专题02 空间向量与立体几何的综合应用10大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量与立体几何的综合应用10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【解答过程】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A. 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解题思路】利用向量共线的坐标关系，夹角公式及法向量的特点可以判断选项. 【解答过程】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是 . 【答案】(时，均可) 【解题思路】求出向量符合题意，所有与共线的非零向量均可. 【解答过程】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可）. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【解题思路】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 5．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【解题思路】（1）根据向量减法运算直接写出结果； （2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，计算即可得到结果. 【解答过程】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系 6．（24-25高二上·四川达州·期中）已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用线面平行的向量方法可解. 【解答过程】直线平面，设直线l的方向向量为,则，即. 对于A，，不满足题意； 对于B，，不满足题意； 对于C，，不满足题意； 对于D，，满足题意； 故选：D. 7．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由题意可知，结合向量垂直的坐标运算求解. 【解答过程】因为，则， 可得，解得. 故选：B. 8．（24-25高二上·山东聊城·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【解答过程】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为：. 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【解答过程】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 10．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【解题思路】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【解答过程】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系 11．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】两平面垂直等价于两平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为0可得结果. 【解答过程】∵，∴， ∴，解得. 故选：B. 12．（24-25高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【解答过程】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则 . 故选：B. 13．（24-25高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【解答过程】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【解答过程】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 ， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 15．（24-25高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【解题思路】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【解答过程】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面 平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 题型4 异面直线夹角的向量求法 16．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解答过程】如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，，， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 17．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 如图所示，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以 , 所以异面直线与所成角的余弦值为, 则异面直线AE与所成角的正弦值为. 故选: A. 18．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为 .    【答案】 【解题思路】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【解答过程】    因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 19．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）首先可得，再证明平面，即三棱柱为直三棱柱，从而得到 ，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解答过程】（1）∵，，∴为等腰直角三角形， 故在三棱柱中为等腰直角三角形， 又是棱的中点，则， 因为侧面，均为正方形，即，， 又， 平面，所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面，则， 又 且、平面， ∴平面. （2）因为平面，， 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，即异面直线与所成角为. 20．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在正方体中，分别为的中点． (1)求异面直线与的夹角的正弦值； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别取异面直线的方向向量，利用夹角的余弦公式，再结合同角三角函数的平方式，可得答案； （2）根据（1）空间直角坐标系，利用空间点到直线的距离公式直接求解即可. 【解答过程】（1）由题意，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， 取， 设异面直线与的夹角为， 则， 可得. （2）由（1）可知，取， 直线的单位方向向量， 点到线段的距离为. 题型5 利用空间向量求线面角 21．（24-25高二上·重庆·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【解答过程】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 22．（24-25高二上·海南海口·期中）在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【解答过程】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，可得，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，可得， 所以， 设直线与平面所成角的为， 则. 故选：D.    23．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值为 ． 【答案】1 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 24．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求线面角的正弦值. 【解答过程】（1）因为为棱的中点，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）由题意可知平面，而平面，所以， 因为，所以. 而，由此可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则故可设， 设直线与平面所成角为， 所以. 25．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，. (1)若为棱的中点，求证：直线平面； (2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）取中点，连结，，根据三角形中位线的性质，得出，，结合条件，可证出四边形为平行四边形，得出，最后根据线面平行的判定定理，即可证明直线平面； （2）建立空间直角坐标系，设，由图可知底面的法向量，求出平面的法向量，利用已知的二面角，求出，得出的坐标，再利用空间向量求线面角的公式，求解即可. 【解答过程】（1） 取中点，连结，， 因为为的中点，所以，， 由，得， 又，所以，， 则四边形为平行四边形，有， 又平面，平面，故平面； （2） 平面平面，由已知得，设， 以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 易知底面的一个法向量为， 由于二面角的大小为， 所以， 解得或（舍去），则， 设直线与底面所成的角为， 则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 题型6 利用空间向量求面面角 26．（24-25高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 【解答过程】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，取的中点为，连接， 则， ，， 则， 又因为，，，平面，故平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，所以 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 故选：D． 27．（24-25高二上·云南玉溪·期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且．则下列结论中错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当E向运动时，二面角的大小不变 C．二面角的最小值为45° D．当E向运动时，总成立 【答案】D 【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可判断CD的正误，根据动点的运动性质可判断B的正误，利用体积公式可判断A的正误. 【解答过程】因为为定值，故为定值，到平面的距离即为到平面的距离， 故三棱锥的体积为定值，故A正确. 平面即为平面，而平面即为平面， 故当向运动时，二面角不变，故B正确. 建立如图所示的空间几何体， 则 设平面的法向量为， 又， 所以，取，则， 平面的法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 当，故，所以， 当且仅当时取最大值即取最小值，故C正确. 因为在上，且，故可设， ， 所以， 故不恒为零，故D错. 故选:D. 28．（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是 . 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，设等边的边长为1，设，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得两平面夹角的最大值. 【解答过程】以为坐标原点，在平面内作直线垂直于为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设等边的边长为1，因为，所以设， 因为当时，四点共面，不能构成空间四边形，所认， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 即，结合，所以， 所以平面与平面夹角的最大值是. 故答案为：. 29．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【解题思路】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值，再利用余弦值求正弦值即可. 【解答过程】（1）取的中点为，连接，则， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故， 因平面，所以平面， 而平面，故，而， 故以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 故， 故平面与平面夹角的正弦值为. 30．（24-25高二上·云南文山·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值； 【解答过程】（1）因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， ，， 又平面平面，平面， 平面平面， 平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，令，则，即， 设平面的法向量为，， 由，令，则，，即， 则， 二面角的正弦值为. 题型7 利用空间向量求点到平面距离 31．（24-25高二上·福建福州·期中）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，因为平面的法向量既垂直于平面内的向量，也垂直于平行于平面的向量，求得法向量，由点到面的距离公式即可求得结果. 【解答过程】如图，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， ∵，，∴，， 即， 令则， 即为平面的一个法向量， ∴点到平面的距离. 故选：D. 32．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】建系标点，求平面AEF的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【解答过程】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面AEF的距离. 故选：A. 33．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【解题思路】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可． 【解答过程】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 34．（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）直接建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算点到平面的距离即可. 【解答过程】（1）如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； （2）由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 35．（24-25高二上·安徽宿州·期中）如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用中位线的性质及线面平行的判定证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离即可. 【解答过程】（1）如图，在中，E，F分别是和边的中点，， 平面平面平面DEF； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面DEF的法向量为，则，即， 令，则. 点到平面DEF的距离为. 题型8 利用空间向量求平行平面距离 36．（25-26高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【解答过程】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 37．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 38．（24-25高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，可证得平面 平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以 平面， 平面， 又，平面， 所以平面 平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 39．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【解题思路】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【解答过程】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 40．（2025高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 题型9 点到直线、异面直线距离的向量求法 41．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【解答过程】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 42．（24-25高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在直线上任意一点，作，设，，根据得出和的关系，再由模长公式得出与的关系，再求最值即可. 【解答过程】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短， 设，， ， ，因为，所以， 即，所以，即， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值，所以直线与的距离为. 故选：D. 43．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则 ． 【答案】或 【解题思路】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解. 【解答过程】由题意得，又， 所以，， 所以点到直线的距离为， 解得或. 故选：或. 44．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【解答过程】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 45．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，，点在上，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点到直线距离的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解； （2）设出点，可得..，利用点到直线距离公式求解. 【解答过程】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： , 则, 设平面的一个法向量为， 因为，所以，即， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）设，根据题意有，即，， 则点到的距离 ， 当时，取得最小值. 所以点到的距离最小值为. 题型10  空间线段点的存在性问题 46．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【解答过程】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 47．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，或，证明见解析. 【解题思路】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形得 ，从而得到线面平行； （2）由题意易知是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，即可得结论. 【解答过程】（1）取中点，连接，又分别为的中点，    ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则 ，， 故四边形是平行四边形，所以 . 又平面，平面，可得 平面. （2）在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为. 48．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【解答过程】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 49．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)相交但不垂直，证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【解题思路】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可. 【解答过程】（1） 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则， 连接与交于N点，即直线与平面相交于N点， 则直线与平面的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值； （2）由上知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）设存在满足题意，不妨设， 则， 易知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 而， 所以点到平面的距离是，所以不存在. 50．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为上靠近的三等分点. 【解题思路】（1）先证平面，结合面面垂直的判定定理证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置. 【解答过程】（1）折叠前，四边形是菱形，所以， 由分别是边的中点，所以，故， 折叠过程中且都在面， 所以面，故面，面， 所以面面. （2）当面面时，由面面，面，， 所以面，又面，故， 综上，可建立如下空间直角坐标系，则， 所以，设， 则， 所以，则，， 设面的法向量为，则， 取，则，而面的一个法向量为， 若面与面的夹角为，则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量与立体几何的综合应用10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 3．（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 5．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系 6．（24-25高二上·四川达州·期中）已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二上·山东聊城·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 10．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系 11．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 12．（24-25高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 13．（24-25高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 14．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 15．（24-25高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 题型4 异面直线夹角的向量求法 16．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为 .    19．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 20．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在正方体中，分别为的中点． (1)求异面直线与的夹角的正弦值； (2)求点到线段的距离． 题型5 利用空间向量求线面角 21．（24-25高二上·重庆·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·海南海口·期中）在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值为 ． 24．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 25．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，. (1)若为棱的中点，求证：直线平面； (2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值. 题型6 利用空间向量求面面角 26．（24-25高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·云南玉溪·期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且．则下列结论中错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当E向运动时，二面角的大小不变 C．二面角的最小值为45° D．当E向运动时，总成立 28．（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是 . 29．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 30．（24-25高二上·云南文山·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； 题型7 利用空间向量求点到平面距离 31．（24-25高二上·福建福州·期中）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（   ） A． B．2 C． D． 33．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 34．（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 35．（24-25高二上·安徽宿州·期中）如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 题型8 利用空间向量求平行平面距离 36．（25-26高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 39．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    40．（2025高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 题型9 点到直线、异面直线距离的向量求法 41．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（    ） A．1 B． C． D． 43．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则 ． 44．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 45．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，，点在上，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点到直线距离的最小值. 题型10  空间线段点的存在性问题 46．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 47．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 48．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 49．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 50．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $