1.1集合的概念教案教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的概念、元素与集合的关系及表示方法。课堂导入通过回顾初中接触的自然数集合、圆等实例，搭建旧知与新知的联系，引导学生从具体对象过渡到抽象集合概念，形成学习支架。 该资料以数学抽象和逻辑推理核心素养为导向，融入课程思政，如用“班级全体同学”案例渗透集体主义，结合“所有的好人”辨析元素确定性引导价值观。通过实例驱动概念形成，训练文字、图形与集合语言转换，提升学生数学表达能力，结构清晰且操作性强，便于教师高效教学。

第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 主备人： 一、教学目标 1.结合具体实例，了解元素与集合的含义以及集合的 特殊性质，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 2.理解元素与集合的关系，达到逻辑推理核心素养学 业质量水平二的层次. 3.能用文字语言、图形语言、集合语言描述不同的具 体问题，感受集合语言的意义和作用，能用列举法和描述 法表示对应的集合并能做到表述方法的转换，达到数学抽 象核心素养学业质量水平二的层次. 课程思政：通过"班级全体同学构成集合"的案例，引导学生理解集体主义精神，强调每个个体在集体中的独特价值。结合练习题里的所有的好人，说明集合中元素确定性，引导学生掌握好人的标准和特点。‌ 二、教学重点 元素与集合的关系，列举法和描述法的定义. 三、教学难点 1.集合中元素的基本性质. 2.列举法和描述法的应用以及互相转换. 四、教法学法 1.通过对具体实例的分析，抽象出元素与集合的含义 的过程，发展学生的数学抽象素养. 2.通过分析元素与集合的属于或不属于关系的过程， 发展学生的逻辑推理素养. 3.在转换文字语言、图形语言、集合语言等不同方式 表示集合的过程中，发展学生的数学运算素养. 五、课时安排 一课时 六、教学内容 教学环节 师生活动 二次备课（手写） 情境导入 在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等. 为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识. 下面先从集合的含义开始. （师生互动：引导学生回顾初中数学中遇到过的集合 ） 概念形成 1.出示一组实例： (1)1～10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一 学 生 ； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的 所有点 ； (5)方程x² — 3x+2=0的所有实 数 根 ； (6)地球上的四大洋. 例(1)中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例(2)中，把立德中学今年人学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合. 知识点一： 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集. 我们常用大写字母A，B，C…表示集合，常用小写字母a, b, c …表示元素. 思考 上面的例(3) 到例(6)也都能组成集合吗? 它们的元素分别是什么? （设计意图：通过实例，引导学生 经历并体会集合(描述性) 概念形成的过程，引导学 生进一步明确元素与集合 的概念，会用自然语言描 述集合.培养学生的数学抽象 素养 .） 概念深化 1.继续观察上述实例，尝试说说集 合中元素的特点. 集合中元素的基本性质： (1)确定性：集合的元素必须是确 定的.不能确定的对象不能构成集合. (2)互异性：集合的元素一定是互 异的.相同的几个对象归于同一个集合 时，只能算作集合的一个元素. (3)无序性：集合的元素没有先后 顺序 . 练习： 在我们要了解完集合的特性后看看这些具有代表性的问题 （1）A={素质好的人}是否表示集合？ （确定性） （2）A={2，2，4}表示是否正确？ （互异性） （3）A={太平洋，大西洋}， B={大西洋, 太平洋} 是否表示同一集合？ （无序性） 2.相等集合：只要构成两个集合的 元素是一样的，我们就称这两个集合是 相等的. （教师注意提醒学生：只要两 个集合中的元素相同，即使排列 的顺序不同，也应看作相等的集合 ） 练习： 下面各组对象能否构成集合？并说明理由． （1）所有的好人； （否） （2）小于2003的数； 能 （3）和2003非常接近的数 否； （4）参加数学比赛的年龄较小的同学； 否 （5）亚洲所有的国家； 能 （6）立方根等于自身的数； 能 （7）西湖里的漂亮的鱼；否 （8）较大的数． 否 3.元素与集合的关系： 集合通常用大写拉丁字母A,B, C,…表示，元素通常用小写拉丁字母 a,b,c, …表示. 如果a是集合A的元素，就说a属 于集合A,记作a∈A,读作“a属于A”. 如果a不是集合A中的元素，就说 a不属于集合A,记作a∉A,读作“a不 属于A”. 4.常用的数集及其记法： N:非负整数集(或自然数集). N*或N+:正整数集. Z:整数集. Q:有理数集. R:实数集. 练习 用符号“∊”或∉”填空： 用自然语言可以描述一个集合，除 此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ [提示]可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 思考2：方程的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？ [提示]{-1，-2}. 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 概念：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 例1用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的 集 合 ； (2)方程x²=x的所有实数根组成 的集合 . 解：(1)设小于10的 所有自然数组成的集合为A, 那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9}. (2) 设方程x²=x的所有实 数根组成的集合为B, 那么 B={0,1}. 由于元素完全相同的两个 集合相等，而与列举的顺序无 关，因此集合A可以有不同的列 举方法.例如： A={9,8,7,6,5,4,3,2,1, 0}. 思考 (1) 你能用自然语言描述集合{0, 3, 6, 9}吗？ (2) 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗 解：(1) 能，由大于等于0且小于10的整数中所有3的倍数组成的. (2) 不能，因为不等式x－7<3的解集的元素有无穷多个，无法一一列举出来. 此时就要采用集合的另一种表示方法。 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法 比如：① 不等式x－7<3的解集可表示成{x∈R|x<10}. ② 所有奇数组成的集合可表示成{x∈Z|x=2k+1, k∈Z}. ③ 由所有偶数组成的集合可表示成{x∈Z|x=2k, k∈Z}. 定义：一般地，设A是一个集合，我 们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. （具体方法是：在花括号内先写上表示 这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同特征.） 例2试分别用列举法和描述法表 示下列集合： (1)方程x²—2=0的所有实数根 组成的集合A; (2)由大于10且小于20的所有整 数组成的集合B. 解：(1)设x∈A,则x 是一个实数，且x²-2=0.因此， 用 描 述 法 表 示 为 A = { x ∈ R | x²-2=0}. 方程x²—2=0有两个实数根 √2,一 √2,因此，用列举法表示 为A={ √2,一 √2}. (2)设x∈B,则x是一个整数，即x∈Z,且10<x<20 . 因 此，用描述法表示为B={x∈Z10<x<20}. 大于10且小于20的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19, 因此，用列举法表示为 B={11, 12,13,14,15,16,17,18,19}. 课堂练习 （教材p5） 1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由． (1) 同一平面内与定点A，B等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手． 解：(1) 能组成集合. (2) 不能组成集合，因为不满足集合元素的确定性. 3. 用适当的方法表示集合： (1) 方程x2-9=0的所有实数根组成的集合； (2) 一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合； (3)不等式4x-5<3的解集. 解：（1）{-3, 3}； （2）{(1, 4)}； （3）{x|x<2}. 课堂小结 1． 集合的含义； 2．集合与元素的关系； 3．五个常用数集记法； 4．集合的表示方法. （师生一起回顾总结） 板书设计 1.1集合的概念 1.元素与集合的概念 2.元素的基本性质 (1)确定性 (2)互异性 (3)无序性 3.相等集合 4.元素与集合的关系 5.列举法 例1 6.描述法 例2 7.练习 堂堂清 日日清 1. 记住常用数集 2. 用描述法表示下列集合： 不等式2x－3<1的解组成的集合A； 3.用列举法表示下列集合： 一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 作业布置 教材P5 1.1习题 第1题，第三题 7、教学反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $