1.1.1数列的概念导学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

1.1数列的概念 最新课程标准 学科核心素养 1.了解数列的相关概念.（数学抽象） 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的 2.了解数列的函数特性、数列的通项公式· 概念和表示方法（列表、图象、通项公式） (数学抽象) 2.了解数列是一种特殊函数 3.能根据数列的前几项写出数列的通项公式 (逻辑推理、数学建模) 导学 [教材要点) 要点一数列的有关概念及表示方法 1,数列的有关概念 (1)数列：按 排列的一列数叫作数列. (2)数列的项：数列中的 叫作这个数列的项. 2.数列的表示方法 数列的一般形式可以写成a1,a2,a,…,an,…或简记为数列{an},其中a1是数列的 第1项，也叫数列的 ;an是数列的第n项，也叫数列的 总结(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于「 (),而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f)中的n (2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序 不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集 合中的元素具有无序性 要点二数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列：项数 的数列； (2)无穷数列：项数 的数列. 总结有穷数列与无穷数列的表示方法： (I)有穷数列一般表示为a1,a2,a,…,am:无穷数列一般表示为a1,a2,a,…,am’… (②2)对于有穷数列，要把末项（即最后一项）写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要 用“…”结尾 要点三数列的通项公式 如果数列{an}的第n项 之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析 式 总结（①）数列的通项公式必须适合数列中的任意一项. (2)己知通项公式am=fn),那么只需依次用1,2,3，…代替公式中的n,就可以求出这 个数列的各项， (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如a=(一1)”可以写成a=(一1)+2，还可以 (-1,n=2k-1, 写成an= 1,n=2k(《∈N),这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列. (④并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. [练习] 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)0,1,2,3,4}是有穷数列.（) (2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列.() (3)所有自然数能构成数列.() (4数列1,3,5,7，…，2n+1,…的通项公式是a,=2n+1.() 2.(多选题)数列一1,1，一1,1，…的通项公式可以为() A.an=(-1)y-1 B.an=(-1)y C.an=cosπ D.an=sin nn 3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的() A.第9项B.第10项 C.第11项D.第12项 4.数列1,2，V万，10，V3,…中的第26项为 导思 题型一数列的概念与分类 例1（多选题）下列说法正确的是() A.数列4,7,3,4的首项是4 B.数列{an}中，若41=3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列1,2,3，…就是数列{n} D.数列中的项不能是三角形 总结 正确理解数列及相关概念，注意以下几，点： (①)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同 但与顺序有关； (2)数列a1,a,…,an,…可以记为{an},但不能记作{a,a2,…,an,…} 跟踪训练1（多选题）下列说法正确的是( ) A.数列2n+1}的第5项是10 B.数列1，方，青，…，吉，…可以记为{合} C.数列3,5,7与数列5,7,3是相同的数列 D.数列1,2,3,4,5，…，n,…是无穷数列 题型二根据数列的前几项写出通项公式 例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： ①)-1，，-青，： (25,3,N15,N21: (3)0.9,0.99,0.999,0.9999: (4)3,5,3,5. 总结 (I)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方 面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符芳特征等，并对此进行归纳、联想 (②)观察、分析数列中各项的特，点是最重要的，观察出项与序芳之间的关系 规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题 得到解决，对于正负符号变化，可用（一1）y”或(-1)1来调整. 跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24,… (2)1,-3,5,-7,9,… (3)1克，2号，3,4蜡，… (4)1,11,111,1111,…. 题型三数列通项公式的简单应用 例3已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n, (1)写出此数列的第4项和第6项. (2)一49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果 是，应是哪一项？ 变式探究本例中，数列{am}中有多少个负数项？ 总结 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替 公式中的n,就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数 列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项， 4 跟踪训练3已知数列{an}的通项公式为an=n4 (1)写出数列的第4项和第6项. (2)试问。是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由 易错辨析忽略了相邻正方形的公共边而致误 例4图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成： n=1 n=2 =3 =4 通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为 解析：因为每两个相邻的正方形均有1条公共边， 所以第二个图形的火柴棒根数为2×3十1 第三个图形的火柴棒根数为3×3十1. 第n个图形的火柴棒根数为3n十1. 答案：3n+1 【易错点】 出错原因 纠错心得 每相邻的两个正方形都有公共边，第n个图 正确观察图形，看清图形间的内在联系，并 形有n个正方形，火柴棒的根数是3n十1而 找到相关规律，再进行归纳。 不是4n. [课时训练] 1.数列0，一青，是，导，…的通项公式为( A.a,=(-1yr器 B.a,=(-1y1 C.a,=(-1y1 D.a,=(-1m1 2.在数列-1,0，方，言，…，器，…中008是它的() A.第100项B.第12项 C.第10项D.第8项 3.己知数列{an}的通项公式为am=n2一n,则下列结论正确的是() A.第2项a2=0 B,0不是数列中的一项 C.21是数列中的一项D.42是数列中的一项 4.若数列{am}的通项公式是an=3-2,则a2m= 5.写出数列a,=部的前5项，并用图象表示出来. 温箬提示：请完成课时作业（一） 1.1数列的概念 导学 要点一 1.(1)一定次序(2)每一个数 2.首项通项 要点二 (1)有限(2)无限 要点三 an n an=f(n) [练习] 1.答案：(1)×(2)×(3)√(4× 2.答案：BC 3.解析：由am=n2+1=122,得n2=121. ∴n=11.故选C 答案：C 4.解析：因为a=1=V1,a2=2=V4 =V万，d4=V0,a5=V3,所以a,=3m-2, 所以a6=3×26-2-V76=2W19 答案：219 导思 题型一 例1解析：根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项4，A正确；同 一个数在数列中可以重复出现，B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须 是数，不能是其他形式，D正确 故选ACD 答案：ACD 跟踪训练1解析：当n=5时，a5=11,A错误；B正确；因为数列是按一定次序排成 的一列数，C错误；D正确. 故选BD 答案：BD 题型二 例2解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的 倒数，正负相间用（一I)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an=(-l)n·吉n∈N+). (2)数列可化为5,5,15，V21,即V3×1,V3×3,3×5,V3×7,,每个根 号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2一1，故原数列的一个通项 公式为am=V3(2n-1)=V6n-3(n∈N+). 3)原数列可变形为(1品)，（1六)，(1)，（1六)，…，故数列的一个通项 公式为a=1-忘m∈N+). (4数列给出前4项，其中正奇数项为3，正偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法 【3(n为正奇数) 为a=气5(n为正偶数) 此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为学=4,4十1=5 ,4一1=3，因此数列的一个通项公式又可以写为a=4十（一1）n∈N+). 跟踪训练2解析：(1)观察数列中的数，可以看到0=1一1,3=4-1,8=9-1,15=16-1 ,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是am=n2-1n∈N*). (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正， 偶数项为负，所以它的一个通项公式为a=(-I)+(2n-1)n∈N). (3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为录， 故所求的数列的一个通项公式为a,=n十品=产a∈N。 (4原数列的各项可变为号×9，青×99，号×999，号×9999，，易知数列9,99,999， 9999,…的一个通项公式为an=10m一1，所以原数列的一个通项公式为an= 号(10”-1)(neN) 题型三 例3解析：(1)a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60. (2)一49是该数列的一项，68不是该数列的项. 由3n2-28n=-49 解得n=7或n=号（舍去）， 所以一49是该数列的第7项； 由3n2-28n=68解得n=-2或n=号，均不合题意， 所以68不是该数列的项， 变式探究解析：a.=3n2-28n=n(3n-28), 令an<0,则0n<号， 又n∈N+,所以n=1,2,3,4,5,6,7,8,9. 即数列{an}中共有9个负数项. 跟踪训练3解析：(1)因为an=n4, 4 4 所以a4=4434=亨，6=43x6=7 4 (2)品是该数列的项， 4 令n4=六，则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到n∈N, 故将n=一8舍去，所以立是该数列的第5项。 [课时训练] 1.解析：当n=1时，排除A、D,当n=2时，排除B,故选C. 答案：C 2.解析：由题意知，4=误 令a,=0.08,即器-品， 所以n=l0或n=(舍去)，故选C. 答案：C 3,解析：令n2-n=42,解得n=7(n=一6舍去).故42是数列的第7项，其余选项均 错 故选D 答案：D 4.解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为am=3-2", 所以a2m=3-22m=3-4, =器- 答案：3-4青 5.解析：数列a的前5项依次是1，青，，是，图象如图. 2 012345n