2.2.2 第2课时 直线方程的两点式、截距式及一般式-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 第2课时 直线方程的 学习目标 1.会用直线方程的两点式、截距式表示 直线，并明确这两种形式的方程的使用条件. 2.会将直线方程的四种形式化成一般式. 3.能将直线方程的各种形式互相转化. 4.能根据不同的已知条件采用不同的方 程形式表示直线： 5.能根据一般式方程写出直线的一个法 向量，并且依据法向量会写直线方程， 要点精析 川要点1直线方程的两点式 1.两点确定一条直线 如果已知直线上两点P(x1,y),P(, 2),当x1≠x2,y1≠y2时，直线方程可以表 示为二山=-.我们把这个方程称为直线 y2-y1X2-x1 的两点式方程 反思感悟 (1)利用直线方程的两点式表示直线 时，给出的两点P(x1,y),P(x2,2)需 要满足条件x1≠x2,y1≠y2时才能使用，即 直线方程的两，点式不能表示与坐标轴垂直 的直线。 (2)当x1=x2时，直线方程为x=x1; 当y时，直线方程为yy 2.直线方程两点式的推导 由P(x1,y1),P(x2,y2)可知，当x1≠ 时，直线的斜率k=2=Y，又过点P(x, 2一X1 44)学 两点式、截距式及一般式 $$y _ { 1 } \right) ，$$ ，根据直线的点斜式方程可得直线方程为 $$y - y _ { 1 } = \frac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } \left( x - x _ { 1 } \right)$$ $$y _ { 1 } e { y _ { 2 } }$$ 时，上述方程可化为 $$\frac { y - y _ { 1 } } { y _ { 2 } - y _ { 1 } } =$$ $$x - x _ { 1 }$$ $$x _ { 2 } - x _ { 1 }$$ 当 $$x _ { 1 } = x _ { 2 }$$ 或 $$y _ { 1 } = y _ { 2 }$$ 时，直线方程为 $$x = x _ { 1 }$$ 或 $$y = y _ { 1 } .$$ 思考你能不进行讨论推导出直线方 程 程的两点式吗?试着推导一下. 反思感悟 (1)直线的两点式方程体现了“两点 确定一条直线”的数学理念. (2)两点式方程体现了方程结构上的 对称美，方便记忆，我们还可以把两点式 方 方程看成一个比例关系式. 思考 $$\left( x - x _ { 1 } \right) \left( y _ { 2 } - y _ { 1 } \right) = \left( y - y _ { 1 } \right) \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right)$$ 与 $$\frac { y - y _ { 1 } } { y _ { 2 } - y _ { 1 } } = \frac { x - x _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } }$$ 相同吗? y2-y X2-x1 1 例1 已知三角形的三个顶点分别是 A(-5，0)，B(3，-3)，C(3，2)，求这个三 角形的三边所在的直线方程. 分析 已知两点坐标，若 $$x _ { 1 } e { x _ { 2 } } ， y _ { 1 } e$$ $$y _ { 2 } ，$$ ，可以直接用两点式求直线的方程. 例2已知△ABC 中，A(-8,2),AB边 上中线CE所在的直线 A 方程为x+2y-5=0,AC 边上中线BD所在的 图2-2-2 直线方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程. 分析若想求出边BC所在的直线方 程，依题知，直线BC的斜率不易求出，因 此突破口一定要求出B点、C点坐标。 川要点2直线的截距式方程 直线1经过点A(a,0),B(0,b),且 a≠0，b≠0，可知a,b分别是直线l在x 轴、y轴上的截距，称x+￥=1为直线的截 a b 距式方程 反思感悟 截距式是两点式的特殊情况，所以截 :距式不能表示垂直于坐标轴的直线；又因 :为ab≠0，所以截距式也不能表示过原点的 直线」 第二章平面解析几何。 例3根据下列条件，求直线的方程 (1)过点(0,5)，且在两坐标轴上的 截距之和为2； (2)过点(5,0)，且在两坐标轴上的 截距之差为2. B变式训练① 经过点(1,2)，且在x轴和y轴上的 截距相等的直线有几条？请写出这些直线的 方程。 川要点3直线方程的一般式 1.直线方程可以统一写成Ax+By+C=0 的形式，其中A,B,C是实常数，且A2+ B2≠0. 我们把上面方程称为直线方程的一般式. 学(45 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 (1)平面上的任意一条直线可以用一 个关于x,y的二元一次方程来表示，反 之，关于x,y的二元一次方程一定表示一 条直线： (2)数学运算时，最后结果一般将直 线方程化为一般式方程，习惯上把A化成 一个大于0的常数。 思考有同学说，要想用直线方程的 一般式求直线，需要知道三个条件才行.想 一想，这个观点正确吗？为什么？ 2.直线的一个法向量坐标 如果直线l的一般式方程为Ax+By+C=0 (A+B2≠0)，则v=(A,B)是直线的一个法 向量 证明：设P(xo,yo)为直线l上一个固 定的点，P(x,y)为直线I上任意一点，则 Ax0+Byo+C=0,① Ax+By+C=0,② ②-①可得A(x-o)+B(y-yo)=0. 记v=(A,B), 则v与向量PP=(x-xo,y-)垂直， y=(A,B)是直线l的一个法向量 反思如果直线1的一般式方程为Ax+ By+C=0(A2+B2≠0)，则 v=(A,B)是直线I的一个法向量， a=(B,-A)是直线l的一个方向向量. 3.直线方程的点法式 A(x-)+B(y-yo)=0,这个方程称为直线 方程的点法式. 46)学 例4已知△ABC的三个顶点分别为 A(1,2),B(-2,1),C(0,-1),求BC边 上的高所在直线的方程， 分析直线BC与高垂直，.BC是高 所在直线的一个法向量.利用法向量的坐标 和这条直线上的已知点A,用点法式可以 写出直线的方程 B变式训练2 已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y 轴的正方向分别交于A,B两点，当BM= 2AM时，求直线l的方程. 第二章平面解析几何。 数学文化 例除了直线的点斜式、斜截式、两点 式、截距式、一般式方程外，还有一种形式 的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个 定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直 线的点斜式方程本质上是一致的 设直线l经过点P(xo,yo),a=(m,n) 是它的一个方向向量，P(x,y)是直线1上 的任意一点，则向量PP与a共线.根据向量 共线的充要条件，存在唯一的实数t,使PP =a,即(e-oyo2(m,n,÷xm,① y=Yolnt. 在这个式子中，实数t是对应点P的参变 量，简称参数.把方程①称为直线的参数 x=1+2t, 方程.已知直线1的参数方程为 (t y=2-3t 是参数)： (1)请写出直线1的一个方向向量； (2)请写出直线1的一般式方程， 分析根据参数方程的推导过程可以 写出直线的一个方向向量，将参数方程中 的参数t消掉，即可得到直线的一般式方程. 学(47高中数学选择性必修第一册人教B版 0,b>0,矛盾，故A错误；由l1得a<0,b>0,而由l2 得a>0,b>0,矛盾，故B错误；由l得a>0,b<0,而 由l2得a<0,b>0,矛盾，故C错误；由11得a心0，b>0, 由2得a>0,b>0,故D正确.故选D, 例4解：由直线的斜率为子，可设直线的方程为)= 子xb.令x0,得)=b:令y0,得x=-告.由题意知 b+号0+1V-0=2.61+号61+号6I2. b=±3.所求直线的方程为)=子+3或)=}-3. 变式训练4解：设1：1-k-2)(0,则A2,0, B(0,1-2k) 由s31-2)2-G =44≥24+2V-)-石] =4, 当且仅当4=-冬，即=-子时等号成立， .△AOB的面积的最小值为4，此时1的方程是x+ 2y-4=0. 数学文化 解：由题可知弹簧的长度1与物体的重量G成线 性关系.由所挂物体的重量每增加1N,弹簧就伸长 1.5cm可知所求直线的斜率k=1.5,又.弹簧挂4N的 物体时，长20cm,可知直线过点(4,20).由直线方程 的点斜式可知方程为1-20=1.5(G-4),化简得1=1.5G+14. 第2课时直线方程的两点式、截距式及一般式 要点精析 例1解：由两点式得三角形的AB边所在直线的方程 为鼎骨。整理可得)令发同理可得三角 形的AC边所在直线的方程为)子+？. B,C两点的横坐标相等，.直线BC与x轴垂直， .边BC所在的直线方程为x=3. 例2解：设B6,则AB中点E8,空2)、 2xw-5y+8=0, 2xw-5yo+8=0,xw=6, 由已知8+22-5-0xt2140 12 2 同理得C5,0),由两点式8， .直线BC方程为y=4x-20. 38 例3解：(1)由直线过点(0,5)，即直线在y轴上 的截距为5，设直线方程为七+￥=1.由题可知a+5=2, a 5 解得-3，直线方程为与+芍=山，即)=号+5 (2)由直线过点(5,0)，即直线在x轴上的截距 为5，设直线方程为号+方=1 由题可知b-5=2或5-b=2,解得b=7或b=3, 直线方程为芳+片1或芳+分山，即y了+7 或)=-子+3 变式训练1解：若直线过原点，则直线在两轴上的截 距为0，满足题意. 由直线经过点(1,2)，.直线的斜率为2，此时直 线方程为y=2x, 若直线不经过原点，由直线在两轴上的截距相等， 可设直线方程为龙+Y=1. a a 又直线经过点(1,2)，+2=1，=3，直 aa 线方程为y=3-x. 综上，截距相等的直线有两条，分别为y=2x和y= 3-x. 例4解：由已知BC=(2,-2).BC=(2,-2)就是BC 边上的高所在直线的法向量，又：所求直线经过点 A(1,2),所求直线方程为2(x-1)-2(y-2)=0,即x- y+1=0. 变式训练2解：如图，过点M作MN⊥OA于点V,故 △4△1Bo,0-0-H-号由M2.） 可得MM=1,NOI=2,.AO=BOI=3,故A(3,0),B(0, 3),直线1的方程为号+了=1，即x+-3=0. NA 变式训练2答图 数学文化 解：(1)直线1的一个方向向量a=(2,-3). +2可得-2， (2)由 y=2-3t y-2=-3t. 当2时。两式相除可得骨号 化简可得3x+2y-7=0. 经检验当y=2时对应点P(1,2)也在直线1上， .直线1的一般式方程为3x+2y-7=0. 2.2.3两条直线的位置关系 第1课时两条直线的位置关系 要点精析 例1解：(1)由题知直线1,2的斜率分别为k1=1, k=-1,k1≠2，.直线l1,2相交 解方程组-0， 得 3x+3y-10=0 多 “直线1,6的交点坐标为号号引 (2)由题知1,2的斜率分别为k=3,k2=3,截距分 别为6=4，b子6：且61≠b,直线，k平行 (3)由题知.么的斜率分别为=子，=子 截距分别为6子，6g子k=:且6=c,直线1， 重合 变式训练1解：(1)由两点的斜率公式可知直线的 斜*=品1，又直线么的斜率=1，k。由 直线过点B(-1,0),直线l2过点P(1,0),直线11 与12平行. (2)由两点的斜率公式可知直线1，的斜率k=0 -2-3 行，又：直线的斜率=4，k≠，直线与 相交，此时这两条直线不平行 例2解：方法一：由2x+3y+5=0可知直线的斜率k= -弓直线1的斜率也为-号又：直线1过点A1,1), 由点斜式方程可知直线1的方程为y-1-号(-1，即 2x+3y-5=0. 方法二：由2x+3y+5=0可知直线的一个法向量= (2,3),.直线1的一个法向量也为(2,3)·又直 线1过点A(1,1),由直线方程的点法式可知直线1的 方程为2(x-1)+3(y-1)=0,即2x+3y-5=0. 方法三：由直线1与直线2x+3y+5=0平行，可设直线 l的方程为2x+3y+D=0.又.直线1过点A(1,1),.2x1+ 3×1+D=0,解得D=-5.∴.直线l的方程为2x+3y-5=0. 参考答案。 变式训练27x-2y-13=0【解析】由直线1平行于直线 7x-2y-3=0,可设直线1的方程为7x-2y+D=0.又.·直线 1过点(3,4)，.7x3-2x4+D=0,解得D=-13,.直线1 的方程为7x-2y-13=0. 例3解：(1)由l1:x+1=0,l2:y-1=0可知，直线 (Lx轴，直线l2∥x轴，∴直线⊥2 (2)由l:(V2+1)x+y=3, 2:x-(V2-1)y-1=0可知， A4+BB=V2+1-(V2-1)=2≠0， .直线11与2不垂直 变式训练3解：经检验，A(1, A(1,2) 2)不在已知的两条高线上. 设AC边上的高BD所在的 直线为2-3y+1=0,AB边上的高 CE所在的直线为x+y=0. 设B(x,y),则B点在直线 变式训练3答图 BD上， 2x-3y+1=0①， 由于AB⊥CE,kBk-l, -2(-10=-1,m-2=-1②， -1 x=-2, 联立①②解得 B(-2,-1), y=-1, 由于点C在直线x+y=0上，设C(:,y2, 则2+y2=0③， 且如1.号1④ 联立③④，解得7， y2=-7, .C(7,-7), .BC直线方程为2x+3y+7=0. 例4解：方法一：由直线x-2-20可知其斜率为了， ·.直线1的斜率k=-2. 又.·直线1过点（1,0)，根据直线方程的点斜式， 直线1的方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0. 方法二：由直线x-2y-2=0可知它的一个方向向量 a=(2,1),则此向量是直线l的法向量. 又直线1过点(1,0)，根据直线方程的点法式 有2(x-1)+(y-0)=0,即2x+y-2=0. 方法三：直线1可设为-2x-y+D=0, 又直线1过点(1,0)，∴-2×1-0+D-0, 解得D=2,∴.直线l的方程为2x+y-2=0. 变式训练4(-4,2)【解析】由内角∠ABC的平分线 所在直线方程为2x-y+10=0知，点B在直线2x-y+10= 39