5，圆心的连线 方程为y=号，代人2+圹1，求得交点坐标为 (号，专)，人号，)，故两个圆的公共点为 (号，专)，从面公切线可取过点（号，号），且与两个 圆，心的连线垂直的直线，故)广子x+为所求。 方法三：待定系数法，上面两个方法已经求出了两 圆的一条外公切线和一条内公切线，设另一条外公切线 1的斜率为k 由两个圆心的连线方程)广号：与一1联立，可求两 条外公切线的交点为-山，一号，则1的方程为)=kx+6 专，圆心00.0到1的距离为19-子 V/2-1 解得子放子总为所求 变式训练3解：把已知两圆的方程相减，即得两圆的 一条公切线的方程为2ax-y-10a+8=0. 由于两圆相切时，圆x2+y2=4的圆心(0,0)到公 48 切线的距离等于半径2，即10a+81一=2,5r- V(2a+(-a 10a+4=0,a=1±V5 5Γ 「注]本题也可以利用圆心距与半径求解 数学文化 A【解析】画出 x2+y2≤4， A={x,)+0-1)2≤1或2+g+1≥1， x≤0 表示的区域，如图阴影部分」 由=34，得)圣+子，当直线y子+导与 圆x2+0y-1)21相切时，如图，此时：的值最大，此时圆 心(0,1)到直线3x+4-=0的距离为1,4=1 132+42 解得z=9或z=-1（舍），2mm=9. 当直线)-子+子与圆4护-4相切时，如图，此 时z的值最小. 由圆心(0,0)到直线3x+4y-z=0的距离为2，得 上-=2，解得8=10（舍）或z=-10,2m-10, V3+4 .·z=3x+4y的最大值与最小值之和为9+(-10)=-1， 故选A. 例题答图 >"2.4曲线与方程 第1课时曲线与方程的概念 要点精析 例1解：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点 的坐标都是方程xl=2的解，但以方程lx=2的解为坐标的 点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.如点 (-2,0)满足方程x=2,但点(-2,0)不在直线x=2上. 因此，=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程. (2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满 足x+y=0:反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第 二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两