专题05 相似图形的相关概念及性质 6大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版）九年级数学上学期

专题05 相似图形的相关概念及性质 6大高频考点概览 考点01 比例的性质 考点02 黄金分割 考点03 平行线分线段成比例 考点04 相似多边形 考点05 三角形相似的条件 考点06 相似三角形的判定综合 地 城 考点01 比例的性质 1．(24-25九上·河南郑州第八中学·期中)请将写成一个比例式为： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据比例的性质，即可求解， 本题考查了比的性质，解题的关键是：熟练掌握比的性质． 【详解】解：∵， ∴或， 故答案为：． 2．(24-25九上·河南焦作·期中)已知，则 ．（） 【答案】/ 【分析】根据比例的等比性质解答即可． 本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25九上·河南郑州外国语中学·期中)如果，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的知识，解题的关键是熟练掌握比例的性质，从而完成求解；根据题意得到，代入化简即可求解； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3． 4．(24-25九上·河南驻马店第四中学·期中)已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，，然后根据分式的性质进行化简可得答案． 【详解】解：∵， ∴，． ∴ ． 故答案为：． 5．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了惊艳世界的成绩．已知我国自主研发的第二代极轨气象卫星风云三号E星运转的轨道高度距离地表，则在比例尺是的大屏幕上显示为 ． 【答案】40 【分析】本题考查比例的性质，根据比例尺＝图上距离：实际距离求解即可，注意要换算单位． 【详解】解：设大屏幕上显示为，， 根据题意，得， 解得， 则在比例尺是的大屏幕上显示为， 故答案为：40． 6．(24-25九上·河南南阳·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的内项之积等于外项之积即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 7．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)若，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例性质，根据已知得到，代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．(24-25九上·河南通许县发展联盟·期中)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，比较简单，利用“设k法”求解更简便． 由，可设，，代入，计算即可． 【详解】解：， 设，，， ． 故答案为：． 9．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是通过比例的变形，整体代入求值．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ， 故选：D． 地 城 考点02 黄金分割 10．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 11．(24-25九上·河南信阳平桥区·期中)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：B． 12．(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)如图，乐器上的一根弦为，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支点C到端点B的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，为， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(24-25九上·河南郑州一八联合国际学校·期中)如果是线段一点，并且，，那么的长度为（   ）时，点是线段的黄金分割点． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据黄金比值是计算即可． 【详解】∵是线段的黄金分割点，，， ∴ ． 故选C． 14．我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可． 【详解】解：分两种情况： ①边为矩形的长时，则矩形的宽为， 矩形的周长为：； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为：， 矩形的周长为； 综上所述，该矩形的周长为或， 故答案为：或． 15．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，点把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金“右割”点．根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和，若，则称点是线段的黄金“左割”点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，由题意可得：，将，，，代入可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ，，， ， 解得：， 故答案为：． 16．(24-25九上·河南洛阳嵩县·期中)如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割定理，矩形的性质，由四边形为黄金矩形，则，求出，，则，然后由矩形的性质和线段和差即可求解，掌握黄金分割定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵四边形和为矩形， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 17．(24-25九上·河南实验中学·期中)如图，点是线段的黄金分割点 )，则下列结论中正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和 ，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，进而判断即可． 【详解】解：因为点是线段的黄金分割点 )， 所以，， 故选：C 18．(24-25九上·河南南阳·期中)黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：B． 19．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)“浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种优伤、愁虑的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点B是的黄金分割点（）．经测量得知的长度为14厘米，则的长度为 厘米．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】本题考查黄金比例，熟记黄金比的值是解答的关键，根据较长线段为，由黄金比求解即可． 【详解】解：∵点B是的黄金分割点（），厘米， ∴厘米， 故答案为：． 地 城 考点03 平行线分线段成比例 20．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是将、、代入求解． 将、、代入，其中，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：，，，， 又， ， 解得， 经检验是原方程的解． 的长为． 21．(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)在数学实验课上，同学们用带有刻度的直尺在数轴上作图．如图，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段性质．根据平行线分线段成比例定理进行计算即可．熟练掌握行线分线段成比例定理，是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是． 故选：C． 22．(24-25九上·河南周口太康县·期中)如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．过点作过点的横线于，交过点的横线于，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于， ， ， 故选：C． 23．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，已知，，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先根据题意可知，再根据平行线分线段成比例得出，然后结合可得答案． 【详解】∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． 故选：C． 24．(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考·期中)如图，矩形的边在矩形的边上，若，，，，M为中点，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点M作于点H，故，进而可知H为的中点，设，结合，可求出，因此可得的值，，由M为中点，H为的中点，可知，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点M作于点H， 在矩形和矩形中，， ， 又M为中点， H为的中点， ， 设，则，， ， ， ， ， ， M为中点，H为的中点， ， 在中，， 故答案为：． 25．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，在中，，，则下列比例式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、 ， ，选项A不正确； B、 ， ，选项B正确； C、 ，， ，，但， ，选项C不正确； D、 ， ，选项D不正确； 故选：B． 26．(24-25九上·河南许昌长葛·期中)已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立；证明见解析 (3) 【分析】（1）当绕D点旋转到时，证明四边形是正方形，边长是的一半，即可得出结论； （2）过点D作，，则，证明，得出，即可得出结论； （3）同（2）得：，得出即可． 【详解】（1）解：当绕D点旋转到时， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，， ∵为边的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，， 即； （2）解：（1）中的结论成立； 过点D作，，则， 又∵， ∴，， ∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴． （3）解：如图，连接， ∵，，D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴ ， ∴． 故、、的关系是：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，证明三角形全等是解决问题的关键． 27．(24-25九上·河南焦作焦作城乡一体化示范区·期中)如图，直线，被三条平行线所截，若，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意确定是解题关键．根据平行线分线段成比例可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：3． 28．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)将一段拉直的绳子随意放在由五条等距离的平行横线组成的图形中，如图所示，已知绳子上的三个点A，B，C都在平行横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E， ∴，即， 解得：， 故选：D． 29．(24-25九上·河南平顶山汝州·期中)如图，，分别交，，于点，，，分别交，，于点，，，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，根据平行线分线段成比例可得，再把、、的值代入可以求出，根据计算求值即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，，， ， 解得：， ， 故选C． 地 城 考点04 相似多边形 30．(24-25九上·河南周口太康县·期中)观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个圆形状相同，是相似图形，符合题意． 故选：D． 31．(24-25九上·河南平顶山·期中)如图是两个形状相同的举重图案，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故答案为：． 32．(24-25九上·河南平顶山·期中)某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 33．(24-25九上·河南洛阳嵩县·期中)2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论． 【详解】解∶∵，，，， ∴， 则B选项不符合标准， 故选∶B． 34．(24-25九上·河南南阳·期中)在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：B． 35．(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)甬道的宽度为 (3)不能满足其要求，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似多边形的性质； （1）设甬道宽度为，根据图形可得，，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，即可求解； （3）根据相似多边形的性质，对应边相等列出比例式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设甬道宽度为，依题意， ∴ ； （2）根据题意得，， 解得（不合题意，舍去）． 答：甬道的宽度为． （3）假设能满足要求，则， 解得， 因为不符合实际情况，所以不能满足其要求． 36．(24-25九上·河南通许县发展联盟·期中)如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应角相等即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ，， ，． 地 城 考点05 三角形相似的条件 37．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，下列所添加条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合所给条件及隐含条件逐一进行判断即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解∶∵，， ∴，故选项A错误，符合题意； ∵，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 38．(23-24九上·河南马店第二初级中学·期中)如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：由图得：， ∴当或或时，与相似； 也可． D选项中不是成比例的两边的夹角． 故选：D． 39．(24-25九上·山西临汾·期中)如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 40．(24-25九上·福建三明宁化县·期中)如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 首先由得到，然后利用相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当，或时，； 当时，无法判定与相似． 故选：C． 41．(23-24九上·安徽阜阳临泉县第五中学·期中)如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C．，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 42．(24-25九上·河北保定第十七中学·月考)如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 43．(23-24八下·山东东营利津县·月考)如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，，故A不符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，，故C不符合要求； 当时，无法证明，故D符合要求； 故选：D． 44．(2024·河北省张家口市·一模)如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 45．(23-24九下·四川成都成都金苹果锦城第一中学·月考)如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：、，， ∴，故此选项不合题意； 、，， ∴，故此选项不合题意； 、， ，， ∴，故此选项不合题意； 、，不存在夹角相等，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 地 城 考点06 相似三角形的判定综合 46．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； B、由于的长度不知道，无法判断阴影三角形与原三角形相似，故该选项符合题意； C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意； D、，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意； 故选：B． 47．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—作已知角的角平分线，相似三角形的判定，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用角平分线定义结合已知可得，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）由（1）可得：， ， ， 又， ． 48．(24-25九上·河南郑州第八中学·期中)如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据有两角对应相等的三角形相似和由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可． 【详解】解：A、若，，则，故此选项不符合题意； B、即，，则，故此选项不符合题意． C、若，其夹角不相等，则不能判定，故此选项符合题意； D、若，，则，故此选项不符合题意； 故选：C． 49．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴． 50．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、折叠性质、等腰直角三角形的性质，根据折叠性质和相似三角形的判定逐个判断即可． 【详解】解：由题意，是等腰直角三角形，则， 由折叠性质得，，，故选项C不符合题意； ∴， 则与、与不相似，故选项A、B不符合题意； ∵，， ∴，故选项D符合题意， 故选：D． 51．(24-25九上·重庆渝中区重庆巴蜀中学校·月考)观察下列每组三角形，不能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合要求； B中，，能判定相似，故不符合要求； C中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合要求； D中，不能判定相似，故符合要求； 故选：D． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05相似图形的相关概念及性质 ☆6大高频考点概览 考点01比例的性质 考点02黄金分割 考点03平行线分线段成比例 考点04相似多边形 考点05三角形相似的条件 考点06相似三角形的判定综合 考点01 比例的性质 1.(24-25九上河南郑州第八中学·期中)请将2x=3y写成一个比例式为： 2.24-25九上河南焦作期中)已知%=-3， 万=方=5，则名2马 (b+2d≠0) 9b+2d 3.2425九上河南郑州外国语中学期中)如果X:y=5:2,那么X+2Y的值为一 X-y 4.(24-25九上·河南驻马店第四中学期中)已 235则。a+b a b c a-2b+3c 的值为一 5.(24-25九上河南郑州登封嵩阳中学期中)近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了惊艳世界的成绩.已 知我国自主研发的第二代极轨气象卫星风云三号E星运转的轨道高度距离地表800km,则800km在比例 尺是1：2000000的大屏幕上显示为cm. 6.(24-25九上：河南南阳期中)若9=3 4b' 则ab=(() 4 A.12 3 B. C.1 D. 3 7.(24-25九上河南郑州登封嵩阳中学期中)若×=2，则X+y的值为（) y 1 A.3 B.1 e D.3 8。(24,25九上河南通许县发展联盟期中)已知2=弓则0-b=6 031 b 1/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 9.24-25九上河南郑州第十一初级中学期中)已知2-L-2,那么+d=元() a c5 a+c 1 A. 2 5 B. C.2 考点02 黄金分割 10.(24-25九上河南郑州第十一初级中学·期中)把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于 较小部分与较大部分的比值，则这个比值 5-1 为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例.杭州 亚运会会徽一潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计.其中浪潮设计借助了黄金分割比、.如图，若点C可 看作是线段AB的黄金分割点AC<CB,若AB=40cm,求AC的长. B 11.(24-25九上河南信阳平桥区·期中)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为 一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形 ABCD窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即BE=AE·AB.已知AB为2米，则线段的 BE长为() D B A.1 B.V5-1 C.1.5 D.2-3 12.(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)如图，乐器上的一根弦AB为80Cm,两个端点A,B固定在乐器的 2/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 板面上，支撑点C是苹近点B的黄金分割点（即AC=5,1),则支点C到端点B的距离为cm。 AB 2 (结果保留根号) 13.(24-25九上·河南郑州一八联合国际学校·期中)如果C是线段AB一点，并且AC>CB,AB=1,那么 AC的长度为()时，点C是线段AB的黄金分割点. A.0.618 B. 1-5 C. 5-1 D.3-5 2 2 2 14.我们能宽与长的比是51的矩形叫做黄金拒形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许 多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形ABCD是黄金矩形，边 AB的长度为25-2，则该矩形的周长为一： 15.24-25九上河南焦作期中如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC=5-1AB,则 2 称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割”点.根据图形不难发现，线段AB上另有一点 D把线段AB分成两条线段AD和BD,若BD=5-1AB,则称点D是线段AB的黄金“左割”点.若 2 CD=1,则AB=(一· D B 16.2425九上河南洛阴县期中)物果个矩形ABCD(AB<BC中，AS=5-10.618那么这个矩 BC 2 形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD中，AB=10,E、F分别为边AD、BC上的点， 若ABFE为黄金矩形，则DE=i一· 17.(24-25九上·河南实验中学·期中)如图，点B是线段AC的黄金分割点乙AB>BC),则下列结论中正确 的是() 3/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 BC A.AC2=AB2+BC2 B.BC2=AC·AB c.AB=5-1 D. BC_5-1 AC 2 AC 2 18.(24-25九上河南南阳·期中)黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和 审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品.在自然界中黄金分割也很常见，如图是 一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC,若AC=10cm,则AB的长 约为()cm. A.0.618 B.6.18 C.3.82 D.0.382 19.(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学期中)“浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深 秋时节的象征，被赋予一种优伤、愁虑的意象.如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段AC, 点B是AC的黄金分割点(AB>BC)·经测量得知AC的长度为14厘米，则AB的长度为厘米.（结 果保留根号) 目目 考点03 平行线分线段成比例 20.(24-25九上河南郑州第十一初级中学期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上， AD AE AD=6,BD=4,AC=15,且 BD EC' 求AE的长. 4/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D E 21.(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)在数学实验课上，同学们用带有刻度的直尺在数轴上作图.如图， 若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是() 平平平邛平p 6 wwwwllwlwww 2345 1 0 P 10 A.3 10 B.2 C.3 5-2 D 22.(24-25九上·河南周口太康县·期中)如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于 4,8,c三点，则25=6() BC 23.(24-25九上河南焦作·期中)如图，己知a‖b,b‖c,AB:BC=2:3,若DF=15,则EF的长为() 5 B 5/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.3 B.6 C.9 D.12 24.(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考·期中)如图，矩形EDGF的边DE在矩形ABCD 的边CD上，若AB=12,AG=11,AD=4DE,CE=5DE,M为BF中点，DM的长为一 A D M B 25.(24-25九上·河南焦作·期中)如图，在△ABC中，DE‖BC,EF‖AB,则下列比例式中，正确的是 () A.DE AC AD AB B. AD AE ABAC C.AB BC EF DE D. AE AD AC DB 26.(24-25九上·河南许昌长葛·期中)已知Rt△ABC,AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点， ∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F. E口 D B 图1 图2 E 图3 (I)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，SA与SACEFE的和与SAABC之间数量关系为 (2)如图2，当点E在线段AC上时，∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立， 6/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 请给予证明，若不成立，请说明理由： (3)如图3，这种情况下，S△，SAm,5。的数量关系是 27.(24-25九上·河南焦作焦作城乡一体化示范区·期中)如图，直线AE,BD被三条平行线所截，若AC=8, CE=4,BD=9,则CD的长为一· D 28.(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学期中)将一段拉直的绳子随意放在由五条等距离的平行横线组成的 图形中，如图所示，已知绳子上的三个点A,B,C都在平行横线上，若线段BC=20cm,则线段AB的长 是() A.10cm B.20cm C.30cm D.40cm 29.(24-25九上河南平顶山汝州期中)如图，11l21,14分别交l1,l2,13于点A,B,C,15分别交l1,12, l3于点D,E,F,若AB=3,BC=6,DE=2,则DF的长为() 6 D E B A.4 B.5 C.6 D.7 目目 考点04 相似多边形 30.(2425九上·河南周口太康县·期中)观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是( 7/14 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B 31,(24-25九上·河南平顶山期中)如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 -16cm H10cm- 20cm 32.(24-25九上·河南平顶山期中)某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4,6,6 的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新 图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（） A.0组 B.1组 C.2组 D.3组 33.(24-25九上河南洛阳嵩县·期中)2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳 的五星红旗一一国旗，国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标 准，这面国旗是() A. 240cm B 160cm C. 144cm D. 96cm 34.(2425九上河南南阳·期中)在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相 似 8/14 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似. 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似. 对以上三人的观点，下列判断正确的是() ① ② ③ A.甲错 B.乙错 C.丙错 D.都对 35.(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)某市准备在一块长为50m,宽为40m的矩形荒地上建造一个 市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成A,B,C三个矩形的休 闲区（其中一边为am). 40cm -a- 50cm (1)设甬道宽度为xm,则a=乙m(用含x的代数式表示)； (2)若休闲区A,B,C的总面积为1540m2,求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的 宽；若不能，请说明理由 36.(24-25九上·河南通许县发展联盟·期中)如图，四边形ABCD一四边形ABCD,分别求AB,BC的 长及∠D的度数. D 18 A'0 12 1209 6 B'8 目目 考点05 三角形相似的条件 37.(24-25九上河南焦作·期中)如图，下列所添加条件不能使△ABC一△AED的是（) 9/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.∠B=∠ADE B.∠C=∠ADE C.∠B=∠AED AB AC AEAD 38.(23-24九上·河南马店第二初级中学·期中)如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是() E D A怨铝 B.Z B=4ADE C.ZC=ZAEI D. AEDE AC BC 39.(24-25九上·山西临汾·期中)如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定 △ABC一△ADE的是() A.∠C=∠EB.∠B=∠ADE c怨給 D.08g AD DE 40.(24-25九上·福建三明宁化县·期中)如图，己知∠CAE=∠BAD,那么添加一个条件后，仍不能判定 △ABC与△ADE相似的是() B E A.∠C=∠AEDB.LB=∠D c怨器 D.ARAC AD AE 41.(23-24九上安徽阜阳临泉县第五中学·期中)如图，在△ABC中，点D为AC上一点，连接BD,下列 10/14