2.1 坐标法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析九何。 第二章平面解析几何 2.1 坐标法 反思感悟 学习目标 点M是线段AB的中点，也可以理解 1.掌握数轴上以及平面直角坐标系中的 :为点A和，点B关于点M对称 基本公式一两点之间的距离公式、中点坐 2.平面直角坐标系中的基本公式 标公式 在平面直角坐标系中，点A(x1,y), 2.会使用两点之间的距离公式、中点坐： B(x,),则 标公式 (1)A,B两点之间的距离公式 3.明白点关于点对称的实质是中点坐标 ABI=V(x2-x1)2+(y2-y1)2. 公式的应用. (2)线段AB的中点坐标公式 4.知道解决几何问题的重要方法一坐 t2,y业 标法，明确利用坐标法解决问题的一般步 2 2 骤，并会用坐标法解决与两点的距离以及中 思考 (1)你能试着用数轴上基本公 点有关的问题 式的推导方法— 向量法，推导上面两个 平面直角坐标系中的基本公式吗？ 要点精析 (2)你知道平面上两点之间的距离公 式和勾股定理的关系吗？ 川要点1平面直角坐标系中的基本公式： (3)平面直角坐标系中的中点问题可 1.数轴上的基本公式及推导 以理解为对称问题吗？ 如果数轴上点A(x1),B(x2),则 例1已知△ABC的三个顶点A(1,2), (1)A,B两点之间的距离公式AB=比xL B(3,4),C(5,0),求△ABC的三边长并判 (2)线段AB的中点坐标公式x=+2 断其形状 2 推导：由AB=(x2-x),故AB=c2x. 又设线段AB的中点为M(x),则AM= MB,∴x-x=物化，x=t起 学（29 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 已知两点A(x1,少)，B(x2,y2),则这 变式训练① 两点之间的距离的特殊情况的求法： 已知△ABC的顶点A,B,C的坐标分 (1)点A,B所在直线垂直于x轴，即 别为(-3,1)，(3，-3)，(1,7)，求三 x龙2，则AB=y2-y. 角形三条边上的中线的长， (2)点A,B所在直线垂直于y轴，即 y1=2,则MB=2-xl. (3)点A与坐标原点O(0,0)的距离 IAOl=Vxi+yi. (4)点A,B都在直线y=kx+b上时， IA BI=V1+k2x1-x2l. 例2求下列点A关于点M的对称点B 的坐标： 川要点2坐标法 (1)点A(2),M(-1); (2)点A(1,-1),M(2,3)· 坐标法定义：通过建立平面直角坐标 分析因为点关于点对称的本质就是 系，将几何问题转化为代数问题，然后通过 中点问题，所以本题使用中点坐标公式 代数运算解决问题.这种解决问题的方法称 解决。 为坐标法 例3已知△ABC是直角三角 形，斜边BC的中点为M求证 4M=号BCL 图2-1-1 分析建立适当的平面直角坐标系， 利用两，点之间的距离公式证明问题， 反思感悟 如果线段AB的中点为M,且A(x1, y),M(x,y),则点B的坐标为（2x-x1, 2y-y1). 30)学 第二章平面解析九何。 (3)列式：利用所学的坐标公式（如 变式训练2 中点坐标公式、两点之间的距离公式等) 求证：平行四边形对角线的平方和等于 列出方程（组），通过计算得出代数结论 四条边的平方和.请尝试用向量方法或解三 (4)反演：将计算所得的代数结论反 角形的方法解决 演回去，得出几何问题的结论。 例4判断三点A(8,10),B(-4,4), C(4,8)是否共线 分析因为向量的坐标实质就是坐标 法，因此可以使用三点连成的两个向量是 否共线来判断，另外，当三，点共线时，这三 点所连成的三条线段的长度满足：最长的 线段长度等于两条较短的线段长度之和.因 此，还可以使用两点之间的距离公式求线 反思感悟 段长度来判断。 向量法的实质就是坐标法.在很多情况 下使用向量法（坐标法）求解几何问题会 使问题得到简化，而用几何法（如解三角 形法)解决问题有时会很复杂，所以坐标 法是解决平面几何问题的基本方法之一. 坐标法解决几何问题的步骤：四步八 字：建系→设点→列式→反演。 (1)建系：建立适当的平面直角坐标 数学文化 系.原则如下： ①要使尽可能多的已知点、直线落在 解析几何的创立适应了17世纪科学技 坐标轴上； 术发展的迫切需要.法国数学家笛卡儿是解 ②若图中有两条互相垂直的直线，则 析几何的创始人之一，他对当时的几何方法 以它们为轴建系； 和代数方法进行比较，分析了它们各自的优 ③如果图形是对称图形，可考虑利用 缺点.他认为，没有任何东西比几何图形更 图形的对称中心作为原点，图形的对称轴 容易印入人脑，用图形表达事物非常有益。 作为坐标轴。 他同时还看到了代数的力量，代数在提供广 (2)设点：按照所建立的平面直角坐 泛的方法论方面高于古希腊时期的欧几里得 标系，结合已知条件，写出已知点的坐标， 的几何学.他认为，代数具有一般性，例如 设出未知点的坐标. 用字母代替数时，可以代表各种数：正数、 学 31 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 负数和0：代数中的公式可以使解题过程程 ③到原点的“切比雪夫距离”等于1的 序化；代数具有作为一门普遍的科学方法的： 点的轨迹是正方形 潜力 其中是真命题的有() 例在平面直角坐标系中，定义d(A, A.①② B.①③ B)=max{x-x2l,y1-y2l}为两点A(x1,y), C.②③ D.①②③ B(x2,y2)的“切比雪夫距离”.设点P及 分析①讨论A,B,C三点共线以及 直线l上任意一点Q,称(P,Q)的最小值：不共线的情况，结合图象和新定义即可判 为点P到直线1的“切比雪夫距离”，记作 断；②设，点Q是直线y=2x-1上一点，且 d(P,).给出下列三个命题： Q(x,2x-1),可得d(P,Q)=max{x-31, ①对任意的三点A,B,C,都有d(C,：I2x-2},讨论x-3引，2x-21的大小，可得距 A)+d(C,B)≥d(A,B); 离d山，再由函数的性质，可得最小值；③根 ②已知点P(3,1)和直线1：2x-y-1= 据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题 0,则p,0=号： 的真假 (32)学N 高中数学选择性必修第一册人教B版 第二章 平面解析几何 >"2.1坐标法 由AC=AB+AD :AD=AC-AB=(b-a,c),BD 要点精析 =AD-AB=(b-2a,c). 例1解：4BI=V(1-3)+(2-4)7=2V2, ACP+IBDP-b2+c2+(b-2a)+c2 图1 IBC1=V(3-5)2+(4-0=2V5, =42-4ab+2b2+2c2, 变式训练2答图 LAC1=V1-5)+(2-07=2V5, AABP+IADP-d+(b-a)+c"-2a-2ab+b2+c2, MC1=BC1,∴.△ABC是等腰三角形 例2解：(1)设点B(x),由题知点M是AB的中点， .ACP+BD P=2(IAB PHADP),AC+BD=2(AB2+ AD2). xF4+,.xg-2rX4=2X(-1)-2=-4,.B(-4). 2 方法2：解三角形法.设∠DAB=Q,则∠ABC=T- (2)设点B(xa,y),由题知点M是AB的中点， 如图2，在△ABD中，BD= AB2+AD2-2AB·ADc0sa; 2 x=2x厂x4=2X2-1=3, 则 在△ABC中，AC=AB+BC2- 图2 wΨ y=2yryA=2x3-(-1)=7, 2AB·BC·cos(T-a). 变式训练2答图 .点B(3,7) cos(T-@)=-cosa,.BD+AC2=AB+AB2+AD+BC= 变式训练1解：设边AB,BC,CA的中点分别为D(x, 2(AB2+AD2) y),E(2,2),F(x3,). 例4解：方法一：向量法。 由中点坐标公式，得 由题知AB=(-4-8,4-10)=(-12,-6), x=-33-0. 3+1=2, X2= -3+1三-1， X3= AC=(4-8,8-10)=(-4,-2), 2 2 2 m+》1,7257-4 AC=AE,A,B,C三点共线 3 2 2 方法二：两点之间的距离公式 即D(0,-1),E(2,2),F(-1,4). 由lAB1=V(-4-8)2+(4-10)2=6V5， 由两点之间的距离公式可得 AC1=V(4-8)+(8-10y=2V5, 4B边上的中线长ICDI=V/(1-0)2+(7+1)2=V65: IBC1=V(-4-4)+(4-87=4V5. BC边上的中线长ME1=V(-3-2)+(1-2=V26; .AB=AC+BCI,.A,B,C三点共线. CA边上的中线长BF=V(3+1)+(-3-47=V65. 数学文化 例3证明：以直角三角形ABC的直 C(0,c) 角边AB,AC所在的直线分别为x轴、 D【解析】①对任意三点A,B,C,若它们共线， M y轴，建立如图所示的平面直角坐标 设A(x1,y）,B(,2),C(, 系，A(0,0).设B(b,0),C(0,c). (A)0B(b,0x 显然，当A,B,C所在直线垂直于坐标轴时，结论 点M是边BC的中点，∴点M 成立，若A,B,C所在直线与坐标轴不垂直，如图1. 例3答图 的坐标为9，学)，即（合，合】 由两点之间的距离公式可得BC1=V(0-b)+(c-0严 V6e,4MV告-FVo,H2BC 变式训练2证明：方法1：向量方法.以A为原点建立 如图1所示的平面直角坐标系，则A(0,0),设B(a, 图1 例题答图 0),C(b,c). 34 参考答案。 根据“切比雪夫距离”定义可得d(C,A),d(C, 显然点P的轨迹为正方形，故③正确.故选D B),d(A,B)为AN,BM,AK或CN,CM,BK,则 2.2直线及其方程 d(C,A)+d(C,B)=d(A,B); 若B,C或A,C对调， 2.2.1直线的倾斜角与斜率 可得d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B). 第1课时倾斜角与斜率 当A,B,C三点不共线时， 要点精析 若∠C=90°，则d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)成立. 例1解：由y=x的图象是一条倾斜角为45°的直线，由 若△ABC中C为锐角或钝角，如图2. 图可知，直线1的倾斜角0=30°+45°=75° 6810 图2 例1答图 例题答图 由矩形CMNK, 变式训练1解：如图，直线1的两个临界情形是与x 有d(C,A)+d(C,B) 轴垂直的直线和过原点的直线 N =max (CK,AK)+max(CM,BM) ≥CK+CM≥d(A,B)=max{AN,BW: 由矩形BMNK, 有d(C,A)+d(C,B) =max(CN,AN)+max(BK,CK) KC+CN-KN=BM-d(A,B). 则对任意的三点A,B,C,都有d(C,A)+d(C,B) 变式训练1答图 ≥d(A,B). 故①正确。 当直线1位于这两条直线所夹的阴影范围时。 ②设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q(x,2x-1), 直线1不经过第二象限。 可得d(P,Q)=max{e-3引，I2-2. 当直线1垂直于x轴时，倾斜角为90° 当直线1过原点时，倾斜角为45°，.倾斜角0的取 由l-3引≥2x-21,解得-1≤x≤ 3， 值范围是{045°≤0≤90°1. 即有dP,Q)-3引，当x=号时，取得最小值号； 1-1 1-(-2)=1, 例2解：由题意得kw2--0,a-2七 -3张2x-2.解得o号或x<l. 由B,C两点的横坐标相等，知直线BC的斜率不 存在。 即有d(P,Q)=2x-2N4 变式训练2解：由题知，1与，的倾斜角互补，∴.直线 3 1的斜率为1，故倾斜角为45°.设1与x轴的交点为(x, d心，Q)的取值范周是[号，+ 0,由上年，-5因面1与x轴交点坐标为(-5， 综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小 0) 值为号，故②正确， ③由题知，到原点0的“切比雪夫距离”为1的点 例3解：由已知系件得2-号，3-22a2, 解得a=10. P(x,y)满足d(0,P)=max(lxl,l州=l, 变式训练3(-2,1)【解析】：过点P(1-a,1+a)和 即≥1.或i l=1 y=1, Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，，直线的斜率小于 35