6.1.4-6.1.5 数乘向量 向量的线性运算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

6.1.4-6.1.5 数乘向量 向量的线性运算 [课时跟踪检测] 1.3(a+b)-2(a-b)-a= (　　) A.5a B.5b C.-5a D.-5b 解析：选B　根据向量运算公式可知，3(a+b)-2(a-b)-a=3a+3b-2a+2b-a=5b. 2.在△ABC中，点D满足=，则 (　　) A.=+ B.=- C.=-+2 D.=2- 解析：选C　因为=， 所以=+=+=+-=2-. 3.(多选)已知a，b，c均为非零向量，且a=2b，b=-3c，则 (　　) A.a与c平行 B.b与c同向 C.a与c反向 D.a与b反向 解析：选AC　因为a=2b，b=-3c，所以a与b同向，b与c反向.所以a与c平行且反向. 4.已知在△ABC中，向量=λ(+)(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的 (　　) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解析：选D　设D为BC的中点，则+=2，∴=2λ，即P点在中线AD上，可知P点的轨迹必过△ABC的重心. 5.已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC=2AD=2，BC的中点为E，则= (　　) A.+ B.+ C.+ D.+ 解析：选B　如图，∵=-=-(+)=--=--，∴=-.∴=+. ∴=(+)=+=+. 6.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是 (　　) A.2a-3b=4e，且a+2b=-3e B.存在相异实数λ，μ，使λa+μb=0 C.xa+yb=0(实数x，y满足x+y=0) D.在梯形ABCD中，=a，=b 解析：选AB　对于A，由已知条件得，10a-b=0，故满足条件；对于B，显然满足条件；对于C，当x=y=0时，a，b不一定共线；对于D，若AB∥CD，则a，b共线，若AD∥BC，则a，b不共线. 7.已知点P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则点P一定在 (　　) A.△ABC的内部 B.边AC所在的直线上 C.边AB所在的直线上 D.边BC所在的直线上 解析：选B　∵=λ+， ∴-=λ，即=λ. ∴共线且有公共点P.∴P，A，C三点共线.∴点P一定在边AC所在的直线上. 8.(5分)化简：(a-2b)-3(-2a+b)=　　　　.  解析：(a-2b)-3(-2a+b)=a-b+6a-3b=a-4b. 答案：a-4b 9.(5分)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=　　　　.  解析：因为-3+2=0， 所以-=2(-)，即=2. 所以=2. 答案：2 10.(5分)如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若=a，=b，用a，b表示=　　　　　.  解析：=++=a+b+ =a+b+=a+b+(b-a) =a+b. 答案：a+b 11.(10分)在平行四边形ABCD中，==，设=a，=b. (1)用a，b表示；(5分) (2)用a，b表示.(5分) 解：(1)∵=，且四边形ABCD是平行四边形， ∴=+=+ =+=a+b. (2)∵=， ∴=-=- =(-)-=-- =-a-b. 12.(10分)如图所示，在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD.求证：M，N，C三点共线. 证明：设=a，=b， 则=-=-=a-b. ∵点N在BD上， 且BN=BD， ∴==(+) =(a+b)， ∴=-=(a+b)-b =a-b=， ∴=. 又与的公共点为点C， ∴M，N，C三点共线. 13.(10分)已知点O，A，M，B为平面上四点，且=λ+(1-λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0). (1)求证：A，B，M三点共线；(5分) (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围.(5分) 解：(1)证明：因为=λ+(1-λ)， 所以=λ+-λ， -=λ-λ， 即=λ， 又λ∈R，λ≠1，λ≠0且有公共点A， 所以A，B，M三点共线. (2)由(1)知=λ， 若点B在线段AM上， 则同向且||>||(如图所示). 所以λ>1. 即实数λ的取值范围是(1，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $