专题06 相似三角形和位似 6大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版）九年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06相似三角形和位似 ☆6大高频考点概览 考点01利用相似E角形的性质求解 考点02相似三角形的判定与性质综合 考点03相似以三角形一动点问题 考点04相似三角形的实际应用 考点05求位似图形的对应坐标 考点06在坐标系中画位似图形 目目 考点01 利用相似三角形的性质求解 1.(24-25九上河南新乡辉县太行中学期中)如图，D,E分别在边ACAB上，已知 △AED△ACB,AE=DC,若AB=12cm,AC=8Cm,则AD= B E 2.(2425九上·河南平顶山九中教育集团期中)已知在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BE与 CD相交于点O,那么S△DoE:S△BOc等于】 3.(24-25九上河南郑州第八中学期中)如图，点D在线段BC上，Rt△ABC∽Rt△ADE, ∠ACB=∠AED=90·,AB=10,BC=8,若△ACE的面积为9，则△ABD的面积为(） B A.10 B.15 C.20 D.25 4.(24-25九上河南郑州第八中学期中)如图，平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),C为AB的中点， D在x轴上，若以A,C,D组成的三角形与△AOB相似，则D的坐标为() 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B A A.（3,0) B.(4,0)或(-，0) C.(3,0)或(-，0) D.（3,0)或(-1,0) 5.(24-25九上河南洛阳伊川县期中)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=2V3,BC=2,D为AB的 中点.若点E在边AC上，△ADE与△ABC相似，则AE的长为(） D B A.1 B.2 C.1或号 D.2或 6.(24-25九上河南南阳镇平县安字营乡第一初级中学期中)已知△ABC∽∠ABC,AB=8,AB=6, 则器=一 7.(24-25九上·河南实验中学等校·期中)如图，已知在三角形纸片ABC中，∠A=90°，AB=9,AC=12 ,折叠纸片，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF(点E在AB上，点F在AC上)·若△BDE与 △ABC相似.则折痕EF的长度等于· E B D 8.(24-25九上河南通许县发展联盟期中)如图，点D在△ABC的BC边上，∠BAD=∠BCA, D 2/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△ABD△CBA. (2)若AB=3V2,BC=7,求CD的长. 目目 考点02 相似三角形的判定与性质综合 9.(24-25九上·河南郑州第十一初级中学期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC,垂足为 B,连接DB,F为DE上一点，且∠APE=∠B· E (I)求证：△ADF∽△DEC: (2)若AB=4,AD=3V3,AF=2V3,求AE的长. 10.(24-25九上河南辉县南寨初级中学期中)如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE‖BC, 交AC于点E,若AD=3,BD=4,则器的值是() D B A. B.等 c.子 D. 11.(24-25九上·河南辉县胡桥第一初级中学·期中)如图，MN经过△ABC的项点A,MN‖BC, AM=AN,MC交AB于D,NB交AC于E,连结DE D B (I)求证：△ADE△ABC; (2)如果DE=1,BC=3,求MN的长. 3/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25九上·河南周口太康县期中)学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学 生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯.下面是张老师在“全等三角形与相似三角 形”主题下设计的问题，请你解答 如图，在矩形ABCD中，点E是线段CB延长线上的一点，连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F D B 图1 图2 备用图 (1)【知识回顾】如图1，当AD=AB时，AF与AE之间的数量关系是： ； (2)【类比探究】如图2，当器=k(k>0且k≠1)时，试判断AF与AE之间的数量关系，并说明理由（用 含k的式子表示)； (3)【拓展应用】若AD=2AB=8,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=2时，直接写出EG的长. 13.(24-25九上河南辉县城北初级中学期中)如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE,点 G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点F,交AB于点H. B (I)求证：△FHD∽△CHB; (2)FC=18,求HG的长 14.(24-25九上河南辉县南寨初级中学.期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8, 点D为AC边上一点，连接BD,将△ABD沿BD翻折得到△ABD,当AD与△ABC的直角边垂直时， AD的长为 B C 15.如图，在平面直角坐标系中，边长为I0的正方形ABCD的边AB在x轴上，点E在边CD上.将 △BCE沿BE折叠，点C落在y轴上的点F处.若CE:BC=1:2,则点F的坐标为 4/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 衣 16.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，延长AC到E,使CE=AC,连接BE.点F为BE上 一点，若∠ECF=∠A,请判断四边形CDBF的形状，并进行证明. D B 17.(24-25九上河南新乡封丘县·期中)如图，线段AD与BC相交于点E,AB‖CD‖EF,B,F,D三点在同 一条直线上 (1)求证：器=器. (2)当熙=号，CD=15时，求EF的值. 18.(24-25九上·河南周口太康县期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,BC=5,将 △ABC沿AC方向平移得到△DEF,若图中阴影部分的面积为2，则△ABC平移的距离为() A.2 B.2 c.5 D.3-V3 19.(24-25九上河南南阳新野县·期中)如图，在等边△ABC中，BC=6,点E是边AB上一点，且 BE=2,点D是边BC上一动点（E、D两点均不与端点重合)，作∠EDF=60°，DF交边AC于点F. 5/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 (I)求证：△BED△CDF: (2)若EFBC,求CD的长； (3)若CF=m,当满足条件的点D有且只有一个时，直接写出m的值. 20.(24-25九上河南焦作期中)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=3AD, AC=3AE,连接BE,点F是线段BE的中点，CF的延长线与ED的延长线交与点G,CG交AB于H. D H (I)求证：△DGH∽△BCH; (2)填空： ①若S△DGH=8,则S△BcH= ②若GH=4,则FH= 21.(24-25九上河南洛阳嵩县期中)如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E. B B C(D) 图1 图2 (I)求证：△ADE△ABC: (2)如图2，当点D与点C重合时，有结论：EC2=AE·BE,这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称 “欧几里得定理”，该定理还有其它表达形式.已知AC=4,AB=5,求AE的长. 目目 考点03 相似三角形一一动点问题 22.(24-25九上河南郑州第十一初级中学·期中)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从 6/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A出发沿AB边运动，速度为2cm/S,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4Cm/S;·如果P,Q两 点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点Q,B,P为 顶点的三角形与△ABC相似. A 23.(24-25九上·河南南阳新野县期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,动点P以 2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动.设 P、Q两点移动时间为ts(0<t<2.5). B (I)CQ=cm,CP=_cm:(用含t的式子表示) (2)当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似. 24.(24-25九上河南开封通许县-期中)如图，Rt△ABC的两条直角边AB=8cm,AC=6cm,点D沿 AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒.动点E到达点C 时运动终止连接DE、CD、AE· (I)若△BDE与△ABC相似，求动点的运动时间； (2)在运动过程中，当CD⊥DE时，求动点的运动时间； (3)在运动的过程中，DE能否为△ABC的中位线？说明理由. 25.(23-24九上辽宁丹东第五中学月考)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=16cm.点 P从点A开始沿AB边向点B以1cms的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cms的速度移动， 7/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为1秒. C (1)当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2? (2)探究经过多少秒后，以点B,P,Q为顶点的三角形与△CBA相似？ 26.(21-22九上·内蒙古包头第二十九中学·月考)如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8, AE=3,BC=4,点P为AB边上一动点，连接PC、PE,若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的 点P的个数为() P B A.1 B.2 C.3 D.4 27.(21-22九上广东佛山第四中学月考)如图：在矩形ABCD中，AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的 速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1ms的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、 Q两点移动的时间为t秒(0<t<5). (1)AP=m,PC=m,CQ=m(用含t的代数式表示) (2)t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能， 请说明理由。 D B O 目目 考点04 相似三角形的实际应用 8/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28.(24-25九上·河南郑州第十一初级中学期中)陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地. 周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像 (EF)的高度.己知爸爸的身高是1.8m(AB=1.8m),小希的身高是1.5m(CD=1.5m),小希在 距离雕像0.63m的C处(CF=0.63m)看雕像的顶端E的视线为DE,原地再看爸爸的头部，视线为DA ，爸爸经过移动调整位置，当AD⊥ED时爸爸停止移动，这时测得BF=15.63m·己知点B,C,F在水 平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度EF 29.(24-25九上·河南南阳内乡县期中)某校社会实践小组为了测量一次大型运动会的主火炬台（如图1）顶 端距离地面的高度（如图2），小明先在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的 点E,标杆的顶端点D,火炬台的顶端B正好在同一直线上，测得EC=3米；小明再从点E出发沿着EG方 向前进9米，到达点F,在点F处放置一平面镜，小刚站在G处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端B的像，此 时测得小刚的眼睛到地面的距离GH为1.5米，GF=3米，己知点G、F、E、C与火炬台的底端A在同一直 线上，AB⊥AG,CD⊥AG,GH⊥AG.(平面镜大小忽略不计) B H EC 图1 图2 (I)求EA与AB的等量关系： (2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度AB 30.(24-25九上河南驻马店上蔡县期中)蔡侯望河楼位于蔡国故城西垣，古时为“重阳登高处”.南北朝梁《续 齐谐记》：东汉桓景曾在九月九日佩茱萸囊，举家登冈山望河楼以避灾.这是天下重阳源上蔡的重要佐证.某 天小明站在地面上给站在蔡侯望河楼上的小亮照相时发现：小明的眼晴、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在 一条直线上（如图），已知小明的眼晴离地面的距离AB=1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD=4米，小明 9/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 到凉亭的距离BD=10米，凉亭离蔡侯望河楼底部的距离DF=30米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在 同一水平线上，请根据以上数据求出蔡侯望河楼的高度， E C B D 31.(24-25九上河南新乡封丘县·期中)岳飞，字鹏举，相州汤阴（今河南省汤阴县）人，南宋时期抗金名将， 中国历史上著名的军事家、战略家、民族英雄，位列南宋“中兴四将”之首.小明在学习了相似后，尝试用平 面镜的反射原理测量岳飞铜像的高度.如图，CD是岳飞铜像，BD是水平地面，M是平放在地面上的一面 平面镜，AB是眼晴到地面的距离，调整AB和M的位置，通过镜面反射（法线MN⊥地面 BD,∠AMN=∠CMN),，当眼晴A正好在平面镜中看到铜像顶端C时，测出 AB=1.6mBM=1.2m,DM=6m.求岳飞铜像CD的高度. D M 32.(2425九上·河南南阳新野县期中)小文和小君同学想利用数学知识测量矗立在教学楼边上的大树EF的 高度.如图，他们在教学楼边上的D处放置了一根垂直于地面的标杆CD,然后小文笔直地站在B处，小君 在B和D之间找到一个合适的位置0，并在0点处放置了一面小镜子，此时小文恰好看到在镜子里点C和点 E重合.已知，点B、0、D、F在同一条直线上，通过测量，DF=15m,BD=5.4m,CD=2m,小 文的眼睛离地面的高度AB=1.6m.求大树EF的高度， A C B天O D F 33.(24-25九上·河南南阳邓州期中)为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个月标作为点A.再在河的这一 边选定点B和C,使AB⊥BC,然后再选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC与AE交于点D,此时，测 得BD=80m,DC=40m,EC=36m,则两岸间的距离AB为() 10/20 专题06 相似三角形和位似 6大高频考点概览 考点01 利用相似三角形的性质求解 考点02 相似三角形的判定与性质综合 考点03 相似三角形——动点问题 考点04 相似三角形的实际应用 考点05 求位似图形的对应坐标 考点06 在坐标系中画位似图形 地 城 考点01 利用相似三角形的性质求解 1．(24-25九上·河南新乡辉县太行中学·期中)如图，D，E分别在边上，已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．由题意直接根据相似三角形的性质列出比例式，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 2．(24-25九上·河南平顶山九中教育集团·期中)已知在中，、分别是边、的中点， 与相交于点，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先判定为的中位线，进而得出，，证明，然后根据相似三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．也考查了三角形的中位线． 【详解】解：如图， 、分别是边、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， 故选：C． 3．(24-25九上·河南郑州第八中学·期中)如图，点在线段上，，，，，若的面积为，则的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形判定与性质，解题的关键是得到的条件．根据得到，，即可得到，，即可得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 即， 又 ， ， ，， ， ， ， 又的面积为， ， 即． 故选D． 4．(24-25九上·河南郑州第八中学·期中)如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，，C为的中点， ∴， ∴， 当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时轴， ∴， 当为直角顶点时，设：，则：， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故选C． 5．(24-25九上·河南洛阳伊川县·期中)如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形中位线，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 分两种情况分别画出图形，利用数形结合的方法解题即可． 【详解】解：，，， ， ①当点为的中点时，如图， ∵点为的中点， ， 与相似， ， ， ， ， ②当时， 当与相似， 则， ， 综上所述，的长为或， 故选：D 6．(24-25九上·河南南阳镇平县安字营乡第一初级中学·期中)已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查相似三角形的性质，难度不大；直接利用相似三角形的对应边成比例可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴=， 故答案为：． 7．(24-25九上·河南实验中学等校·期中)如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，先由勾股定理得到，由折叠的性质可得，，设，则，再分当时，，当时，，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程讨论求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设，则， ∵， ∴当时，， ∴，即 解得， ∴， ∵， ∴三点共线，即此时点F与点C重合， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 8．(24-25九上·河南通许县发展联盟·期中)如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明： ； （2）解：， ， ，， ， ， ． 地 城 考点02 相似三角形的判定与性质综合 9．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，可知，，又因为，，可知，可求证； （2）因为，可知，因为是直角三角形，由勾股定理可知即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， 由（1），知； ， 即， ∵，， ． 在中，，，， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的相关性质以及直角三角形勾股定理应用是解题的关键． 10．(24-25九上·河南辉县南寨初级中学·期中)如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 11．(24-25九上·河南辉县胡桥第一初级中学·期中)如图，经过的顶点A，，，交于D，交于E，连结． (1)求证：； (2)如果 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用平行线的性质以及相似三角形的判定及性质证明，从而有，进而利用相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）的结论，结合相似三角形的性质得到，可求得及，即可得解． 本题主要考查平行线的性质、相似三角形的性质和判定以及比例线段的性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， 同理：． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵，，． ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴． 12．(24-25九上·河南周口太康县·期中)学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“全等三角形与相似三角形”主题下设计的问题，请你解答． 如图，在矩形中，点E是线段延长线上的一点，连接，过点A作交射线于点F． (1)【知识回顾】如图1，当时，与之间的数量关系是：______； (2)【类比探究】如图2，当（且）时，试判断与之间的数量关系，并说明理由（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】若，连接交于点G，连接，当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)AF与AE之间的数量关系是：（或），理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （3）①如图1，当点F在上时，证得，得出求出．由可得出，求出，则可得出答案； ②如图2，当点F在的延长线上时，同理可求出的长 【详解】（1）解：结论：． 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：与之间的数量关系是：． 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：①如图1，当点F在边上时， ∵四边形矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ②如图2，当点F在的延长线上时，， 在中，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．(24-25九上·河南辉县城北初级中学·期中)如图，点D、E是边、的中点，连接，点G是线段的中点，连接并延长，交的延长线于点F，交于点H． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由点D、E是边、的中点可得是的中位线，由三角形的中位线定理可得，即，由两直线平行内错角相等可得，，于是结论得证； （2）连接，由（1）得，即，由两直线平行内错角相等可得，，由此可证得，于是可得，由线段中点的定义可得，进而可得，则，因而，由此可证得四边形是平行四边形，于是可得，，由线段中点的定义可得，进而可得，由两直线平行内错角相等可得，，由此可证得，于是可得，由可得，由线段之间的和差关系可得，，再结合，可得，由此即可求出的长． 【详解】（1）证明：点D、E是边、的中点， 是的中位线， ，即， ，， ； （2）解：如图，连接， 由（1）得：，即， ，， ， ， 点G是线段的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及三角形的中位线定理是解题的关键． 14．(24-25九上·河南辉县南寨初级中学·期中)如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为 ． 【答案】2或6 【分析】分两种情况讨论：①当时，延长交于点，由勾股定理可得，利用折叠的性质和角平分线的性质定理，得到，证明，从而设，，则，再证明，求出的值，即可得解；②当时，令与的交点为，由折叠和等腰三角形的性质，得到，即可得解． 【详解】解：①当时，延长交于点， ，，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ，，平分， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②当时，令与的交点为， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 综上可知，的长为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，边长为10的正方形的边在轴上，点在边上．将沿折叠，点落在轴上的点处．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】记与轴交于点，可得四边形为矩形，那么，由翻折得，可证明，则设，则，由得：，求出即可求出点坐标． 【详解】解：记与轴交于点， ∵，正方形边长为10， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴由得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，把握折叠的不变性是解题的关键． 16．如图，在中，是斜边上的中线，延长到，使，连接．点为上一点，若，请判断四边形的形状，并进行证明． 【答案】菱形 【分析】先根据直角三角形的性质得到，可证明，继而，那么先证明四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形． 【详解】解：四边形为菱形， 证明：由题意得，，则 在中，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边的中线的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 17．(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)如图，线段与相交于点，，三点在同一条直线上． (1)求证：． (2)当，时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的定理，相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，运用平行线分线段成比例即可得到答案； （2）由，可得，得到即可得解． 【详解】（1）证明： ， ， ， 又， ， ； （2）解：， ∴ ， ，， ， ∴ ， 的值为． 18．(24-25九上·河南周口太康县·期中)如图，在中，，，．将沿方向平移得到，若图中阴影部分的面积为，则平移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，设与交于点，由勾股定理求出，则，根据平移的性质可得，所以，故有，则，然后代入求解即可，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，，，， ∴ ， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平移的距离为， 故选：． 19．(24-25九上·河南南阳新野县·期中)如图，在等边中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（、两点均不与端点重合），作，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，当满足条件的点有且只有一个时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查相似三角形，等边三角形，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解一元二次方程等知识． （1）根据题意，得，推出，根据，可得，等量代换，根据相似三角形的判定，即可； （2）根据等边三角形的性质，，根据，可得，，推出，得到，根据相似三角形的性质，可得，即可； （3）根据相似三角形的性质，可得，整理得，根据一元二次方程实数根的性质，则，解出，即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． （3）解：由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵满足条件的点有且只有一个， ∴方程有且只有一个解， ∴， ∴． 20．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，点、分别在的边、上，且，，连接，点是线段的中点，的延长线与的延长线交与点G，交于H． (1)求证：； (2)填空： ①若，则________； ②若，则_______． 【答案】(1)见解析； (2)①18；②1 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造平行四边形是解答本题的关键． （1）先证明，推出，得到，得，可知，从而可证明； （2）①由，推出，再证明，得到，然后利用相似三角形的性质即可求解； ②设，得到，，由，推出，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：18； ②由①得， 设， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， 解得，即， 故答案为：1． 21．(24-25九上·河南洛阳嵩县·期中)如图1，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)如图2，当点与点重合时，有结论：．这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称“欧几里得定理”．该定理还有其它表达形式．已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用有两组角相等的两个三角形相似判定即可； （2）由（1）可知：，从而证明，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：于点， ， ， （2）解：由（1）可知：， ，即： ， ， 地 城 考点03 相似三角形——动点问题 22．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 23．(24-25九上·河南南阳新野县·期中)如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从出发，沿向点移动．设、两点移动时间为． (1)_____，_____；（用含的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 【答案】(1)，； (2)秒与秒． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先求出，进而表示出和的长度即可； （2）由题意可知， ，再分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 动点以的速度移动，动点以的速度移动， ，， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ， ①如图1，当时，， ，即 解得：（秒）； ②如图2，当时，， ，即 解得：（秒）． 综上所述，为秒与秒时，与相似． 24．(24-25九上·河南开封通许县·期中)如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．    (1)若与相似，求动点的运动时间； (2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间； (3)在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点，找到相似三角形是解题的关键． （1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间； （2）当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间； （3）若若为的中位线，则，则，求出，此时，，故，故不能为的中位线． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得 设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，， ； ①当，即时， ； ，即， ． ②当，即时， ， ，即， ． 和都符合，   当动点运动秒或秒时，与相似； （2）解：如图，过点E作于F，    设经过运动时间为t秒时，， 则，，， ； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． （3）解：不能，理由如下： 如图，    若为的中位线，则， 则， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴不可能为的中位线． 25．(23-24九上·辽宁丹东第五中学·月考)如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)5或7 (2)或 【分析】（1）分别用含t的代数式表示的长，利用面积公式列方程求解即可． （2）分两种情况讨论，结合相似三角形的性质，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵的面积等于， ∴， 即 ， 整理，得， 解得， 故当t为5或7时，的面积等于． （2）解：根据题意得：， 当时， ，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： 综上所述，经过或秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是利用分类思想讨论． 26．(21-22九上·内蒙古包头第二十九中学·月考)如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x， 当△PAE∽△PBC时，，即， 解得，， 当△PAE∽△CBP时，，即， 解得，x＝2或6， 可得：满足条件的点P的个数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用． 27．(21-22九上·广东佛山第四中学·月考)如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由见解析 【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案； （3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵矩形ABCD中，， ∴m ∵动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动， ∴ ， ∴ 故答案为：，，； （2）根据（1）的结论，得 ， ， ， ∵ ∴当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似 当时，得 ∴ ∴； 当时，得 ∴ ∴； （3）如图，过点P作，交BC于点M ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形ABQP与CPQ的面积相等,四边形ABQP面积 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等． 【点睛】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解． 地 城 考点04 相似三角形的实际应用 28．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，由题意，得，，，所以四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得，，，证明得，即，解出的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：雕像的高度为． 29．(24-25九上·河南南阳内乡县·期中)某校社会实践小组为了测量一次大型运动会的主火炬台（如图）顶端距离地面的高度（如图），小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点 在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米，已知点、、、与火炬台的底端在同一直线上，，， （平面镜大小忽略不计） (1)求与的等量关系； (2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度 【答案】(1)； (2)该火炬台的高度为米． 【分析】（）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质即可求解； （）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质和，即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形得判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由： ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴； （2）解：由题意得：米， ∴（米）， ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 由（）得：， ∴， ∴（米）， 答：该火炬台的高度为米． 30．(24-25九上·河南驻马店上蔡县·期中)蔡侯望河楼位于蔡国故城西垣，古时为“重阳登高处”．南北朝梁《续齐谐记》：东汉桓景曾在九月九日佩茱萸囊，举家登冈山望河楼以避灾．这是天下重阳源上蔡的重要佐证．某天小明站在地面上给站在蔡侯望河楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离蔡侯望河楼底部的距离米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上，请根据以上数据求出蔡侯望河楼的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点A作于点M，交于点N，先求出的长度，利用平行证明，从而得到，求出的长度，进而得出结果． 【详解】解：如图，过点A作于点M，交于点N， 依题意，得， ． ， ， ， 即， 解得． ， ∴蔡侯望问楼的高度为（米）． 31．(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)岳飞，字鹏举，相州汤阴（今河南省汤阴县）人，南宋时期抗金名将，中国历史上著名的军事家、战略家、民族英雄，位列南宋“中兴四将”之首．小明在学习了相似后，尝试用平面镜的反射原理测量岳飞铜像的高度．如图，是岳飞铜像，是水平地面，M是平放在地面上的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面），当眼睛A正好在平面镜中看到铜像顶端C时，测出．求岳飞铜像的高度． 【答案】岳飞铜像的高度为 【分析】本题考查相似三角形的应用．证明，推出，代入有关数据即可求出的长． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ； 答：岳飞铜像的高度为． 32．(24-25九上·河南南阳新野县·期中)小文和小君同学想利用数学知识测量矗立在教学楼边上的大树的高度．如图，他们在教学楼边上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小文笔直地站在处，小君在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小文恰好看到在镜子里点和点重合．已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小文的眼睛离地面的高度．求大树的高度． 【答案】12米． 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例计算解题即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ，， ， ， 答：大树的高度为12米． 33．(24-25九上·河南南阳邓州·期中)为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 34．(24-25九上·河南南阳新野县·期中)我国古代教育家墨子发现了小孔成像：用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，这种现象叫小孔成像．如图，根据小孔成像原理，已知蜡烛的火焰高，当物距，像距时，火焰的像高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，， 答：火焰的像高为， 故选：D． 35．(24-25九上·河南洛阳汝阳县·期中)今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？（注：1里步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（   ） A．300步 B．315步 C．400步 D．415步 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：B． 36．(24-25九上·河南平顶山·期中)某“综合与实践”小组开展测量某塔高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下： 课题 测量塔的高度 成员 组长：×××；组员：×××，×××，××× 测量工具 盒尺，平面镜 测量示意图 说明：观测者站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端点，眼睛记作点，平面镜所在处记为点，塔底部的中心点记作点，点、、在同一水平直线上，且，均垂直于水平地面． 测量数据 观测者的脚到平面镜的距离 平面镜与塔的水平距离 眼睛到地面的距离                测高方法 利用光的反射原理 请根据以上测量结果及该小组的思路，求塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 由光的反射定理证明，得到，即可求出． 【详解】解：由光的反射定理得，． ， ， ， ，即， ， 故塔的高度为． 37．(24-25九上·河南南阳邓州·期中)【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小芳在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为米；然后，小明在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得为米，为3米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上． (1)直接写出 ； (2)请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 【答案】(1) (2)24米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意利用三角形相似即可求值； （2）根据题意可证，得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 答：学校旗杆的高度为24米． 38．(24-25九上·河南平顶山·期中)图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． (1)如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； (2)如图3，若物距，焦距时，成放大、正立的虚像，虚像与物在凸透镜同侧，此时虚像长度为，蜡烛的长为，求此时像距的长； (3)若蜡烛的长为5cm，物距，焦距，求像距和像的长． 【答案】(1)理由见详解 (2) (3)像距，像 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，可证，得到，则有，所以与没有交点，此时“不成像”即可求解； （2）根据题意可证，结合相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意可证，可得，再证，结合相似三角形的性质即可求解 ． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与没有交点，此时“不成像”； （2）解：已知虚像与物在凸透镜同侧，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴像距； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴像距，像 ． 39．(24-25九上·河南焦作·期中)雨后的一天晚上，小明和小彬想利用自己所学的测量物体高度的相关知识，测量一盏探照灯离地面的距离如图，当小明直立在点处时，小彬测得小明的影子的长为；此时小明恰好在他前方的点处的小水坑中看到探照灯（点）的倒影．已知小明的身高为，请你利用以上数据求出探照灯离地面的距离． 【答案】探照灯离地面的距离为米 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．设米，米，则米，证明，，利用相似三角形的性质得到线段的比例关系，构建方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，，，， 设米，米，则米． ， ， ， ①， ，， ， ， ②， 由①②解得：， 经检验，是方程组的解． 探照灯离地面的距离为米． 地 城 考点05 求位似图形的对应坐标 40．(24-25九上·河南周口太康县·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形位似， ∴， ∵矩矩形的周长是矩形周长的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，， ∴， 如图： ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 41．(24-25九上·河南南阳新野县·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若与关于点位似，且的面积是面积的4倍，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换得到是解题的关键．根据与关于点位似，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与关于点位似， ， ， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为或，即或， 故选：D． 42．(24-25九上·河南洛阳汝阳县·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小成，点A的对应点为，点B的对应点为． (1)把缩小成有几种情况，分别在图中画出； (2)直接写出的坐标_______． 【答案】(1)共有两种情况，画图见解析 (2)或 【分析】本题考查位似变换，根据“在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或”是解题的关键． （1）根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标的比等于或，”求解出位似图形的坐标，即可画出图形； （2）由（1）即可解答． 【详解】（1）解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点A的对应点的横坐标是或，纵坐标依次是或， 点A的对应点的横坐标是或，纵坐标依次是或， 即点A的对应点的坐标为或，点B的对应点的坐标为或， ∴把缩小成共有两种情况， 如图：为所求； 或 （2）解：由（1）知：点的坐标为或． 43．(24-25九上·河南洛阳偃师区·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，已知点A，B的坐标为，，点F的坐标为，则点H的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，由题意可得正方形与正方形的相似比为，结合正方形的性质求出，即可得解． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，点F的坐标为， ∴正方形与正方形的相似比为， ∵点A，B的坐标为，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点H的坐标为， 故答案为：． 44．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵，以点O为位似中心，相似比为3，将放大， ∴点的坐标为或， 故选：C． 45．(24-25九上·河南郑州·期中)如图，已知是坐标原点，M，N的坐标分别为． (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； (2)分别写出M、N的对应点P、Q的坐标； (3)求的面积； (4)如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查位似及割补法，熟练掌握位似图形是解题的关键； （1）根据位似比可得出点M、N的对应点P、Q，然后作图即可； （2）由图（1）可直接进行求解； （3）根据图（1）及割补法可进行求解； （4）根据位似的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：由图可得：； （3）解：由图可得： ； （4）解：根据位似可知： 如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标． 46．(24-25九上·河南平顶山汝州·期中)如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴左侧将放大到原来的倍，并画出放大后的； (2)分别写出，两点的对应点，的坐标； (3)若点在的内部，请直接写出经过（）的变化后，对应点的坐标是_________． 【答案】(1)见解析； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，； （2）由（1）中图形即可写出，的坐标； （3）利用位似比及点的坐标即可求解； 本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由图可得点的坐标为，点的坐标为； （3）解：∵内部有一点，位似比为， ∴其对应点的坐标为， 故答案为：． 47．(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题由易得，然后可得，进而根据可求出，最后问题可求解． 【详解】解：分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示： ∵， ∴， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 48．如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为， 即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故选：B． 地 城 考点06 在坐标系中画位似图形 49．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、都在格点（网格线的交点）上，点坐标为． (1)在网格中画出，使它与的相似比为； (2)与的周长比为__________，面积比为__________． 【答案】(1)见解析 (2)1：21：4 【分析】本题考查了相似三角形的性质与作图知识点，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及位似图形的画法． （1）通过确定位似中心，根据相似比找出对应点，进而画出； （2）根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方得出结果． 【详解】（1）以点为位似中心，将的各边扩大为原来的2倍来画．先分别连接，，并延长到，使，延长到，使，连接，则就是所求的与相似比为2∶1的三角形． 如图，即为所求． （2）根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，因为与的相似比为1∶2，所以它们的周长比为1：2；相似三角形面积的比等于相似比的平方，由于相似比是1：2，那么面积比为． 故答案为：1：2，1：4 50．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为．并写出与的而积之比为______； (3)在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点对应的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的定义和作图，位似图形的定义及作图，位似比的性质等知识是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义和性质作图即可； （2）根据位似图形的定义作图即可作图，再根据位似比的平方等于面积比即可求解； （3）根据位似比的性质即可求解． 【详解】（1）解：关于轴的轴对称图形，作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为，作图如下， ∴即为所求图形， ∵与位似，且位似比为, ∴， ∵与关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意，与的相似比为， ∵内一点的坐标为在第二象限， ∴，， ∵在第一象限， ∴， 故答案为：． 51．(24-25九上·河南郑州一八联合国际学校·期中)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． (1)以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； (2)点的坐标为（__________，________）； (3)的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化、位似变换，求网格中图形的面积，利用位似的性质正确作出图形是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，分别作出、、的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据坐标系即可得出点的坐标； （3）结合点的坐标，利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 故答案为：，． （3）解：由坐标系可得，的面积． 故答案为：． 52．(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)如图，在中，A，B，C三点的坐标分别是． (1)图中A，C两点坐标的特点是___________． A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 (2)画出关于x轴对称的． (3)以点A为位似中心，在点A的上方画出的位似，使它与的相似比为． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图和位似图形，掌握相关作图方法和步骤是解题的关键． （1）根据B，C两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，得B，C两点关于原点对称； （2）先作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾连接即可； （3）先作出点B、C以点A为位似中心，且相似比为的对应点，再首尾连接A，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴A、C两点关于原点对称， ∴是C选项； 故答案为：C； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，即为所求作． 53．(24-25九上·河南洛阳偃师区·期中)如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上．    (1)将向左平移8个单位长度，请画出平移后的； (2)画出平移后关于x轴对称的； (3)以原点O为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为，请画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题主要考查了平移（作图），画轴对称图形，在坐标系中画位似图形等知识点，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、位似的性质以及作平移图形、作轴对称图形、作位似图形的一般步骤是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据位似的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，和均满足题意． 54．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了轴对称作图和位似图形，掌握相关作图方法和步骤是解题的关键． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连接即可； （2）先作出点以原点为位似中心，且相似比为2的对应点，再依次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； 由图可知，点的坐标为． 55．(24-25九上·河南南阳·期中)在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ； (2)以O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为 ； (4)判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 (3) (4)是，将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到 【分析】本题主要考查作图，位似变换，几何变换等，熟练掌握画图技巧是解题的关键． （1）对应点的连线的交点即为位似中心，再写出坐标即可； （2）根据位似变换的知识，找到变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得点M在中的对应点的坐标； （4）根据点的坐标变化求解即可． 【详解】（1）解：连接与交于点，点位置如图，点P的坐标为； （2）解：根据位似比画出图形，得 ； （3）解： 与的位似比为， 故在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为； （4）解：将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $