专题07 与二次函数有关的压轴题 3大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版）九年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07与二次函数有关的压轴题 ☆3大高频考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数与一元二次方程 考点03实际问题与二次函数 考点01 二次函数的图象与性质 1.(24-25九上·河南许昌建安区第三初级中学模拟)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴，y轴分别交于 A,B两点，点B坐标为O,5,抛物线的顶点为C,点B关于对称轴直线x=2的对称点为点D. B A衣 (1)求该抛物线的表达式： (2)当-1<x<4时，求函数值y的取值范围； (3)将抛物线在点D右方的图象沿着直线BD向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当 直线y=2x+n与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值 2.(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D. 1/10 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 VA D 备用图 (I)请直接写出点A,C,D的坐标： (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作PE⊥x轴交AC于点E,求线段PE 长度的最大值； (3)若F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点Q,使得△AFQ为等腰直角三角形？若存在，求出Q 坐标；若不存在，请说明理由。 3.(24-25九上·河南驻马店西平县第五初级中学，期中)如图，抛物线y=ax+bx+6经过点A-2,0, B4,0两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m1<m<4. (1)求抛物线的函数表达式： (2)点E是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACE的周长最小时，求点E的坐标； 3 (3)当△BCD的面积等于△AOC的面积的二时，求m的值： (4)在(3)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使 得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说 明理由， 4.(24-25九上·河南濮阳濮阳县实验中学·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax-2ax+4a>0 若Am-1,y1,Bm,y2,Cm+2,y3为抛物线上三点，且总有y1>y3>y2,则m的取值范围是 2/10 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，二次函数y=ax+bx+ca≠0的图象顶点在第三象限，且经 过A(2,0),B(0,-2)两点，有以下结论：①abc<0:②2a+b=1;③0<2a+b+c<1:④0<b<1.其中 正确的是() A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 6.(24-25九上河南驻马店平舆县期中)已知抛物线y=x2-a+2x+16的顶点在坐标轴上，则a的值为一 7.(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)二次函数y=ax+c与一次函数y=ax+c在同一平面直角坐标系中 的图象大致为() 8.(24-25九上·河南漯河舞阳县·期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A-3,0, 对称轴为X=-1.给出四个结论： ①b2>4ac:②2a+b=0:③3a+c=0:④a+b+c=0. 其中正确结论数是一（填序号） 3/10 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 9.(24-25九上河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)已知抛物线y=(x-h)2-1 (1I)当x≤1时，y随着x的增大而减小，求h的最小值： (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为3,0，B点坐标为5,0，若抛物线与线段AB只有一个公共点，求 h的取值范围. 10.(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)如图，已知抛物线y=-x+2x+3与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,点B的坐标为3,0.点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，则点P 的坐标为· A/O B 11.(24-25九上·河南周口西华县·期中)形状、开口方向与抛物线y=2x2-x+3相同，且顶点为(-2,1)的二 次函数解析式为() A.y=2x+22+1 B.y=2x-22+1 C.y=-2x+22+1 D.y=-2x-22+1 考点02 二次函数与一元二次方程 12.(24-25九上河南信阳平桥区·期中)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左 (右)平移了m个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为一· 13.(24-25九上河南洛阳涧西区·期中)阅读下面材料： 小明在解方程2x-52+42x-5-5=0时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法： 4/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 令t=2x-5①，则原方程可化为t+4t-5=0,解得t1=-5,t2=1,分别代入①后算出了x的值. 解决以下问题： (1)直接写出方程2x-52+42x-5-5=0的根为 (2)利用上述方法求抛物线y=5x+62-5x+6-6与x轴的交点坐标. 14.(24-25九河南周口川汇区·期中)小明用GGB探索方程ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)的根， 作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（) VA -a A.2.4 B.2.6 C.1.4 D.1.6 15.(24-25九上河南开封金明中学·期中)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1, 则下列正确的有()个. ①a>0:②c<0:③b2-4ac>0:④a+b+c>0:⑤当y<0时，x的取值范围是-1<x<3. A.2 B.3 C.4 D.5 16.(24-25九上河南漯河实验中学，期中)如图1，己知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于点A-1,0,B两点， 与y轴交于点C0,-3. 5/10 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求m,n的值及点B的坐标： (2)如图2，点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM‖y 轴，交BC于点M,过点Q作QN‖y轴交BC于点N,求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标： 17.24-25九上河南三门峡灵宝期中)已知二次函数y=-号X+x+4 --4 3 1-2 54-3-21g1.2345主 --2 3 -4 (1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标： (2在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线y=一X怎样平移得到的？ (3)根据图象回答，x取何值时，y>0,y=0,y<0? -2 0 1 2 4 、1 9 0 4 2 0 18.(24-25九上·河南信阳淮滨县·期中)如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，图象过点A-3,0, 对称轴为直线x=-1,给出四个结论，其中正确结论是() 6/10 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.b2<4ac B.2a+b=0 C.a+b+c>0 D.若点B 2 21 2少，为函数图象上的两点，则y,<y2 19.(24-25九上河南漯河郾城区期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点. (1)求点A,B的坐标： (2)填空： ①点M是此抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标yM的取值范围； ②若点E3n-4,y1,F5n+6,y2分别在对称轴两侧的抛物线上，且y1>y2,则n的取值范围是 20.(24-25九上河南周口西华县·期中)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0. (1)试判断原方程根的情况： (2)若抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于Ax1,0、BX2,0两点，则A、B两点间的距离是否存在最大或 最小值？若存在，求出这个值：若不存在，请说明理由 21.(24-25九上·河南信阳潢川县第二中学期中)已知二次函数y=ax+bx+ca≠0的图象如图所示，下列 结论：①abc>0;②2a+b=0:③8a+c>0:④9a+3b+c<0.其中正确结论的序号是一. 7/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点03 实际问题与二次函数 22.(24-25九上·河南开封金明中学·期中)某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为 20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则 每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为X(元)，每天的销售量为y (瓶)· (I)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式： (2)该超市要想获得最大利润，售价应定为每瓶多少元？最大利润为多少？ 23.(24-25九上河南信阳新县·期中)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映： 如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件.已知商品的进价为每件40元.设每件商品降价x元， 每星期的利润为y元， (I)用含x的代数式表示下列各量： ①每件商品的利润为元： ②每星期卖出商品的件数为 件。 (2)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 24.(24-25九上·河南郑州期中)国家鼓励大学生自主创业，王磊在某市政府的扶持下创建了自己的公司， 今年受新型冠状病毒的影响，该公司投资生产一种成本为每瓶10元的免洗手酒精消毒凝胶，并投放市场 进行销售，销售过程中发现，该产品每天销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次 函数：y=-10x+400. (1)设该公司每天获得利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式： (2)如果该公司想要每天获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ (3)根据物价部门规定，这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元，如果该公司想要每天获得的 利润不低于2000元，那么该公司每天的成本最少需要多少元？（成本=成本价×销售量） 25.(24-25九上·河南新乡第十中学·期中)利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40 元.为了扩大销售、填加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时向 销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. (1)若降价x元，则平均每天销售数量为_件： (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ (3)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少？ 26.(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果， 正在上初三的小明发现这种水果每月的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在着一次函数关系： 8/10 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 y=-10x+500.已知这种水果的进价是每千克20元. 请解决下列问题： (1)如果每月这种水果的利润为2000元，那么销售单价应定为多少元？ (2)当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 27.(24-25九上·河南周口扶沟县·期中)如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标 为-多-10 运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动 作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 1, 正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成 4 规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.运动员入水后，运动路线为另一条抛物线. 10 B MDN水面 (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标： (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？ 通过计算说明理由： (3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点，且EM=2 2.EN-27 ,该运动员入水后运动路线对应的 抛物线解析式为y=ax-h+k,且顶点C距水面5米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M,N两 点)，请直接写出a的取值范围 28.(24-25九上河南漯河郾城区·期中)如图所示，一小球M从地面上的点O处抛出，落在斜坡OA上的点A 处.此球的运动路线是抛物线的一部分，以过O的水平线为X轴，以过O且垂直于x轴的直线为y轴建立平 1 面直角坐标系.已知小球到达最高点的坐标为(4,8)，落点Am,2m 9/10 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 /米 M B 0 x米 (1)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为多少米？ (2)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高6米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个 广告牌？通过计算说明理由. 10/10 专题07 与二次函数有关的压轴题 3大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数与一元二次方程 考点03 实际问题与二次函数 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 1．(24-25九上·河南许昌建安区第三初级中学·模拟)如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线的对称点为点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)将抛物线在点D右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合内容等，注意数形结合思想以及分类讨论思想的运用，正确得到二次函数解析式是解题的前提． （1）把对称轴直线和代入即可； （2）对称轴直线在中，考虑最大值在对称轴直线中取得，再把和分别代入计算，最后比较大小即可得出y的取值范围； （3）在时，抛物线是无限延长的，与在情况下的必然存在一个公共点，那么只需要考虑①当直线过点D时和②当直线与抛物线相切两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：将代入中得， ∵对称轴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 因为对称轴直线在中，考虑最大值是对称轴直线与抛物线的交点的纵坐标， 当时，， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：①当直线过点D时： ∵B，D两点关于对称轴直线对称，， ∴点D的坐标为， 将点代入直线中得， ∴； ②当直线与抛物线相切时， 令，即， 当，解得； 综上：或． 2．(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 3．(24-25九上·河南驻马店西平县第五初级中学·期中)如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)当的面积等于的面积的时，求的值； (4)在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)的值为； (4)存在，点的坐标为或或或． 【分析】（）把、代入列方程组求出的值即可； （）连接交抛物线的对称轴于点，连接，先求得直线的函数表达式为，根据轴对称的性质和两点之间线段最短证明点与点重合时， 的周长最小，求出此时点的坐标即可； （）作轴于点，交于点，求出直线的函数表达式，则 ，再用含的代数式表示的长及 的面积，根据的面积等于的面积的列方程求出的值即可； （）先证明当点的纵坐标与点的纵坐标相等或互为相反数, 且时，以点为顶点的四边形是平行四边形，按点在轴上方或点在轴下方分类讨论，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点，代入关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，且直线垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴当点与点重合时，， 此时，可知的值最小， 在中，的边为定值， ∴当的值最小时，则的周长最小， 由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴； （3）解：如图，作轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的值为； （4）解：存在，设， 当时，， 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∵点与点关于抛物线的对称轴直线对称， ∴点， ∵， ∴，； 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∴， 整理得， 解得，， ∴，， 作轴于点，轴于点，轴于点， 则，，，， ∵，，， ∴， ∴， 同理 ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4．(24-25九上·河南濮阳濮阳县实验中学·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，函数值越小是解题的关键． 根据题意可知抛物线的开口向上，对称轴，再根据自变量时，，即可得出m的取值范围． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为，开口向上， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，二次函数的图象顶点在第三象限，且经过两点，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给图形，得出的正负，再结合抛物线的对称轴和增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给图形可知，， 所以，故①正确． 因为抛物线经过两点， 所以， 整理得，，故②正确． 由②知，， 因为， 所以，故③错误． 由①知，， 又因为，且， 所以， 所以，故④正确． 故选：D． 6．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值为 ． 【答案】，6或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．由于抛物线的顶点在坐标轴上，分为在轴上与轴上两种情况进行讨论． 【详解】解：当抛物线的顶点在轴上时，， 即 解得或， 当顶点在轴上时，， 解得， 故答案为：，6或． 7．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，两函数与轴交于同一点，故不符合题意； C、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； D、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故符合题意； 故选：D． 8．(24-25九上·河南漯河舞阳县·期中)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论数是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据二次函数的图像和性质是解题的关键； 【详解】解：①由图象知和轴有两个交点， ， （正确）． ②由图象知；图象与轴交点在轴的上方，且二次函数图象对称轴为， ，，， 即 ③图象过点，对称轴为， 故时，则， 故当时，， ， 故； 故③④正确； 故答案为：①③④ 9．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)已知抛物线 (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线经过、两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴，则h的最小值为1； （2）解：由题意得， 当抛物线经过点时， 解得或， 当抛物线经过点时， 解得或． 当时，抛物线同时经过点A和点B，不合题意， ， 则h的取值范围是，且． 10．(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，的周长也最小，以此为依据求解即可； 【详解】解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 11．(24-25九上·河南周口西华县·期中)形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵二次函数的图象形状与开口方向和抛物线相同， ， 则， 故选：A． 地 城 考点02 二次函数与一元二次方程 12．(24-25九上·河南信阳平桥区·期中)在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，据此即可求解，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴将抛物线向上平移个单位长度，或者向左平移个单位长度，或者向右平移个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令①，则原方程可化为，解得，，分别代入①后算出了x的值． 解决以下问题： (1)直接写出方程的根为________； (2)利用上述方法求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标和换元法解一元二次方程，关键是掌握换元法解一元二次方程； （1）根据材料方法直接代入求解即可； （2）根据抛物线与一元二次方程的关系，求出方程的解，即可求出抛物线与轴的交点坐标 【详解】（1）解：由题得或， 解得：，； （2）解：令，则， 令①，则原方程为， 解得，， 把，分别代入①得： 或， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 14．(24-25九·河南周口川汇区·期中)小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为， 故选：． 15．(24-25九上·河南开封金明中学·期中)二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列正确的有（   ）个． ①；②；③；④；⑤当时，的取值范围是． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，由抛物线的图象及与轴的交点可判断①②③，由由时，可判断④，结合抛物线的对称轴可得抛物线与轴的另一个交点为，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴，，故①②符合题意； ∵图象与x轴两个交点， ∴方程有两个不相等的根， ∴，故③符合题意； 由时，，故④不符合题意； ∵抛物线的对称轴为，其中一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，的取值范围是，故⑤符合题意； 即正确的有4个， 故选：C． 16．(24-25九上·河南漯河实验中学·期中)如图1，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点． (1)求，的值及点的坐标； (2)如图2，点，为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1)，点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则，进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：． 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， ， ， ， ， ∴当时，有最大值4，此时， ∴点的坐标为． 17．(24-25九上·河南三门峡灵宝·期中)已知二次函数 (1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标； (2)在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线怎样平移得到的？ (3)根据图象回答，x取何值时，？ 【答案】(1)抛物线的开口方向向下、顶点坐标 (2)图象见解析，向右平移1个单位，向上平移个单位即可 (3)当或时，，当或时，，当时， 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，把二次函数化为顶点式，画出二次函数图象是关键． （1）把二次函数化成顶点式即可求解； （2）列表，描点，连线即可画出二次函数的图象，进而即可得到平移方式； （3）线求出函数图象与x轴的交点坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口方向向下、顶点坐标； （2）解：列表： 描点连线，如图所示： 向右平移1个单位，向上平移个单位即可得到：； （3）解：由得：， ∴当或时，，当或时，，当时，． 18．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期中)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论，其中正确结论是（    ）    A． B． C． D．若点，为函数图象上的两点，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点情况判断A，根据对称轴判断B，根据抛物线的对称性判断CD． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，即，选项A不正确； 抛物线的对称轴是直线， ，选项B不正确； 点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当抛物线与轴交点为时，，选项C不正确； 关于直线的对称点坐标为， 当时，随的增大而减小，， ，选项D正确； 故选：D． 19．(24-25九上·河南漯河郾城区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点． (1)求点，的坐标； (2)填空： ①点是此抛物线上一点且到轴的距离小于，求出点的纵坐标的取值范围； ②若点，分别在对称轴两侧的抛物线上，且，则的取值范围是______． 【答案】(1)点，或 ，； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了求二次函数与轴的交点坐标，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时的值即可得到答案； （2）①先求出对称轴和顶点坐标，最大值，再求出或时二次函数的值即可得解；②由抛物线解析式为，则抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，由此分 和两种情况即可得到答案． 【详解】（1）解：物线中，令，则， 解得或， ∴点，或 ，； （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， 当时，， 当时，， ∴点的纵坐标的取值范围为； ②， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，分别在对称轴两侧的抛物线上，且， ∴当即时，， 解得， ∴， 当时，此时无解， 综上，． 故答案为：． 20．(24-25九上·河南周口西华县·期中)已知关于的一元二次方程． (1)试判断原方程根的情况； (2)若抛物线与轴交于、两点，则、两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)有两个不相等的实数根 (2)存在最小值，最小值是 【分析】（1）根据题意可得，据此即可得出答案； （2）利用公式法解一元二次方程即可得出、两点的坐标，于是可求得、两点间的距离，然后根据二次函数的图象与性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 不论取何值，，， 即， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：在中，当时，即， 解得：， ， 当时，有最小值，有最小值， 答：、两点间的距离存在最小值，最小值是． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，抛物线与轴的交点问题，公式法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 21．(24-25九上·河南信阳潢川县第二中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等．根据二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为，得到，即即可判断①②；当时，即可判断③；根据当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确； ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ∵当时，，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 地 城 考点03 实际问题与二次函数 22．(24-25九上·河南开封金明中学·期中)某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为（元），每天的销售量为（瓶）． (1)求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)该超市要想获得最大利润，售价应定为每瓶多少元？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当售价为19元时，每月销售利润最大，最大利润是360元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． （1）根据销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶，列出函数关系式，即可求解； （2）设每月销售利润为元，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意知， ∴每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）设每月销售利润为元， 则， ∵，∴开口向下， ∵，解得， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为360元． 答：当售价为19元时，每月销售利润最大，最大利润是360元． 23．(24-25九上·河南信阳新县·期中)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价x元，每星期的利润为y元． (1)用含x的代数式表示下列各量： ①每件商品的利润为_______元； ②每星期卖出商品的件数为_______件． (2)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 【答案】(1)①；② (2)当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元 【分析】本题考查列代数式，二次函数的实际应用： （1）根据题干描述列代数式即可， （2）根据“利润每件利润销量”列出y关于x的二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：每件商品的利润为：（元）， 每星期卖出商品的件数为：（件）， 故答案为：①；②； （2）解：由题意知，， ， 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为6750， （元）， 即定价为55元件时，所获利润最大，最大利润为6750元． 24．(24-25九上·河南郑州·期中)国家鼓励大学生自主创业，王磊在某市政府的扶持下创建了自己的公司，今年受新型冠状病毒的影响，该公司投资生产一种成本为每瓶10元的免洗手酒精消毒凝胶，并投放市场进行销售，销售过程中发现，该产品每天销售量（瓶）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． (1)设该公司每天获得利润为（元），求与之间的函数解析式； (2)如果该公司想要每天获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ (3)根据物价部门规定，这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元，如果该公司想要每天获得的利润不低于2000元，那么该公司每天的成本最少需要多少元？（成本=成本价销售量） 【答案】(1) (2)销售单价应定为20元或30元 (3)该公司每天的成本最少需要1600元． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，理解题意，正确列出函数关系式是解题关键． （1）根据利润=（销售单价-单瓶成本）×销售量解答即可； （2）令（1）所求函数关系式中，求解即可； （3）由题意结合（2）可得出，设该公司每天的成本为P，，最后根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意有：． ∵， ∴， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， 答：销售单价应定为20元或30元； （3）解：由（2）可知该公司想要每天获得的利润不低于2000元，则， ∵这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元， ∴． 设该公司每天的成本为P，则， ∵， ∴P随x的增大而减小， ∴当时，P最小，且， 答：该公司每天的成本最少需要1600元． 25．(24-25九上·河南新乡第十中学·期中)利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、填加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时向销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ (3)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少？ 【答案】(1)件 (2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 (3)当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元 【分析】本题考查了二次函数的销售利润，列代数式，二次函数的图象性质，一元二次方程的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，得出当降价元，则平均每天销售数量为件； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得：，解出的值，即可作答． （3）设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据题意得：， 因为，，当时，即售价为有最大值，最大值为1250， 【详解】（1）解：∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件， ∴当降价元，则平均每天销售数量为件； 故答案为：； （2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元； （3）解：设每件商品降价元，商店可获得利润为元， 根据题意得：， ，， 当时，即售价为有最大值，最大值为1250， 答：当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元． 26．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：．已知这种水果的进价是每千克20元． 请解决下列问题： (1)如果每月这种水果的利润为2000元，那么销售单价应定为多少元？ (2)当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)30元或40元 (2)销售单价为35元时，每月可获得最大利润，最大利润为2250元 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用； （1）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每月获得利润为w元，根据题意函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 化简得：， 解得：． 答：如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为30元或40元． （2）设每月获得利润为w元 ， ， 当时，w最大，最大利润为2250元， 答：销售单价为35元时，每月可获得最大利润，最大利润为2250元． 27．(24-25九上·河南周口扶沟县·期中)如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； (3)在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)，， (2)该运动员此次跳水会失误． (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标． （2）由题意知，当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可． （3）由题意知，，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过，求解当抛物线经过点，当抛物线经过点时的解析式，从而可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， ∵ 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为． （2）解：当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为． 将代入中， 得． ， 该运动员此次跳水会失误． （3）解：∵，，， ∴，， 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过， 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； ∵出水点在之间（包括，两点） ∴． 28．(24-25九上·河南漯河郾城区·期中)如图所示，一小球从地面上的点处抛出，落在斜坡上的点处．此球的运动路线是抛物线的一部分，以过的水平线为轴，以过且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球到达最高点的坐标为，落点． (1)小球在斜坡上的落点的垂直高度为多少米？ (2)若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由． 【答案】(1)米； (2)小球不能飞过这个广告牌． 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为：，代入点，即可求得函数解析式，作于点，将代入中，有：，解方程即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为：，根据点的横坐标为，可得，在抛物线上，当时，，由，即可作答． 【详解】（1）解：∵最高点的坐标为， ∴设抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点， ∴代入点可得：， 解得：， 即抛物线的函数解析式为：； 如图，作于点， 将代入中，有：， 解得：或者， 当时，，此时为原点，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴小球在斜坡上的落点的垂直高度为米； （2）解：小球不能飞过这个广告牌，理由与如下： ∵，原点， ∴设直线的解析式为：， 代入，可得：， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵点的横坐标为， ∴， 在抛物线上，当时，， ∵， ∴小球不能飞过这个广告牌． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $