3 等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 第2课时 等比数列的性质-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

当n＝１时, an＋１ an ＝ a２ a１ ＝ ２２＋a． 故当a＝－１时,数列{an}成等比数列,其首项为１,公比为２; 当a≠－１时,数列{an}不是等比数列． 母题变式 １．[证明]　∵Sn＝２－an,∴Sn＋１＝２－an＋１, ∴an＋１＝Sn＋１－Sn＝(２－an＋１)－(２－an)＝an－an＋１, ∴an＋１＝ １ ２an． 又∵S１＝２－a１, ∴a１＝１≠０．又由an＋１＝ １ ２an 知an≠０, ∴ an＋１ an ＝１２ ,∴{an}是等比数列． ２．[解]　因为an＋１＝２an＋１,所以an＋１＋１＝２(an＋１)． 由a１＝１,知a１＋１≠０,从而an＋１≠０． 所以 an＋１＋１ an＋１ ＝２(n∈N＋ ),所 以 数 列 {an＋１}是 等 比 数列． 所以{an＋１}是 以a１＋１＝２ 为 首 项,２ 为 公 比 的 等 比 数列, 所以an＋１＝２􀅰２n－１＝２n,即an＝２n－１． 变式训练 ３．证明:∵an＞０,∴an＋３＞０． 又∵an＋１＝２an＋３,∴ an＋１＋３ an＋３ ＝ ２an＋３＋３ an＋３ ＝ ２(an＋３) an＋３ ＝２． ∴数列{an＋３}是首项为a１＋３,公比为２的等比数列． [例４]　[解]　(１)从第一年起,每年这辆车的价值(万元) 依次设为:a１,a２,a３,􀆺,an, 由题意,得a１＝１０,a２＝１０×(１－１０％), a３＝１０(１－１０％)２,􀆺． 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a１＝１０, 公比q＝１－１０％＝０􀆰９, 所以an＝a１qn－１＝１０×０􀆰９n－１．所以第n年这辆车的价 值为an＝１０×０􀆰９n－１万元． (２)当他用满３年时,这辆车的价值为a４＝１０×０􀆰９４－１＝ ７􀆰２９(万元)． 当用满３年时卖掉这辆车,他大概能得到７􀆰２９万元． 变式训练 ４．C　[设对折n次时,纸的厚度为an,每次对折厚度变为原 来的２倍, 由题意知{an}是以a１＝０．１×２为首项,公比为２的等比 数列, 所以an＝０．１×２×２n－１＝０．１×２n,令an＝０．１×２n≥３８ ×１０４×１０６, 即２n≥３．８×１０１２,所以lg２n≥lg３．８＋１２,即nlg２≥０．６ ＋１２, 解得n≥１２．６０．３ ＝４２ ,所 以 至 少 对 折 的 次 数n 是 ４２,故 选:C．] 当堂达标 １．B　[因为９８ × ２ ３( ) n－１ ＝１３ ,所以 ２ ３( ) n－１ ＝８２７ ＝ ２ ３( ) ３ ,所以n＝４．] ２．B　[由a１≠０,q≠０,得,１－a≠０,所以a≠０且a≠１．] ３．解析:这１０个正方形的边长构成以２为首项,２为公比的 等比数列{an}(１≤n≤１０,n∈N＋),则第１０个正方形的面 积S＝a２１０＝２２×２９＝２１１＝２０４８． 答案:２０４８ ４．解:依题意an＝２＋(n－１)×(－１)＝３－n,于是bn＝ １ ２( ) ３－n ．而 bn bn－１ ＝ １ ２( ) ３－n １ ２( ) ４－n＝ １ ２( ) －１ ＝２． 又b１＝ １ ２( ) ３－１ ＝１４ , ∴数列{bn}是首项为 １ ４ ,公比为２的等比数列,通项公式 为bn＝２n－３． 第２课时　等比数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、递减　数列　递增　数列　递增　数列　递减　 数列 [思考] １．[提示]　递减数列． [思考] ２．[提示]　数列{an}不具有单调性,是摆动数列． 知识点二、ab [思考] ３．[提示]　(１)不是,两个同号的实数必有等比中项,它们互为 相反数,两个异号的实数无等比中项．(２)不唯一,如２和８ 的等比中项是４或－４． [思考] ４．[提示]　由定义可判断出(１)(３)(４)正确． 预习自测 １．(１)√　(２)×　(３)√　(４)× ２．C　[∵a２a６＝a２４＝a３a５,且a２a６＋a２４＝π,∴２a３a５＝π,∴a３a５ ＝π２． ] ３．C　[因为a１＝２＞０,要使{an}是递增数列,则需公比q＞１．] ４．解析:由 题 意 知 ７＋３ ５ 与 ７－３ ５ 的 等 比 中 项 为 ± (７－３ ５)(７＋３ ５)＝± ４９－４５＝±２． 答案:２或－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 课堂互动学案 [例１]　(１)[解析]　当a１＜a２＜a３ 时,设公比为q,由a１＜a１q ＜a１q２ 得若a１＞０,则１＜q＜q２,即q＞１,此时,显然数列{an} 是递增数列,若a１＜０,则１＞q＞q２,即０＜q＜１,此时,数列 {an}也是递增数列,反之,当数列{an}是递增数列时,显然a１ ＜a２＜a３．故“a１＜a２＜a３”是“等比数列{an}递增”的充要条 件．故选:C． [答案]　C (２)[解析]　由题意,设数列{an}的公比为q,因为an＝ a１qn－１,得an＋１－an＝a１qn－１(q－１)＞０,当a１＞０时,q＞１, 此时０＜ an an＋１ ＜１,当a１＜０时,０＜q＜１, an an＋１ ＞１,故不正确 的是ABC． [答案]　D 变式训练 １．[解析]　在等比数列{an}中,a１＝ １ ３２ ,所以a１１＝ １ ３２q １０＞１,q１０ ＞３２,q＞ ２, 当n≥１１时,an＋１－an＝an(q－１)＞０,数列递增,所以当n≥ １１时,an＞１恒成立．故答案为:q＞ ２． [答案]　q＞ ２ [例２]　[解析]　(１)由题意得(２x＋２)２＝x(３x＋３), 即x２＋５x＋４＝０,解得x＝－１或x＝－４． 当x＝－１时,２x＋２＝０,不符合题意,舍去,所以x＝－４． (２)由a,b,c成等比数列,１a ,１ b ,１ c 成等差数列, 得 b２＝ac, ２ b＝ １ a＋ １ c ,{ 即４ac＝ １a＋１c( ) ２ ,故(a－c)２＝０,即a＝ c．所以ca ＋ a c ＝１＋１＝２． [答案]　(１)－４　(２)２ 变式训练 ２．解析:(１)由 题 意 得a２b２＝(ab)２＝１,１a ＋ １ b ＝２ ,所 以 ab＝１, a＋b＝２{ 或 ab＝－１, a＋b＝－２．{ 因此 a＋b a２＋b２ 的值为１或－１３ ． (２)由已知可得(a＋１)２＝(a－１)(a＋４),解得a＝５, 所以a１＝４,a２＝６．所以q＝ a２ a１ ＝６４ ＝ ３ ２ ． 所以an＝４× ３ ２( ) n－１． 答案:(１)D　(２)４× ３２( ) n－１ [例３]　[解]　设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数 列的 各 项 依 次 为８０ q２ ,８０ q ,８０,８０＋d,８０＋２d,于 是 得 ８０ q＋ (８０＋d)＝１３６, ８０ q２ ＋(８０＋２d)＝１３２, ì î í ï ï ïï 解方程组,得 q＝２ , d＝１６,{ 或 q＝２３ , d＝－６４,{ 所以这个数列是２０,４０,８０,９６,１１２,或１８０,１２０,８０,１６,－４８． 变式训练 ３．解:方法一:设这四个数依次为a－d,a,a＋d, (a＋d)２ a , 于 是 得 a－d＋ (a＋d)２ a ＝１６ , a＋a＋d＝１２,{ 解 方 程 组, 得 a＝４, d＝４,{ 或 a＝９, d＝－６．{ 所以当a＝４,d＝４时,所求的四个数为０,４,８,１６; 当a＝９,d＝－６时,所求的四个数为１５,９,３,１． 故所求的四个数为０,４,８,１６或１５,９,３,１． 方法二:设这四个数依次为２a q －a ,a q ,a,aq,于是得 ２a q －a＋aq＝１６ , a q ＋a＝１２ , ì î í ï ï ïï 解方程组,得 a＝８, q＝２,{ 或 a＝３, q＝１３．{ 所以当a＝８,q＝２时,所求的四个数为０,４,８,１６; 当a＝３,q＝１３ 时,所求的四个数为１５,９,３,１． 故所求的四个数为０,４,８,１６或１５,９,３,１． [例４]　(１)[解析]　a３a５＝a２４＝４,又an＞０,所以a４＝２, a１a２a３a４a５a６a７＝(a１􀅰a７)􀅰(a２􀅰a６)􀅰(a３􀅰a５)􀅰a４＝a２４􀅰 a２４􀅰a２４􀅰a４＝a７４＝２７＝１２８． [答案]　１２８ (２)[解析]　在等比数列{an}中,由a４a７＝－５１２,得a３a８＝－ ５１２,又a３＋a８＝１２４,解得a３＝－４,a８＝１２８或a３＝－１２８,a８ ＝４．因为公比q为整数,所以q＝ ５ a８ a３ ＝－ ５ １２８ ４ ＝－２ , 故an＝－４×(－２)n－３＝－(－２)n－１． [答案]　－(－２)n－１ 母题变式 １．[解]　因为{an}是等比数列,所以a５a６＝a４a７＝－８,又a４＋ a７＝２,解得a４＝４,a７＝－２或a４＝－２,a７＝４． 当a４＝４,a７＝－２时,q３＝－ １ ２ ,a１＋a１０＝ a４ q３ ＋a７q３＝－７; 当a４＝－２,a７＝４时,q３＝－２,a１＋a１０＝ a４ q３ ＋a７q３＝－７．故 a１＋a１０＝－７． ２．[解]　因为a４a７＝－５１２,所以a２a９＝a３a８＝－５１２, 故log４|a２|＋log４|a３|＋log４|a８|＋log４|a９|＝log４(|a２a９|􀅰| a３a８|)＝log４５１２２＝log２２９＝９． 变式训练 ４．(１)解析:B　[由等比数列的性质可知,a１２,a１８,a２４,a３０,a３６成 等比数列,且a１８ a１２ ＝２＝q６,故a３６＝a１８􀅰q１８＝８×２３＝６４．] (２)解析:D　[∵{an}为等比数列,∴a１a２a３,a４a５a６,a７a８a９ 也成等比数列,∴(a４a５a６)２＝(a１a２a３)􀅰(a７a８a９)＝５×１０, 又{an}各项均为正数,∴a４a５a６＝５ ２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８􀅰 参考答案 当堂达标 １．AC　[当数列{an}为１,１,１,１,􀆺时,数列{an－an＋１}不是等 比数列;当k＝０时,数列{kan}不是等比数列,而{|an|}和 a１ an{ }一定是等比数列．] ２．D　[因为a１＝２＞０,公比q＝－ １ ４ ＜０ ,所以数列{an}是摆 动数列．] ３．解析:由题意知(m＋１)２＝(m－１)(２m＋２),解得m＝３． 答案:３ ４．解:　(１)∵a１a２a３＝a３２＝２１６,∴a２＝６,∴a１a３＝３６． 又∵a１＋a３＝２１－a２＝１５, ∴a１,a３ 是方程x２－１５x＋３６＝０的两根． 解之得x１＝３,x２＝１２, 当a１＝３时,q＝ a２ a１ ＝２,an＝３×２n－１; 当a１＝１２时,q＝ １ ２ ,an＝１２× １ ２( ) n－１ ． (２)∵a４a８＝a３q􀅰a５q３＝a３a５q４＝１８q４＝７２, ∴q４＝４,∴q＝±２． ３􀆰２　等比数列的前n项和 第１课时　等比数列的前n项和 课前预习学案 知识梳理 [思考] １．[提示]　可把等比数列前n项和Sn 理解为关于n的指数型 函数． [思考] ２．[提示]　根据等比数列的定义,有: a２ a１ ＝ a３ a２ ＝ a４ a３ ＝􀆺＝ an an－１ ＝q,再由合比定理, 则得 a２＋a３＋a４＋􀆺＋an a１＋a２＋a３＋􀆺＋an－１ ＝q,即 Sn－a１ Sn－an ＝q,进而可求Sn． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)× ２．A　[由S５＝ a１[１－(－２)５] １－(－２) ＝４４ ,得a１＝４．] ３．B　[设塔的顶层的灯数为a１,七层塔的总灯数为S７,公比为 q,则由题意知S７＝３８１,q＝２,∴S７＝ a１(１－q７) １－q ＝ a１(１－２７) １－２ ＝３８１,解得a１＝３．所以塔的顶层共有灯３盏．] ４．解析:q３＝ S６－S３ S３ ＝２７－３３ ＝８ ,所以q＝２． 答案:２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由题意知 a１(１＋q)＝３０, a１(１＋q＋q２)＝１５５,{ 解得 a１＝５, q＝５{ 或 a１＝１８０, q＝－５６．{ 从而Sn＝ １ ４×５ n＋１－５４ 或Sn＝ １０８０× １－ －５６( ) n [ ] １１ ． (２)法一:由题意知 a１＋a１q２＝１０, a１q３＋a１q５＝ ５ ４ ,{ 解得 a１＝８, q＝１２ ,{ 从而 S５＝ a１(１－q５) １－q ＝ ３１ ２． 法二:由(a１＋a３)q３＝a４＋a６,得q３＝ １ ８ ,从而q＝１２． 又a１＋a３＝a１(１＋q２)＝１０,所 以a１＝８,从 而 S５＝ a１(１－q５) １－q ＝ ３１ ２． (３)因为a２an－１＝a１an＝１２８,所以a１,an 是方程x２－６６x ＋１２８＝０的两根． 从而 a１＝２, an＝６４,{ 或 an＝２, a１＝６４．{ 又Sn＝ a１－anq １－q ＝１２６ ,所以q 为２或１２． 变式训练 １．解:(１)由Sn＝ a１－anq １－q ,得１１ ２＝ ２－１６ ２q１－q ,∴q＝－２, 又由an＝a１qn－１,得１６ ２＝ ２(－２)n－１,∴n＝５． (２)若q＝１,则S８＝２S４,不合题意,∴q≠１, ∴S４＝ a１(１－q４) １－q ＝１ ,S８＝ a１(１－q８) １－q ＝１７ , 两式相除得１－q ８ １－q４ ＝１７＝１＋q４,∴q＝２或q＝－２,∴a１＝ １ １５ 或a１＝－ １ ５ , ∴an＝ １ １５×２ n－１或an＝－ １ ５× (－２)n－１． [例２]　(１)[解析]　∵{an}为等比数列,∴S２,S４－S２,S６ －S４ 也为等比数列,即７,S４－７,９１－S４ 成等比数列, ∴(S４－７)２＝７(９１－S４),解得S４＝２８或S４＝－２１． ∵S４＝a１＋a２＋a３＋a４＝a１＋a２＋a１q２＋a２q２＝(a１＋ a２)(１＋q２)＝S２(１＋q２)＞S２,∴S４＝２８． [答案]　A (２)[解析]　设S１＝a２＋a４＋a６＋􀆺＋a８０,S２＝a１＋a３＋ a５＋􀆺＋a７９．则 S１ S２ ＝q＝３,即S１＝３S２． 又S１＋S２＝S８０＝３２,∴ ４ ３S１＝３２ ,解得S１＝２４,即a２＋ a４＋a６＋􀆺＋a８０＝２４． [答案]　２４ 变式训练 ２．(１)A　[∵a２＋a４＋a６＋a８＝a１q＋a３q＋a５q＋a７q＝q(a１ ＋a３＋a５＋a７),∴ a１＋a３＋a５＋a７ a２＋a４＋a６＋a８ ＝１q＝－３． ] (２)B　[由等比数列的性质:S３,S６－S３,S９－S６ 仍成等 比数列,于是,由S６＝３S３,可推出S９－S６＝４S３,S９＝ ７S３,∴ S９ S６ ＝７３． ] (３)解:设数列{an}的首项为a１,公比为q,所有奇数项、偶 数项之 和 分 别 记 作 S奇 ,S偶 ,由 题 意 可 知,S奇 ＋S偶 ＝ ４S偶 ,即S奇＝３S偶．因为数列{an}的项数为偶数,所以有q ＝ S偶 S奇 ＝ １ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 第２课时　等比数列的性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．结合等差数列的性质,了解等比数列的性质和由来． ２．理解等比数列的性质及应用． ３．掌握等比数列与等差数列的综合应用． １．在运用等比数列性质解题过程中提升数学运 算的核心素养． ２．通过等比数列与等差数列的综合应用提升逻 辑推理和数学运算的学科素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　等比数列的增减性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 对于等比数列{an},通项公式an＝a１qn－１＝ a１ q 􀅰qn． 根据指数函数的增减性,可分析当q＞０时等比数列 {an}的增减性如下表． a１ a１＞０ a１＜０ q的范围０＜q＜１ q＝１ q＞１ ０＜q＜１ q＝１ q＞１ 数列{an} 的增减性 　　 　　 常 数列 　　 　　 　　 　　 常数列 　　 　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若等比数列{an}中,a１＝ ２,q＝ １ ２ ,则数 列{an}的单调性如何? ２．等比数列{an}中,若公比q＜０,则数列{an}的单调 性如何? [知识点二]　等比中项 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成 等比数列,那么G２＝　　　　,即G＝± ab ．我们 称G 为a,b的等比中项． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．(１)任意两个数都有等差中项,任意两个 数都有等比中项吗? (２)两个数的等差中项是唯一的,若两个数a,b存在 等比中项,唯一吗? [知识点三]　等比数列的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．通项公式的推广 an＝am􀅰qn－m(m,n∈N＋)． ２．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中,若 m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈ N＋),则am􀅰an＝ap􀅰aq． ①特别地,当m＋n＝２k(m,n,k∈N＋)时,am􀅰an ＝a２k． ②对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之 积等于首末两项的积,即a１􀅰an＝a２􀅰an－１＝􀆺＝ ak􀅰an－k＋１＝􀆺． ３．两等比数列合成数列的性质 若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于０的常 数,则数列{can},{a２n},{an􀅰bn}, an bn{ } 也为等比 数列． ４．等比、等差数列的两个性质 ①已知b＞０,且b≠１,如果数列{an}是等差数列, 那么数列{ban}是等比数列． ②如果数列{an}是各项均为正的等比数列,那么数 列{logban}是等差数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第一章　数　列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．等比数列{an}的前４项为１,２,４,８,下列 判断正确的是 (１){３an}是等比数列;(２){３＋an}是等比数列; (３)１an{ }是等比数列;(４){a２n}是等比数列． [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项 之积等于首末两项的积． (　　) (２)当q＞１时,{an}为递增数列． (　　) (３)当q＝１时,{an}为常数列． (　　) (４)若G是a,b的等比中项,则G２＝ab．反之也成立． (　　) ２．等比数列{an}中,若a２a６＋a２４＝π,则a３a５ 等于 (　　) A．π４　　　　　　　　B． π ３ C．π２ D． (－∞,０) ３．等比数列{an}中,若a１＝２,且{an}是递增数列,则 数列{an}的公比q的取值范围是 (　　) A．(０,＋∞) B．(０,１) C．(１,＋∞) D．(－∞,０) ４．７＋３ ５与７－３ ５的等比中项是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　等比数列的单调性 [例１]　(１)在等比数列{an}中,“a１＜a２＜a３”是“数 列{an}递增”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (２)关于递增等比数列{an},下列说法正确 的是 (　　) A．a１＞０　　　　　　　B．q＞１ C． an an＋１ ＜１ D．当a１＞０时,q＞１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　等比数列单调性的判 定 方 法: a１＞０, q＞１{ 或 a１＜０, ０＜q＜１{ ⇔{an}递增; a１＞０, ０＜q＜１{ 或 a１＜０, q＞１{ ⇔{an} 递减;q＝１⇔{an}为常数列;q＜０⇔{an}为摆动 数列． 􀳀[变式训练] １．在等比数列{an}中,a１＝ １ ３２ ,当n≥１１时,an＞１恒 成立,则公比q的取值范围是　　　　． 　　　等比中项及其应用 [例２]　(１)设x,２x＋２,３x＋３成等比数列,则x＝ 　　　　． (２)设a,b,c是实数,若a,b,c成等比数列,且１a , １ b ,１ c 成等差数列,则c a ＋ a c 的值为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 应用等比中项解题的两个注意点 (１)要证三数a,G,b成等比数列,只需证明G２＝ ab,其中a,b,G 均不为零． (２)已知等比数列中的相邻三项an－１,an,an＋１,则 an 是an－１与an＋１的等比中项,即a２n＝an－１􀅰 an＋１,运用等比中项解决问题,会简化运算过程． 􀳀[变式训练] ２．(１)已知１既是a２ 与b２ 的等比中项,又是１a 与１ b 的等差中项,则a＋b a２＋b２ 的值是 (　　) A．１或１２ B．１ 或－１２ C．１或１３ D．１ 或－１３ (２)已知等比数列{an}的前三项依次为a－１,a＋１, a＋４,则an＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　等比、等差数列的简单综合 [例３]　数列{an}共有５项,前三项成等比数列,后三 项成等差数列,第３项等于８０,第２项与第４项的 和等于１３６,第１项与第５项的和等于１３２,求这个 数列． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等比数列中的设项方法与技巧 (１)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq, aq２ 或aq ,a,aq． (２)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq２,aq３; 若四个数均为正(负)数,可设为a q３ ,a q ,aq, aq３． 􀳀[变式训练] ３．有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成 等比数列,并且第一个数与第四个数的和是１６,第 二个数与第三个数的和是１２,求这四个数． 　　　等比数列的性质及应用 [例４]　 (１)在等比数列{an}中,an＞０,若a３􀅰a５＝ ４,则a１a２a３a４a５a６a７＝　　　　． (２)在等比数列{an}中,已知a４a７＝－５１２,a３＋a８ ＝１２４,且公比q为整数,则an＝　　　　． [母题变式] １．将本例(２)中等比数列满足的条件改为“a４＋a７＝ ２,a５a６＝－８”,求a１＋a１０． ２．将本例(２)中的条件不变,求log４|a２|＋log４|a３|＋ log４|a８|＋log４|a９|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等比数列的运算常用两条思路 (１)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a１, q,然后求其他． (２)利用性质巧解,其中m＋n＝k＋l＝２s(m、n、k、 l、s∈N＋)⇔am􀅰an＝ak􀅰al＝a２s． 􀳀[变式训练] ４．(１)等比数列{an}中,若a１２＝４,a１８＝８,则a３６为 (　　) A．３２　　　　　　　B．６４ C．１２８ D．２５６ (２)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a１a２a３＝ ５,a７a８a９＝１０,则a４a５a６ 等于 (　　) A．４ ２ B．６ C．７ D．５ ２ [当堂达标] １．(多选)已知数列{an}是等比数列,则下列数列中一 定是等比数列的是 (　　) A．{|an|} B．{an－an＋１} C．a１an{ } D．{kan} ２．等比数列{an}的公比q＝－ １ ４ ,a１＝ ２,则数列 {an}是 (　　) A．递增数列　　　　　　B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 ３．数列{an}为等比数列,它的前三项为m－１,m＋１, ２m＋２,则m＝　　　　． ４．已知数列{an}为等比数列． (１)若a１＋a２＋a３＝２１,a１a２a３＝２１６,求an; (２)若a３a５＝１８,a４a８＝７２,求公比q． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第一章　数　列