专题04 概率的进一步认识 3大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版）九年级数学上学期

专题04 概率的进一步认识 3大高频考点概览 考点01 列举法或树状图法求概率 考点02 由频率估计概率 考点03 游戏的公平性 地 城 考点01 列举法或树状图法求概率 1．(24-25九上·河南焦作·期中)国庆节期间，小明和小亮决定用抽签的方式随机从“云台山、神农山、青天河、陈家沟”四个景点中各抽取一个前去游玩．他们恰好抽到同一个景区的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图是解题的关键．画树状图计算即可． 【详解】解：设云台山用表示、神农山用表示、青天河用表示、陈家沟用表示，画树状图如下： 根据题意，一共有16种等可能性，选择同一景区的等可能性有4种，故他俩选择同一景区的概率是． 故选：A． 2．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期中)宝丰县某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习．请根据以上信息解答下列问题： (1)李明采用抽签形式选择，抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为__________； (2)本次项目式学习中，九一班选择“A．制作视力表”项目学习的共有四人，包含三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】(1) (2)见解析，恰好选到一名女生和一名男生的概率为 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为， 故答案为：； （2）解：先将三个女生分别记作“女1”“女2”“女3”，再列表如下： 第一次 女1 女2 女3 男 女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男） 女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男） 女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男） 男 （男，女1） （男，女2） （男，女3） 共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种， ∴恰好选到一名女生和一名男生的概率为． 3．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．农历五月初五早晨，小王的妈妈用不透明袋子装着一些粽子（粽子除食材不同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为 (1)求袋子中薯粉粽的个数； (2)小王第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率 ． 【答案】(1)袋子中有薯粉粽个 (2)小王两次拿到的都是薯粉粽的概率为 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）设袋子里有个薯粉粽，根据题意列方程，解方程即可得到答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果，再计算概率即可． 【详解】（1）解：设袋子里有个薯粉粽， 根据题意得：， 解得， 答：袋子中有薯粉粽个． （2）解：设糯米粽子分别为1，2；薯粉粽子分别为3，4，5 共有种等可能情况，其中小王两次拿到的都是薯粉粽有种， 小王两次拿到的都是薯粉粽的概率为． 4．(24-25九上·河南商丘睢县县城多校联考·期中)寒假结束，迎来新学期，9年教务处对学生假期作业检查评价，随机在每个班级抽取的部分学生的作业，并将检查结果按“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”分成四个等级，绘制了如图两幅统计图（不完整）．    根据以上信息回答下列问题： (1)一共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图； (3)全校约有800名学生，估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生共有多少人？ (4)经过检查评议，学校从完成情况为“优秀”的作业中选出5份最优作业进行展示，已知这几个人中有2名女生，那么随机翻看两份作业，求恰好是这两名女生作业的概率． 【答案】(1)一共调查了100名学生 (2)见解析 (3)估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生约有640人 (4) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，用树状图以及层别法求概率，用样本估计总体等知识． （1）用“一般”的人数除以其占比即可求出总人数． （2）分别求出“优秀”和“较差”的人数，然后补全条形统计图即可． （3）用样本估计总体即可． （4）画出树状图用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：一共调查的学生人数为：（名）， 答：一共调查了100名学生； （2）解：“优秀”的学生人数为：（名）， 则“较差”的学生人数为：（名）， 补全条形统计图如下：    （3）解：估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生共有：（人）， 答：估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生约有640人； （4）解：5个人中有2名女生，则男生为3名， 画树状图如下：    共有20种等可能的结果，其中恰好是两名女生作业的结果有2种， ∴恰好是这两名女生作业的概率为 5．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)“保护环境，建设美好校园”是某校环保社团的宗旨，该社团要从学校4名同学：小颖（女）、小红（女）、小西（男）、小宇（男）中随机选取若干名成为校园环境“小卫士”，且每名同学被选中的可能性都相同． (1)若随机选取1名同学成为校园环境“小卫士”，则小西被选中的概率为 ； (2)若随机选取2名同学成为校园环境“小卫士”，请用树状图法或列表法求选中的两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好是一男一女的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一共有4人，且每名同学被选中的可能性都相同， 随机选取1名同学成为校园环境“小卫士”，小西被选中的概率为， 故答案为： （2）解：由题意可知，4名同学中有两男两女， 列树状图如下： 由树状图可知，共有12种情况，其中一男一女的情况有8种， 选中的两名学生恰好是一男一女的概率为． 6．(24-25九上·河南郑州外国语中学·期中)将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用树状图求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意画如下树状图： 共有12种情况，其中2种符合题意， ∴摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是：， 故选：C． 7．(24-25九上·河南平顶山·期中)3月31日上午8点30分，2024郑开马拉松赛在郑州郑东新区准时鸣笛开赛，来自全国各地的29000名马拉松爱好者激情开跑，参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．大学生甲和大学生乙报名参加了赛事志愿者，两人根据组委会安排，随机参加以下四项志愿者工作中的任意一项：A．赛道指引，B．物资发放，C．集结检录，D．人群疏散 (1)大学生甲被随机安排参加“A．赛道指引”志愿工作的概率为_______________； (2)请用画树状图或列表法，求大学生甲和乙中至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法计算随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算即可求解； （2）列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再运用概率计算即可求解． 【详解】（1）解：有四项志愿者工作：A．赛道指引，B．物资发放，C．集结检录，D．人群疏散，从中选择一个， ∴大学生甲被随机安排参加“A．赛道指引”志愿工作的概率为， 故答案为：； （2）解：列表或画树状图把所有等可能结果表示如下， ∴共有种等可能结果，其中至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作情况有钟， ∴至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作的概率为． 8．(24-25九上·河南平顶山·期中)一个口袋中有4个球，分别标有2，3，4，5四个数字，这些球除标志的数字不同外都相同，从中随机抽取两个球，则两个球上的数字之和大于7的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案 【详解】解∶列表如下∶ 由表知，共有12种等可能结果，其中随机抽取的两个球中数字之和大于7的有4种结果，所以随机抽取的两个球中数字之和大于7的概率为， 故答案为：． 9．(24-25九上·河南焦作·期中)以大模型为代表的生成式人工智能，掀起了全球人工智能技术发展的新浪潮．2024年3月21日联合国大会通过首个关于人工智能的全球决议−−《抓住安全、可靠和值得信赖的人工智能系统带来的机遇，促进可持续发展》．某科技兴趣小组预备分成两队，每队用抽签的方式从4个有关人工智能的课题中随机抽取一个进行讨论，这4个课题为：A．人工智能对经济发展的利弊；B．人工智能对环境的影响；C．人工智能对社会的影响；D．人工智能发展的伦理问题．将这4个课题制成正面编号为A、B、C、D，背面完全相同的四张卡片，将4张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下编号，然后放回洗匀．请用列表或画树状图的方法求两个小队抽到的恰好是同一课题的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．先画树状图，再根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数， 其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 10．(24-25九上·河南焦作·期中)用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），甲转盘被分成面积相等的个扇形，乙转盘被分成面积相等的个扇形．则配得紫色的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，概率公式，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．首先根据题意列表，然后由图表即可求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 红 蓝 黄 红 （红，红） （红，蓝） （红，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，黄） 一共有种等可能的结果，其中配得紫色的有种可能，则配得紫色的概率为， 故答案为：． 11．(24-25九上·河南平顶山九中教育集团·期中)一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是画出树状图． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个红球的情况，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图得： 因为共有12种等可能的结果，其中摸出两个红球的有2种情况，所以摸出1个白球的概率是． 故答案为：． 12．(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)劈开太行千重障，暂把河山重安排．60多年前．十万开山者在太行山脉的绝壁上凿壁穿石，历经十年，修筑红旗渠，留下“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的红旗渠精神．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和“人间天河”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可． 【详解】解：小亮抽到的邮票的所以情况见下表： 愚公移山 青年洞 桃园桥 人间天河 愚公移山 愚公移山和青年洞 愚公移山和桃园桥 愚公移山和人间天河 青年洞 青年洞和愚公移山 青年洞和桃园桥 青年洞和人间天河 桃园桥 桃园桥和愚公移山 桃园桥和青年洞 桃园桥和人间天河 人间天河 人间天河和愚公移山 人间天河和青年洞 人间天河和桃园桥 ∴总共有12种等可能的情况，符合条件的有2两种， 故小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和“人间天河”的概率， 故选：A． 地 城 考点02 由频率估计概率 13．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为 ． 【答案】2.8 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴落在黑色区域的概率约为0.7， ∴该二维码黑色部分的总面积约为． 故答案为：2.8． 14．(24-25九上·河南商商丘丘睢县多乡镇3/4期中联考·期中)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，m个白球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么估计盒子中白球的个数 ． 【答案】12 【分析】本题考查了利用频率估计概率．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，根据概率公式求出n，即可得的答案． 【详解】解：∵通过大量的重复摸球试险后发现，摸到白球的频率稳定在， ∴估计摸到白球的概率为， ∴估计摸到黄球的概率为， ∴（个）， ∴（个）． 故答案为：12． 15．(24-25九上·河南平顶山郏县·期中)如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：∵点落在图案部分的频率稳定在0.6左右, ∴此不规则图案的面积大约为 故答案为： ． 16．(24-25九上·河南平顶山·期中)在一个不透明的袋子里装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同，嘉淇从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了100次球，其中有30次摸到白球，估计袋子中有白球（   ） A．50个 B．30个 C．25个 D．15个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值此即概率，同时也考查了概率公式的应用． 首先求出摸到的白球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中白球的个数． 【详解】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到白球， ∴摸到白球的频率是． ∵袋子中有红球、白球共50个， ∴这个袋子中白球约有个． 故选：D． 17．(24-25九上·河南焦作·期中)9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李豪击败对手夺冠．某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率为0.9．下列说法正确的是（    ） A．盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上 B．盛李豪射击1次，一定能射出10环以上 C．盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上 D．盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上 【答案】A 【分析】本题考查频率与概率的概念．频率是指某个事件在多次重复试验中发生的次数与试验总次数的比值，它可以近似地表示事件发生的概率，但不是绝对的．我们需要根据频率来判断每个选项的正确性。 【详解】Ａ.盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上，本选项正确，符合题意； B.盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上，本选项不正确，不符合题意； C.盛李豪射击10次，不一定有9次射出10环以上，本选项不正确，不符合题意； D.盛李豪射击9次，不能恰好有至少有1次射出10环以上，本选项不正确，不符合题意； 故选择：A 18．一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A．4个 B．8个 C．10个 D．14个 【答案】B 【分析】本题利用了利用频率估计概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可求解． 【详解】解：∵小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右， ∴黄色乒乓球的概率为0.4， ∴（个）， 答：估计盒子中黄色乒乓球的个数有8个， 故选：B． 19．(24-25九上·河南郑州外国语中学·期中)在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，则袋子中红球约有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键；根据口袋中有6个白球和若干个红球，利用红球再总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以袋中红球有4个， 故答案为：4． 20．(24-25九上·河南郑州中原区郑州外国语中学·期中)生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故选：A． 21．(24-25九上·河南郑州外国语中学·期中)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）； (2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率； （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可； （2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近， 故答案为：； （2）列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为 22．(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故答案为： 地 城 考点03 游戏的公平性 23．(2024·山东省青岛市·)学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 24．(20-21九上·四川渠县崇德实验学校·期中)小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，6个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)的试验， （1）他们共做了50次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为1”的频率是　　　　. ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 【答案】（1）①0.2；②不正确，因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率；（2）小亮获胜的可能性大,理由见解析； 【分析】（1）①根据概率计算即可；②根据概率和频率的不同判断即可； （2）根据列表法计算即可； 【详解】(1)①； ②不正确，因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率． (2)小亮获胜的可能性大，理由如下． 列表如下： 第2枚骰子掷得第1枚的点数骰子掷得的点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 1 12 由表格可知,所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同． 所以P(点数之和超过6)=，P(点数之和不超过6)=． 因为，所以小亮获胜的可能性大． 【点睛】本题主要考查了概率的计算及根据列表法判断，准确计算是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 概率的进一步认识 3大高频考点概览 考点01 列举法或树状图法求概率 考点02 由频率估计概率 考点03 游戏的公平性 地 城 考点01 列举法或树状图法求概率 1．(24-25九上·河南焦作·期中)国庆节期间，小明和小亮决定用抽签的方式随机从“云台山、神农山、青天河、陈家沟”四个景点中各抽取一个前去游玩．他们恰好抽到同一个景区的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期中)宝丰县某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习．请根据以上信息解答下列问题： (1)李明采用抽签形式选择，抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为__________； (2)本次项目式学习中，九一班选择“A．制作视力表”项目学习的共有四人，包含三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 第一次 女1 女2 女3 男 女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男） 女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男） 女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男） 男 （男，女1） （男，女2） （男，女3） 3．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．农历五月初五早晨，小王的妈妈用不透明袋子装着一些粽子（粽子除食材不同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为 (1)求袋子中薯粉粽的个数； (2)小王第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率 ． 4．(24-25九上·河南商丘睢县县城多校联考·期中)寒假结束，迎来新学期，9年教务处对学生假期作业检查评价，随机在每个班级抽取的部分学生的作业，并将检查结果按“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”分成四个等级，绘制了如图两幅统计图（不完整）．    根据以上信息回答下列问题： (1)一共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图； (3)全校约有800名学生，估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生共有多少人？ (4)经过检查评议，学校从完成情况为“优秀”的作业中选出5份最优作业进行展示，已知这几个人中有2名女生，那么随机翻看两份作业，求恰好是这两名女生作业的概率． 5．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)“保护环境，建设美好校园”是某校环保社团的宗旨，该社团要从学校4名同学：小颖（女）、小红（女）、小西（男）、小宇（男）中随机选取若干名成为校园环境“小卫士”，且每名同学被选中的可能性都相同． (1)若随机选取1名同学成为校园环境“小卫士”，则小西被选中的概率为 ； (2)若随机选取2名同学成为校园环境“小卫士”，请用树状图法或列表法求选中的两名学生恰好是一男一女的概率． 6．(24-25九上·河南郑州外国语中学·期中)将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·河南平顶山·期中)3月31日上午8点30分，2024郑开马拉松赛在郑州郑东新区准时鸣笛开赛，来自全国各地的29000名马拉松爱好者激情开跑，参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．大学生甲和大学生乙报名参加了赛事志愿者，两人根据组委会安排，随机参加以下四项志愿者工作中的任意一项：A．赛道指引，B．物资发放，C．集结检录，D．人群疏散 (1)大学生甲被随机安排参加“A．赛道指引”志愿工作的概率为_______________； (2)请用画树状图或列表法，求大学生甲和乙中至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作的概率． 8．(24-25九上·河南平顶山·期中)一个口袋中有4个球，分别标有2，3，4，5四个数字，这些球除标志的数字不同外都相同，从中随机抽取两个球，则两个球上的数字之和大于7的概率是 ． 9．(24-25九上·河南焦作·期中)以大模型为代表的生成式人工智能，掀起了全球人工智能技术发展的新浪潮．2024年3月21日联合国大会通过首个关于人工智能的全球决议−−《抓住安全、可靠和值得信赖的人工智能系统带来的机遇，促进可持续发展》．某科技兴趣小组预备分成两队，每队用抽签的方式从4个有关人工智能的课题中随机抽取一个进行讨论，这4个课题为：A．人工智能对经济发展的利弊；B．人工智能对环境的影响；C．人工智能对社会的影响；D．人工智能发展的伦理问题．将这4个课题制成正面编号为A、B、C、D，背面完全相同的四张卡片，将4张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下编号，然后放回洗匀．请用列表或画树状图的方法求两个小队抽到的恰好是同一课题的概率． 10．(24-25九上·河南焦作·期中)用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），甲转盘被分成面积相等的个扇形，乙转盘被分成面积相等的个扇形．则配得紫色的概率为 ． 红 蓝 黄 红 （红，红） （红，蓝） （红，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，黄） 11．(24-25九上·河南平顶山九中教育集团·期中)一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是 ． 12．(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)劈开太行千重障，暂把河山重安排．60多年前．十万开山者在太行山脉的绝壁上凿壁穿石，历经十年，修筑红旗渠，留下“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的红旗渠精神．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和“人间天河”的概率是（   ） A． B． C． D． 愚公移山 青年洞 桃园桥 人间天河 愚公移山 愚公移山和青年洞 愚公移山和桃园桥 愚公移山和人间天河 青年洞 青年洞和愚公移山 青年洞和桃园桥 青年洞和人间天河 桃园桥 桃园桥和愚公移山 桃园桥和青年洞 桃园桥和人间天河 人间天河 人间天河和愚公移山 人间天河和青年洞 人间天河和桃园桥 地 城 考点02 由频率估计概率 13．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为 ． 14．(24-25九上·河南商商丘丘睢县多乡镇3/4期中联考·期中)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，m个白球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么估计盒子中白球的个数 ． 15．(24-25九上·河南平顶山郏县·期中)如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 ． 16．(24-25九上·河南平顶山·期中)在一个不透明的袋子里装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同，嘉淇从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了100次球，其中有30次摸到白球，估计袋子中有白球（   ） A．50个 B．30个 C．25个 D．15个 17．(24-25九上·河南焦作·期中)9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李豪击败对手夺冠．某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率为0.9．下列说法正确的是（    ） A．盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上 B．盛李豪射击1次，一定能射出10环以上 C．盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上 D．盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上 18．一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A．4个 B．8个 C．10个 D．14个 19．(24-25九上·河南郑州外国语中学·期中)在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，则袋子中红球约有 个． 20．(24-25九上·河南郑州中原区郑州外国语中学·期中)生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 21．(24-25九上·河南郑州外国语中学·期中)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）； (2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 22．(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 地 城 考点03 游戏的公平性 23．(2024·山东省青岛市·)学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 24．(20-21九上·四川渠县崇德实验学校·期中)小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，6个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)的试验， （1）他们共做了50次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为1”的频率是　　　　. ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 第2枚骰子掷得第1枚的点数骰子掷得的点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 1 12 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $