6.1.1 向量的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第六章平面向量初步。 第六章平面向量初步 6.1平面向量及其线性运算 6.1.1向量的概念 学习目标 (3)描述由A到C的位移 分析位移是向量，位移被方向和距 1.理解平面向量的概念和向量的几何： 离难一确定。 表示 2.掌握向量的模、零向量、单位向量、 平行向量、相等向量、共线向量等概念。 3.理解向量平行与直线平行的区别. 要点精析 川要点1平面向量的有关概念 B变式训练① (1)向量既有大小又有方向.我们用有 艘军舰从基地A出发向东航行了 向线段直观地表示向量，记作AB,A为始： 200 n mile到达基地B,然后改变航线向东 点，B为终点 偏北60°航行了400 n mile到达C岛，最后 (2)始点和终点相同的向量称为零向 又改变航线向西航行了200 n mile到达D岛. 量，记为0，零向量的方向是不确定的 (I)试作出向量AB,BC,CD: (3)向量的大小称为模，AB的模用MB1 (2)求AD1. 表示.模等于1的向量称为单位向量， 例1甲由A地出发按西偏北30°方向 行走1O03m到达B地，从B地按北偏 东30°方向行走100m到达C地 (1)试作出向量AB,BC,AC: (2)计算4C1; 学(63 N 高中数学必修第二册人教B版 反思感悟正确理解平行向量的概念， I要点2向量的相等与平行 向量平行和直线平行是有区别的，直线平 般地，把大小相等且方向相同的向量 行不包括重合的情况，而向量平行是可以 称为相等的向量，记作a=b.如果两个非零 重合的， 向量的方向相同或者相反，则称这两个向量 B变式训练2 平行或者共线.0与任意向量都平行. 例2如图6-1-1所 设，b都是非零向量，下列四个条件 示，a是单位向量，作出 中， 使4=b成立的充分条件是() h lal bl 两个与b共线且大小是 A.la=lb且a∥b 2V5的向量： 图6-1-1 B.a=-b 分析与b共线，则所求向量的方向 C.a∥b 与b相同或者相反，大小是b的2倍 D.a=b 数学文化 例如图6-1-2是 中国象棋的半个棋盘， “马走日”是象棋中马 的走法.图中，马可以 图6-1-2 从A处跳到A1处，用向量AA1表示马走了 “一步”.请在图中画出马在B,C处走了 “一步”的所有情况。 例3（多选题）下列四个命题中，正 分析马走了“一步”大小是确定的， 确的命题有() 有多个方向，C处有八个方向 A.若A,B,C,D是不共线的四点， 则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四 边形”的充要条件 B.若lal=b1且a∥b,则a=b或a+b=0 C两个向量相等，则它们的始点相同， 终点相同 D.若a∥b,b∥c,则a∥c 分析本题考查了向量的相关概念及 辨析. 64)学参考答案。 例2D【解析】环境指数在[7,8]内的“宜居城市” 为名子，因此这个游戏不公平。 记为A,A2,A;环境指数在[4,5)内的“宜居城 市”记为B1,B.从环境指数在[4,5)和[7,8]内 方法二：把三张卡片分别记为G,B,M,其中G 的“宜居城市”中随机抽取2个市的所有基本事件有 表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡 片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.考虑乙抽 AA2,AA3,AA3,AB,AB2,AB,AB2,A:B, AB2,BB2,共10个.其中，没有1个市的环境指数在 取到的卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢， [7,8]内的基本事件是BB2,共1个，.所求的概率 所以乙赢的概率为}，因此这个游戏不公平。 PI品故选D 变式训练4 变式训练3 解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、 B【解析】记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其 民生工程和产业建设工程分别为事件A,B,C,(i= 中测量过该指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔 1.2,3.且PA-7,PB3,PC=6 子中随机取出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE, (1)3名工人选择的项目所属类别互不相同的情况 ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,10 种，恰有2只测量过该项指标的基本事件有ABD, 有6种，所以概率P=6PAB.C)=6P4)PB)P(C)-6x× ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种，所以所求事 6-61 件的概率为严品子故选B, (2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率P 例3解：方法一：把卡片六个面的颜色记为G,G, 1-P81-PP医r画=1-1-号号 G,B,B2,B.其中，G表示绿色，B表示蓝色，G, B,是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.游戏的所有结 数学文化 果可以用树状图表示： A【解析】分别用A,B,C表示齐王的上、中、下 等马，用a,b,c表示田忌的上、中、下等马，现从双 朝上的面 G2 G3 B B2 方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，有Aa,Ab,Ac, 朝下的面 G G B. B,B Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共9场比赛，其中田忌的 马获胜的有Ba,Ca,Cb,共3场比赛，.田忌的马获 不难看出，样本空间共有6个样本点，朝上的面与 朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率 胜的概率为}.故选A. 第六章 平面向量初步 变式训练1 >“6.1平面向量及其线性运算 解：(1)建立如图所示的直 北 6.1.1向量的概念 角坐标系，向量AB,BC,CD即 要点精析 为所求」 60° 例1解：(1)如图所示。 (2)根据题意，AB方向为正 A 东 (2)由题可知∠ABC=90,在△ABC 东方向，CD方向为正西方向，且变式训练1答图 中，可得4C1=200. AB=CD1,在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD (3)∠A=30°，·.由A到C的位移 故四边形ABCD为平行四边形，4DHBC=400(mile). 是向北偏西30°方向200m. 例1答图 :例2解：如图所示 45 N 高中数学必修第二册人教B版 例3解：作图如图所示 例2答图 例3AB【解析】向量既有大小又有方向.AB=DC, 例3答图 边AB和边DC平行且相等，故A正确.a∥b,a,b例4解：由题知，a+b+c=AB+BC+BD=AC+BD.如 方向相同或者相反.又.a=b1l,..a,b为相同向量或者· 图，延长BC至点E,使BC=CE,连接DE,由于ADL 相反向量，故B正确.大小相等且方向相同的向量称为 CE,.四边形ACED为平行四边形，AC=DE,:AC+ 相等的向量，与位置无关，故C不正确.0与任意向量 BD-BD+DE=BE,.la+b+cl=IBEI=2IBCI=2ADI-8V3. 都平行，当b-0时，a,c不一定平行，故D不正确.故 选AB. 变式训练2 D【解析】合表示与a同向的单位向量，岛表示与 a方，故选D b同向的单位向量，只要a与b同向就有g=b 例4答图 数学文化 变式训练2 解：如图所示。 D【解析】·点M为平行四边形ABCD对角线的交 点，.点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知， 0A+0C=20M,0B+0D=20M,故0A+0B+0C+0D 40M.故选D. 例题答图 数学文化 证明：设在△ABC中，D,E,F为BC,AC,AB的 6.1.2向量的加法 中点，2AD=AB+4C,2BE=BA+BC,2CF=CA+CB, 要点精析 2AD+2BE+2CF-AB+AC+BA+BC+CA+CB-0. 例1解：作图如图所示. 即以任意三角形的三中线为边可以作一个三角形 6.1.3向量的减法 要点精析 a+b 例1解：四边形ABCD为平行四边形，.AD=BC-b. .AC-AB+AD,.AC-a+b 例1答图 变式训练1 :.BD=AD-AB,..BD=b-a. 变式训练1 B【解析】BC+BA=2BP .点P为线段AC的中点，故选B. 解：(1)在正方形ABCD中，a-b-AB-BC=AB- 例2解：由于la-lbll≤la+bl≤a+ AD-DB. b1,因此1≤la+b1≤5.当且仅当a, (2)如图，过点B作BF∥AC,交DC的延长线于点 变式训练1答图 b方向相同时，1a+b1=5;当且仅当 F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形，故a+c= a,b方向相反时，la+bl=1. AB+4C-AF.在△ADF中，DF-AF-AD=a-b+C,故DE 46