1.1.2 数列的函数特性-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

005 ●易错警示 忽略数列有序性致误 例4写出内集合xxN,且x≤4中的所有元素构成的所有数列（要求首项为1，且集合的元素 只出现一次). [误区警示]数列的记法{a,}只是“借用”集合的符号{}表示数列，它们之间有本质上的区 别：(1)集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的.(2)集合中的元素是无序的，而数列 中的项必须按一定顺序排列. 课堂检测固双基 1.数列1,3,6,10，x,21,28,…中，由给出的数之3.把1,3,6,10,15,21这些数叫作三角形数，这 间的关系可知x的值是 ( 是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图 A.12 B.15 C.17 D.18 所示)，则第七个三角形数是 2.有下列命题： ①数列号号各…的-个通项公式是口 10 15 s、h B.28 n+1 A.27 C.29 D.30 ②数列的图象是一群孤立的点； 4.323是数列{n(n+2)}(n∈N,)的第项 ③数列1，-1,1，-1，…与数列-1,1，-1,1，…是 同一数列， 其中正确命题的个数为 夯基提能作业 A.1 B.2 C.3 D.0 请同学们认真完成练案[1] 1.2 数列的函数特性 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解数列的几种简单表示方法， 1.通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学 2.了解递增数列、递减数列、常数列的概念 习，培养数学抽象素养 3.掌握判断数列的增减性的方法 2.借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养 006 必备知识探新知 知识点一 数列与函数的关系 数列可以看作是定义域为 (或它的有限子集{1,2，…，n)的函数，当自变量 依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. [提醒]数列是一种特殊的函数，特殊在它的定义域是离散型的，所以图象是一些分散的点. 并且数列有序，函数值域是集合，具有无序性. 想一想： 在数列a.中，4，=，请说出数列a,与函数(x)=1(x>0)的图象的区别与联系？ 练一练： 在数列{an}中，an=n2-9n(n∈N,),则此数列最小项的值是 知识点二数列的三种表示法 (1)列表法.(2)图象法.(3)】 练一练： 对于数列{an},a1=4,an+1=f(an),n∈N,依照下表，则a22s= 1 2 3 5 f(x) 5 4 3 2 知识点三递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 名称 定义 表达式 图象特点 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 a+1>a.(n∈N) 递减数列 从第2项起，每一项都它的前一项 an+i<an(n∈Nt) 常数列 各项都 au+i=an(n∈Nt) 不升不降 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小 an与an+i(n∈N,)大小 摆动数列 上下摆动 于它的前一项 不确定 练一练： 已知数列山的通项公式是4-导则这个数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 007 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一数列的表示方法 例1在数列1a中，a=n2-8n (1)画出数列{an}的图象； (2)根据图象判定数列{α，}的增减性. 规律方法： 画数列的图象的方法 数列是一个特殊的函 [规律方法]表，因此也可以用图 】对点训练1 象来表示，以位置序 若数列{an}的通项公式为an=-n2+7n(n∈N,),求an的最大值，并与 号n为横坐标，相应的 函数f(x)=一x2+7x(x∈R)的最大值作比较. 项为纵坐标，即坐标 为(n,an)描点画图， 就可以得到数列的图 象.因为它的定义域 是正整裁集N,(或它 的有限子集1,2,3， …,n),所以其图象 是一群孤立的点，这 些点的个裁可以是有 限的，也可以是无 限的 008 题型二 根据数列的单调性求参数的取值范围 例2.已知数列a,满足：a,= (3-a)n-3,n≤7(neN,),且数列a, 规律方法： a"-6,n>7 利用戴列的单调性确 是递增数列，则实数a的取值范围是 ( 定变量的取值范围， 解决此类问題常用以 C.(1,3) D.(2,3) 下等价关系 ·[规律方法] 裁列{an}递增曰an+l >an(n∈N,),数列 》对点训练2 {an}递减台an+l<an 通项公式为an=入n2+n的数列{an},若满足a1<a2<3<a4<a5,且 (n∈N,),进而转化 an>an+1对n≥8恒成立，则实数入的取值范围是 为不等式恒成立问 B( 题，通过分离变量转 化为求代数式的最值 c(-10-16 D( 问题来解决，或由数 列的函数特征，通过 题型三求数列的最大项与最小项 构建变量的不等关 例3.已知数列a,的通项公式是a,=(n+2)×日)(neN),数列1a. 系，解不等式（组）来 确定变量的取值范 是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由. 围.另外，在解决问題 时，勿忘n∈N,这个 条件，即n∈Z且 n≥1. 规律方法： 求数列中的最大（最 小)项问题的两种 方法 (1)构造函戴，确定出 函数的单调性，进一 步求出数列的最大项 或最小项 (2)利用，≥0+1， an≥an-1 (n≥2)，求数列中的 最大项an,利用 [.≤a1'(n≥2)，求 lan≤an-i 裁列中的最小项an 当解不唯一时，比较 各解大小即可确定 ●[规律方法] 009 》对点训练3 已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n,则该数列中的数值最大的项是 A.第5项 B.第6项 C.第4项或第5项 D.第5项或第6项 ●易错警示 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 例 4.已知数列{an}的通项公式为an=n2+tn,若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是 [错解][-2，+0)》 [误区警示】在错解中，忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出-≤1，即1∈ [-2,+0)错误结果.事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)=x+x在[1，+0)上不单调照样 可以使得数列a.单调，当对称轴位于区间1，引内时，4<4，也成立. [正解] 课堂检测 固双基 1.已知a+1-an=3,则数列{an}是 ( ）3.已知表示数列a,的图象的点在函数y=的 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 图象上，则其通项公式为 2.已知数列{an}满足：任意m,n∈N,,都有 4.已知数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列，则a 的取值范围为 a2·am=a±m,且a1=7,那么a3 A.1 ·32 B. 16 C. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2]学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第一章数列 :7,7×9,…是两个相邻奇数的乘积 2n §1数列的概念及其函数特性 故a,=(2n-1）(2n+) (2)奇数项为1，偶数项为0， 1.1数列的概念 「1，n为奇数 故a.={0,n为偶数 必备知识探新知 (3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负， 知识点一 偶数项为正，故an=(-1)“·n 1.次序2.每一个数3.an}首项通项 想一想： (4)数列各项可化为号×9，号×9，号×9，…，所以通项 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为 二者的项的排列次序不同 公式为a,=号(10-1). 练一练： 例3：(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60. (1)×1,3,5,7}不表示数列 (2)令3n2-28n=-49, (2)×数列具有有序性，顺序不同一定不是相同数列 (3)V数列中的各项数可能相等 解得n=7或n=子（合去）。 知识点 所以n=7,即-49是该数列的第7项」 1.有限2.无限 练一练： 令3n-28m=68,解得a-兰或n=-2 ACB、D是有穷数列，A、C是无穷数列 因为3 知识点三 N”,-2gN,所以68不是该数列的项 一个式子 (3)am=n(3n-28),令an<0 练一练： 又neN,解得n=1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1.B这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项 即数列{an}中有9个负数项 公式为an=n+1. 对点训练3：令户，=9 2.2因为an= +10,得2=9， /16-2n 所以n=3(n=-3舍去)， 所以a4=16-8 4 =2 故号是该数列中的项，并且是第3项： 关键能力攻重难 例1：AC根据数列的相关概念，可知数列4,7.3,4的第1 令0得所以= 项就是首项，即4，故A正确：同一个数在一个数列中可以重复 由于兮与-了都不是正整数。 出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；当a,b都代表 数时，能构成数列，当a,b中至少有一个不代表数时，不能构成 因此品不是数列中的项 数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误 例4：集合可表示为1,2,3,4}，由集合中的元素组成的数 对点训练1：CA中，14,2，了，5是数列：B中，数列的第列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6 个：1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2. k项为1+：D中，数列应记为2n-2,所以D不正确：很明课堂检测固双基 显C正确. 1.B各项乘2，变为1×2,2×3,3×4，…，可得原数列的通项公 例2：(1)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，新数 式为a,=(n+1 列{bn}的通项公式为bn=10,可得原数列{an}的一个通项公式 2 为am=10”-1 故x=a,=5x(5+山=15. 2 新数列山的通项公式为，21，考虑到〔是1具有转换2A②正确，其余均不对。 (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数， 正负号的作用，所以原数列{a.}的一个通项公式为a.= 3.B观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项 多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可，根 (-1)"1(2n-1). 据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+ (3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分 5+6+7=28. 数再观察各项变为分子，号空所以数列a的- 4.17令n(n+2)=323,n2+2n-323=0, 个通项公式为“，= .(n+19)(n-17)=0,:neNt,n=17. 1.2 数列的函数特性 (4)3可看作2+1,5可看作22+1,9可看作2+1,17可 看作2+1,33可看作2+1，…，所以数列a}的一个通项公式必备知识 探新知 为an=2"+1. 知识点一 对点训练2：(1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×： 正整数集N,从小到大 -149 想一想： 又a,<ag,即(3-a)×7-3<a86,解得a>2或a<-9.综上， 数列{an}的图象是一群孤立的点，而函数f(x)的图象是一得2<a<3,故实数a的取值范围为(2,3)，故选D. 条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上. 对点训练2：A:a<a2<a<a4<a5,.入+1<4入+2< 练一练： -20,=i2-9n=(--8 9入+3<161+4<25入+5，故入>-9，而a.>a1对任意的n nEN.. ≥8恒成立.故入<0，且六8号，即A<7故选人 当n=4或n=5时，an取最小值-20. 例3：数列{a.}有最大项 知识点二 通项公式法 方法-4-a=(a+3)×(3)-(a+2)×() 练一练： 5a1=4,a2=f4)=1,a3=f(1)=5,a4=f5)=2,a5= f2)=4,…, 当n<5(neN,)时，a+l-an>0,即am1>am; 该数列是周期为4的周期数列， 所以a2=a3=5. 当n=5时，anl-an=0,即am+1=an; 知识点三 当n>5(neN,)时，a+l-an<0,即a+l<a 大于上升小于下降相等 故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>ag>, 7 练一练： ∴.数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6,且a5=a6= B数列a,的通项公式是4，=名=“=1+ 85 n+1 n+1 7 则当n∈N,时为递减数列 1 方法二： (m+3)(8) 7(n+3) an (a+2)() 8(n+2) 关键能力攻重难 例1：(1)列表 令a出>1，即7n+3 8(n+2) >1,解得n<5(neN,): a n123456789… 1.吸 =1,解得n=5,.a6=a5; a.-7-12-15-16-15-12-709… an 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{α，}的 <1,解得n>5(neN,). 图象：(1，-7)，(2，-12)，(3，-15)，(4，-16)，(5，-15)，(6， <1, -12),(7,-7),(8,0),(9,9),… 故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…, 图象如图所示. .数列an}有最大项，且最大项为a或a6,且a5=a6 、76 85 : 方法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项(n≥2)， 则厂a,≥a-1, 01 Lan≥am+1, -7 n+2)x(g)≥(a+1)x() 即 -16F 解得5≤n≤6. (2)数列{α，}的图象既不是上升的，也不是下降的，则数列 76 an}既不是单调递增的，也不是单调递减的， 故数列{an}有最大项a或a6,且a5=a。= 85 对点训练1：作出函数f(x)=-x2+7x(x∈R)的图象与数 列{an}的图象. 对点训练3：A-2+21n=-2a-°+g, 因为neN5<2<6,且%=5，a,=54, 所以数值最大的项为第5项 例4：(-3，+∞)正解一：由数列an}为递增数列，知 3456 an+1-am=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn)=2n+1+t>0恒成 立，即t>-(2n+1)恒成立 而neN*,所以t>-3,故t的取值范围是(-3，+∞). 从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线f(x)=-x2 +7x(x∈R)的图象上， 正解二a=+n=(a+号}-公 由数列an}的图象，得an的最大值为a3=a4=12, 由于neN·,且数列{a.}为递增数列，结合二次函数的图 由函数)的图象得)的最大值刘子)-学。 71 象可得-分<号，解得1>-3， 因此，a.的最大值小于f(x)的最大值， 故t的取值范围是(-3，+∞) 例2：D因为数列a.是递增数列，所以由n≤7时，a=课堂检测固双基 (3-a)n-3知3-a>0,即a<3;由n>7时，a.=a"-6知a>1.1.Aan+1-an=3>0,.an+1>a -150 2.A由题意，得=441=子，4山，=a·=名，则a,=4·a :(不是常数)，所以此数列不是等差数列 (2)证明：方法一：因为 1-1+3a =32 an+1 an 所以1=L+3,所以1-1=3， 3.a,=(neN,)数列a,对应的点列为(n,a,),即有a.= an+l an n aeN,》 又因为6，=古(aeN),所以61-6=3(neN),且6， 4.（-2,1)数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列， 宁所以数列点是等考数列，首项为分，公若为3 1 23-解得-2<a1 方法二：因为6=，且a1中a an ∴.a的取值范围为(-2,1) §2等差数列 1=1+3a=L+3=6.+3, 所以b1a,a,a 2.1 等差数列的概念及其通项公式 所以6-6=3eN)4-女分 第1课时等差数列 所以数列b,}是等差数列，首项为2，公差为3， 必备知识探新知 对点训练2：(1)证明：当m≥2时，1=1+31+1 =31=+ 知识点一 1.1-1 2差同一个常数a.-am-1=d(n≥2) xn xn-1 3 想一想： 二个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数， {日}是等差数列，公差为号 若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等， -m 1 则这个数列不是等差数列： (2)(1)知， =2+3(n-1), 练一练： AC根据等差数列的定义可知A,C中的数列是等差数列， -2+写×(10-1)=35. 1 X100 而B,D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数 1 知识点二 .X10m=35 a1+(n-1)d 例3：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时， 练一练： 每增加1km,乘客需要支付1.2元. 1.B由已知等差数列{an},a1=2,a3=5可得等差数列 所以，可以建立一个等差数列an}来计算车费 a的公若d-号骨52-号 令a1=11.2,表示4km处的车费，公差d=1.2 =2 那么当出租车行至14km处时，n=11, 2.D由an=a1+(n-1)d得2023=3+4(n-1),解得n 此时需要支付车费a1=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元)， =506. 即需要支付车费23.2元. 关键能力攻重难 对点训练3：l1设经过n次考试后该学生的成绩为a, 例1：(1)设等差数列{an}的公差为d,则2a1+4d=10,即2 则4，=5n+69,由5n+69≥120，得n≥}=10，所以至 +4d=10,解得d=2,所以an=2n-1. 5 (2)设数列an}的公差为d, 少要经过11次考试 由a=11,a,=5,得4+(5-1)d=11, a1+(8-1)d=5, 例4：D由愿应[8叫0新得号<3，放选D 即a+4d=11, a,+71=5,解得a=19,d=-2, 课堂检测固双基 1.Aam=2n+5,aw-l=2n+3(n≥2）， 所以数列an}的通项公式an=19+(n-1)×(-2)=21 .am-am-1=2n+5-2n-3=2(n≥2)， 2n. ∴.数列{a}是公差为2的等差数列. 对点训练1：(1)C设公差为d,首项为a1, 2.B设这个等差数列为{am}, [收。架 其中a1=-3,d=4,.a5=a1+14d=-3+4×14=53. ld=2. 3.Ca1=1,d=-1-1=-2,.am=1+(n-1)·(-2)= .ag=a1+8d=16. -2n+3, (2)①由a3=a1+(3-1)d,得a1=a3-2d=-8, 由-89=-2n+3,得n=46. am=-8+(n-1)×3=3n-11. 4.1B设公差为d,由题意得2a+d=4+3d, ②am=a1+(n-1)d, La1+9d=11, 所以a5=a1+4d, 解得a2, .an=a1+(n-1)d,∴.a2=2+11=13. 所以11=a1-4×2,所以a1=19, ld=1. 所以am=19+(n-1)×(-2) 第2课时等差数列的性质及应用 =-2n+21, 令-2n+21=1,得n=10. 必备知识探新知 例2：(1)①am+1-a.=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数)，n 知识点一 为任意正整数，所以此数列为等差数列. (1)等间隔的点公差d(2)等间隔的点斜率递增数 ②因为a+1-an=(n+1)2+(n+1)-(2+n)=2n+2列递减数列常数列 -151