2.6.2 双曲线的几何性质-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

2.6.2 双曲 学习目标 1.了解双曲线的几何性质（范围、对称 性、顶点、实轴长和虚轴长等)，理解双曲 线的离心率、渐近线方程的概念，培养直观 想象核心素养 2.学会利用双曲线的性质解决相关问 题，提升逻辑推理、数学运算核心素养 要点精析 川要点1双曲线的几何性质 标准 等1 卡到 方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 率米 范围 lxl≥a,y∈R yM≥a,x∈R 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 顶点 A(-a,0),A2(a,0)A(0,-a),A2(0,a) 线段A42是双曲线的实轴，线段BB2是 轴 双曲线的虚轴.实轴长A42=2a,虚轴长 IB B2l=26 渐近线 )=tx a y= 离心率 e=c(e>1) 思考 (1)能否用a,b表示双曲线 的离心率？ (2)双曲线的离心率大小与双曲线的 形状有什么关系？ 第二章平面解析几何。 线的几何性质 例1求双周线石亏1的实轴和虚轴 的长、顶点和焦点的坐标、离心率， 分析求出a,b,c,再根据双曲线的 性质求解」 B变式训练① 已知双面线号京1(6>0)的左、右 焦点分别为F,F2,其一条渐近线方程为y= x,点P(V3,y)在该双曲线上，则PF· PF2=() A.-12 B.-2 c.0 D.4 例2求适合下列条件的双曲线的标准 方程. （1)焦点在x轴上，c=3,一条渐近线 方程为， (2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率 4 e= 3 分析 (1)采用待定系数法，设双曲 线方程为军苦k(>0),西63，求出 的值，标准方程即可求。 学(93 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)采用待定系数法，设双曲线方程 为2x2 -京=1(>0，b>0),而2=16，c= 专，求出a,c,再给合c2-0b,可求出b 的值，从而可求出双曲线方程. B变式训练 求下列双曲线的标准方程： (1)与双曲线-云=1有共同渐近线， 916 且过点(-3,2V3): (2)与双曲线-二=1有公共焦点，且 164 过点(3V2,2): (94)学 反思感悟 双曲线方程的设法与技巧： (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方 程可设为器-护1®0，b0), (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方 程设为子杀10,60 (3)与效由线号若1具有相同众点 的双曲线方程可设为兰成1(Q≠0， a2-入b2+入 -b2<λ<d2). (④与双曲线导若1具有相同新近 线的双曲线方程可设为-二 京=入（入≠0）. (5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设 为kx2-y2=入（入≠0） (6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程 可设为ax2-b2y2=入（≠0）. 例3已知双曲线C: 6-号-1的右焦 点为F,过原点O的直线与双曲线交于A, B两点，且∠AFB=60°，则△OBF的面积为 A B.9V3 2 D.3V3 2 B变式训练3 设R,月是双面线C:等-杀-1(a>0, b>0)的左、右焦点，0是坐标原点.过F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P. 若1PF=V5IOP1. (1)求证：IF,P=b; (2)求双曲线的离心率. 川要点2等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴 双曲线： 思考等轴双曲线的渐近线方程是什 么？离心率是多少？ 例4对称轴都在坐标轴上的等轴双曲 线的一个焦点是F(-6,0),求双曲线的标 准方程、渐近线方程和离心率. 第二章平面解析几何。 P变式训练④ 已知双面线器茶1(o0,bs0)的离 心率为子，0为坐标原点，右焦点为R,过 点F作一条渐近线的垂线，垂足为P,若 △OPF的周长为12，求双曲线的标准方程. 例5已知椭圆的两焦点F,F,和双曲 线的两焦点重合，P为椭圆和双曲线的一个 交点，且cos∠FPF=,椭圆和双曲线的 离心率分别为e1,e2,则e+e的最小值为 () A.1+V15 B.1V15 4 2 c. D.V15 4 分析对于共焦点问题，结合椭圆、 双曲线的定义即PFl+PF=2a1,PF-PF= 2a,求出PFI,PFl,在△PFF2中表示 cos∠FPF2,即可得关于e1,e2的等量关系. 学(95 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 数学文化 例古希腊数学家欧几里得在《几何原 本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆 锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几 里得没有给出证明.经过了500年，到了3 世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学 汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的 统一定义，并对这一定义进行了证明.他指 (96)学 出，到定点的距离与到定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹称为圆锥曲线；当0<e<1 时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物 线；当e>1时，轨迹为双曲线.现有方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲 线，则m的取值范围为() A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,5) D.(5,+∞)高中数学选择性必修第一册人教B版 设动圆M的半径为R,则有MFl=R+1,MF=R+4, .IME-IMFI=3<10-=IFFI 因此，点M的轨迹是以F,F为焦点的双曲线的左 支，且a=3,c5,于是62-2- Γ4 :动圆圆心M的轨连方程为号司≤一号) 44 数学文化 C【解析】设双曲线T的焦距为2，圆D的半径为 R,由题意可知，IOAl=c,ICO=lBO=a,.c=2a. 又c2-2+b2,b-6,∴.a=V2,c=2V2,.AB1=a+c= 3V2. 在△ADB中，∠ADB=120°，DA=R=2AB sinl120°s V6.故选C. 2.6.2双曲线的几何性质 要点精析 例1解：由已知a=4,b=3,c=5,则双曲线无-亡-1 169 的实轴长为2a=8,虚轴长为2b=6,顶点坐标为(0,4)， (0,-4),焦点坐标为(0,5)，(0，-5)，离心率e=c 变式训练1C【解析】∵渐近线方程为y=x,b2=2. 又P(V3,%)在双曲线上，∴=1. 又F(-2,0),2(2,0), PF.PF=(-2-V3,-)(2-V3,-y) =-4+3+=-4+3+1=0.故选C 例2解：(1)由题意设双曲线方程为学号大(> 0,即行茶1=3,445=9,1所求双南 线方器为学片1 (2)由题意设双南线方程为号-云1(@0,6>0， 焦距是16，离心率e号，2=l6,台-寺，解得c 8,6,广-63628，小双佳线方程为需-茶-1 变式训练2解：()由题意设所求双曲线方程为号 9 后1a≠0.：双线过点(-3.2V了.号号 56 人，得小公号花子甲号-号1所求双曲 94 4 线方程为-二=1 94 (②)由超意设所求双情线方程为后一品1 (4k16,:双商线过点(3V7,2.74. 得k2+10k-56=0,(k+14)(k-4)=0,解得k=4或k=-14.又 -4<k<16,k=4,所求双曲线方程为二-=1， 128 例3D【解析】设双曲线的左 y 焦点为F,连接AF,BF可知 四边形AFBF为平行四边形，由 ∠AFB=60°，.∠FBF=120°， IFF1=2c=10. 在△BFF中，由余弦定理， 例3答图 得IFF,P=BFIP+HBF-2 IBFIIBFT·cos120°，即IBFP+HBFP+ IBF-lBA=100①. 又因为点B在双曲线上，BFl-IBF=2a=8,两边平 方得，IBFP+IBP-2IBFI-B=64②. ①-②得BEMBF=12,所以 Sar=BF-BFsin∠FBF=号XI2xY3=3V3. 2 2 2 义：0为FF的中点，Saw分5aw=子V了. 变式训练3(1)证明：双曲线的一条渐近线方程为= x,即bx-@=0,焦点F(c,0).由B向该渐近线作垂 a 线，由点到直线的距离公式可得PF=bc-a:0-bc-b. Va+b2 c (2)解：I10PI=VOP-P℉平=V2-b=a,则 cos∠FOP=-cosLPOF=-a,IPF=V5IOP=V5a,则 C 在△OPR中，由余弦定理知cos∠FOP-IOF+HOFP-PFE 2lOP·lOFl =+-5d=-a,得c2-2,则离心率e=V2. 2ac 例4解：一个焦点是F(-6,0),.c=6,且焦 点在x轴上，“.设等轴双曲线方程为二-二=1(>0)， aa 2-+36,解得i=18,双曲线的标准方程为辰 51,斋近线方程为)+起 离心率e=g=V2a-V2. aa 变式训练4解：双曲线若-示1(a0,6>0)的渐近 线方程为)±么x,右焦点为FC,0),不妨设点P位于第 一象限，则PA为点Fc,O)到直线)广名的距离， 则IPA=1bc-0I=b,所以IOA=V1Om-PT=a. Vatb 又△0PF的周长为12，所以a+b+c=12 又台，得号06=12①. 4 又c+,器c,ha②， 16 联立①②得a=4,b=3,.双曲线方程的标准方程为 2-=1. 169 例5A【解析】设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴 长为22，P为第一象限的点， IPFI+IPF-2a,PF-tas, \IPFI-IPFJI=2cz,\IPFl=ar-az. 所以cos∠FPF=PEP+IPFP-4e 2IPFI-IPEI =（at224(a-2-4c2-1 2(a+a2)(a1-a2） 4 化简得3a+5ai=8c2, 所以3+5=8， ei e 所以=(+xg+音 例5答图 日345+等+j=gx18*2V西) 1 数学文化 C【解析】已知方程可以变形为m=（-2y+3 x2+y2+2y+1 ,即 Y平，即V瓦-平，其表示 Vm bx-2y+3引 V m lx-2y+31 V5 双曲线上一点(x,y)到定点(0，-1)与定直线x-2y+ 30之比为常数e=1V/5 ,又由e>l,可得0m<5,故选C m2.7抛物线及其方程 2.7.1抛物线的标准方程 要点精析 例1BCD【解析】IPF=d,但定点F可能在定直线m 上，故A错误； 参考答案⊙ 动圆圆心到F(0,3)的距离和到直线y+3=0的距 离都等于半径，故B正确； .·点P到F(0,8)的距离比它到直线y=-7的距 离大1，点P到F(0,8)的距离和它到直线y=-8的 距离相等，.P点的轨迹是抛物线，故C正确； 设动圆P的半径为r,则点P到点C的距离为+1， 点P到直线：x=-1的距离为r,由此可知点P到直线 x=-2的距离为r+1,P点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选BCD 变式训练1D【解析】5V(x-1)+y=4x-3y+21可变形 为V(x-1)+7=4-3y+21 5 等式左侧是点P(x,y)到点(1，O)的距离，而等 式右侧是点P(x,y)到直线4x-3+2=0的距离，∴点P 的轨迹是抛物线.故选D. 例2解：（①）抛物线的焦点坐标为分，0，设 抛物线标准方程为广-2pxp>0),由-分7，得p= 1,故抛物线的标准方程为2=-2x。 2):抛物线的准线方程为)子，设地物线的标 准方程为之2pyp0.由号号，得p=3,故抛物线 的标准方程为x2=-6y 变式训练2C【解析】设焦点为F,点A(,),由 抛物线定义得MA=x+号，由于点A到y轴的距离为9， 0=9,9+号=12，p=6,故选C 例3解：位于y轴右侧的动点M到F?,0的距离 比它到y轴的距离大了，“动点M到F分，0)的距离 与它到直线1：一了的距离相等。 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，1 为准线的抛物线（不包含原点），其方程应为y=2即x p>0)的形式，而号分，山，2印=2，放点M的轨 迹方程为y2=2x(x≠0) 数学文化 解：如图所示，以拱桥的拱 顶为原点，以过拱顶且平行于水 面的直线为x轴，建立平面直角 NKZZZ 坐标系. 例题答图 57