2.2.2 第2课时 直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程 知识点一　直线的两点式方程、截距式方程 1．经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线在x轴上的截距是(　　) A．－10 B．10 C． D．－ 答案：A 解析：由A(－3，2)，B(4，4)，得直线的两点式方程为＝，整理，得y－4＝，再令y＝0，解得x＝－10. 2．已知直线l的两点式方程为＝，则直线l的斜率为(　　) A．－ B．－ C．－3 D．3 答案：A 解析：解法一：将原方程整理，得y＝－x－3，所以直线l的斜率为－. 解法二：由题意知，直线l过点(－3，2)，(0，－3)，所以直线l的斜率为＝－. 3．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．183 B．182 C．181 D．180 答案：A 解析：因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1.由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1＝183.故选A. 4．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1或y＝x C．x－＝1 D．x－＝1或y＝x 答案：B 解析：当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝x；当直线不过原点时，可设其截距式方程为＋＝1，由该直线过点(5，2)，解得a＝6，故直线方程为＋＝1.综上，直线方程为y＝x或＋＝1.故选B. 知识点二　直线的一般式方程 5．直线l：x＋y＋2026＝0的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：D 解析：因为直线l：x＋y＋2026＝0，所以直线l的斜率k＝－，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝－，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 6．如果AC<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：∵直线的斜率k＝－<0，截距b＝－>0，∴直线不经过第三象限． 7．已知△ABC的三个顶点分别为A(3，－1)，B(－5，2)，C(7，4)，则BC边上的中线所在直线的方程为(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．2x－y－7＝0 D．x－2y－5＝0 答案：B 解析：BC中点的坐标为(1，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，整理，得2x＋y－5＝0. 8．根据下列条件写出直线的方程，并化为一般式． (1)斜率是－，经过点(2，0)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点． 解：(1)由点斜式方程，可知所求直线的方程为y－0＝－(x－2)，化为一般式方程为x＋2y－2＝0. (2)由两点式方程，可知所求直线的方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. 一、单项选择题 1．过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：B 解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以直线方程为＝.故选B. 2．若直线－＝1经过第一、二、三象限，则实数a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a<0，b>0 C．a<0，b<0 D．a>0，b<0 答案：C 解析：将直线－＝1化为＋＝1，又直线经过第一、二、三象限，所以它在x轴上的截距为负，在y轴上的截距为正，所以a<0，－b>0，所以a<0，b<0.故选C. 3．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(　　) A． B．(－2，1) C．(2，－1) D． 答案：B 解析：直线方程可变形为y－1＝m(x＋2)，所以直线恒过定点(－2，1)． 4．已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则BC所在直线的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 答案：C 解析：由已知得直线BC的斜率存在且不为0.设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线BC的截距式方程为＋＝1.由题意，得a＋b＝9　①，又点D在直线BC上，∴＋＝1，∴6b＋3a＝2ab　②，由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6.∴或故BC所在直线的方程为＋＝1或＋＝1. 5．直线l：ax＋(1－a)y＋1＝0经过第一象限的充要条件是(　　) A．0<a<1 B．a<0或a>1 C．a>0 D．a<1 答案：B 解析：ax＋(1－a)y＋1＝0即a(x－y)＋y＋1＝0，令解得故ax＋(1－a)y＋1＝0过定点(－1，－1)，故若直线l经过第一象限，则直线l的斜率大于0，即－>0，即a(a－1)>0，解得a<0或a>1.故选B. 二、多项选择题 6．直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是(　　) A．x－y－1＝0 B．3x－y－5＝0 C．x＋y－3＝0 D．x＋3y－5＝0 答案：AD 解析：将点(2，1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝3时，直线l的方程为x－3y＋1＝0，即y＝x＋，斜率为，故所求直线的斜率k＝－，方程为y－1＝－(x－2)，即x＋3y－5＝0.当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，斜率为－1，故所求直线的斜率为k＝1，方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0.故选AD. 7．下列说法错误的是(　　) A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成＝ B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 答案：ABD 解析：当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得x＝－b，因此直线在x轴上的截距为－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．故选ABD. 三、填空题 8．已知直线方程为5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 答案：4　5 解析：将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，所以此直线在x轴、y轴上的截距分别为4，5. 9．过点(－1，2)，且以直线2x－3y－7＝0的一个法向量为方向向量的直线的一般式方程为________． 答案：3x＋2y－1＝0 解析：由题意可得所求直线的一个方向向量为(2，－3)，所以所求直线的斜率为－，所以所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 10．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________． 答案：2x－3y＝0 解析：由平面几何知识知，若直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过平行四边形对角线的交点，即过BD的中点(3，2)，又直线l过原点，由两点式，得直线l的方程为2x－3y＝0. 四、解答题 11．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． 解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． (2)由(1)，易知当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝. (3)依题意，得＝－3， 解得m＝－. (4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝. 12．已知直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程． 解：由题意，设直线l的方程为＋＝1， 则 即或 ∴或 ∴直线l的方程为－＝1或－＋＝1， 即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0. 13．设a<c<b，如果把函数y＝f(x)的图象被两条直线x＝a，x＝b所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，f(c)的最佳近似表示式是(　　) A．f(c)＝[f(a)＋f(b)] B．f(c)＝ C．f(c)＝f(a)＋[f(b)－f(a)] D．f(c)＝f(a)－[f(b)－f(a)] 答案：C 解析：依题意，经过点(a，f(a))，(b，f(b))的直线方程为y－f(a)＝(x－a)，而点(c，f(c))在以点(a，f(a))，(b，f(b))为端点的线段上，因此f(c)－f(a)＝·(c－a)，所以f(c)＝f(a)＋[f(b)－f(a)]，C符合题意，D不符合题意；当且仅当(c，f(c))是线段的中点时，f(c)＝[f(a)＋f(b)]，A不符合题意；显然f(a)，f(b)可能异号，此时B项无意义，B不符合题意．故选C. 14．在平面直角坐标系中，过点P(3，1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l的一般式方程； (2)求当·取得最小值时，直线l的方程． 解：设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵＝， ∴(3－a，1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的方程为＋＝1， 即2x＋3y－9＝0. (2)∵A，P，B三点共线，∴kPA＝kPB， 即＝，整理得＋＝1， ∴·＝(3－a，1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6， 当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立， ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$