2.6.2 双曲线的几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

双曲线的几何性质 2.6.2 作者编号：、32200 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.能利用双曲线的几何性质解决一些简单的问题. 【学习目标】 作者编号：、32200 回顾：研究椭圆的几何性质时，涉及到哪些方面？ 范围，对称性，顶点，离心率等 【复习回顾】 作者编号：、32200 问题1:类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线的几何性质. (1)范围： 由方程可知，即x≤-a或x≥a， 因此双曲线C位于直线x=a与x=-a及它们所夹平面区域的外侧，如图所示. 【新课讲授】 作者编号：、32200 (2)对称性： 如果(x，y)是方程的一组解，则不难看出， (-x，y)，(x，-y)，(-x，-y)都是方程的解， 这说明双曲线C关于y轴、x轴、坐标原点对称. 因此，x轴、y轴是双曲线C的对称轴，坐标原点是对称中心. 双曲线的对称中心也称为双曲线的中心. 【新课讲授】 作者编号：、32200 (3)顶点与长短轴： 双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点 . 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个. 如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长； 称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长. 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 方程为x2－y2＝m(m≠0). 【新课讲授】 作者编号：、32200 (4)渐近线： 根据双曲线的对称性可知，双曲线向外无限延伸时，总是在由直线 y=x与直线y=-x相交而分平面所成的、含双曲线 焦点的两个区域内，并无限接近于这两条直线，但它们永远不会与它们相交，如图所示. 双曲线的渐近线方程为y=±x. 【新课讲授】 作者编号：、32200 (5)离心率： 定义：e＝ 范围：e>1 离心率越大，开口越大； 离心率越小，开口越小. 【新课讲授】 作者编号：、32200 方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 离心率 渐近线 F1(-c，0)，F2(c，0) A1(-a，0)，A2(a，0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b F1(0，-c)，F2(0，c) A1(0，-a)，A2(0，a) 【归纳总结】 作者编号：、32200 注意：(1)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (3)焦点到渐近线的距离为b. (4)画双曲线时，先画两条渐近线. 【新课讲授】 作者编号：、32200 例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：双曲线方程可化为标准方程＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标为(-3，0)，(3，0)，焦点坐标为(-，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 【新课讲授】 作者编号：、32200 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤: (1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 【归纳总结】 作者编号：、32200 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)一个焦点为(0，13)，且离心率为； (3)过点(2，1)的等轴双曲线. 解：(1)设双曲线的标准方程为＝1或＝1， 由题意有2b＝12，e＝，且c2＝a2＋b2， 则a2＝64，b2＝36， ∴双曲线的标准方程为＝1或＝1. 【新课讲授】 作者编号：、32200 (2)一个焦点为(0，13)，且离心率为； (3)过点(2，1)的等轴双曲线. (2)由题意有双曲线焦点在y轴上，且c＝13，e＝， ∴a＝5， 则b2＝c2－a2＝144， ∴双曲线的标准方程为＝1. (3)设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2，1)，则λ＝3，∴所求方程为＝1. 【新课讲授】 作者编号：、32200 求双曲线的标准方程常用待定系数法. 当焦点位置明确时，直接设出双曲线的标准方程； 当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2-ny2=λ(mn>0). 【归纳总结】 作者编号：、32200 例3 已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，求双曲线C的离心率. 解：设O为坐标原点，则A1A2的中点为O，且|OA1|=a，|BO|=b. 由△BA1A2是等边三角形可知|BO|=|OA1|，因此 ∴c=2a，从而e＝ 又∵c2=a2+b2=a2+(a)2=4a2， 【新课讲授】 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.双曲线的离心率和渐近线方程分别是什么？ 2.常见的双曲线的求法有哪些？ 【课堂总结】 作者编号：、32200 1.双曲线＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( ) A.6 B.8 C.9 D.10 2.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　) A.x2－＝1 B.y2－＝1 C.＝1或＝1 D.x2－＝1或y2－＝1 B D 【课堂练习】 作者编号：、32200 3.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　) A. B.4 C.2 D. 4.已知双曲线C：＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C 的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 D A 【课堂练习】 作者编号：、32200 $$