4.2.3 第2课时 对数函数的性质-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数 第2课时对数函数的性质 学习目标 ②1og23与1og4. 分析利用指数幂的性质和对数函数 1.能利用对数函数的单调性解决与之有 的单调性进行解答 关的比较大小、求单调区间等问题： 2.掌握对数函数的性质及其应用. 要点精析 川要点1对数值的大小比较 比较对数值大小的依据是对数函数的单 调性.具体方法如下： 反思感悟若已知的数值是同一函数 (1)若底数为同一常数，则可由对数函 的不同函数值，则依据单调性即可比较大 数的单调性直接进行比较， 小；若已知的数值不是同一个函数的函数 (2)若底数为同一字母，则根据底数对 值，则设法找到中间值，然后比较大小， 对数函数单调性的影响，对底数进行分类 也可以根据图象比较大小 讨论， (3)若底数不同，真数相同，则可以先 变式训练1 用换底公式化为同底后，再进行比较，也可 已知0<x<y<a<1,则有() 以利用顺时针方向底数增大画出函数的图 A.log(xy)<0 B.0<log(xy)<1 象，再进行比较 C.1<log(xy)<2 D.log(xy)>2 (4)若底数与真数都不同，则常借助 1,0等中间量进行比较 川要点2求解对数不等式、方程 思考如何比较log4V2与log2的 常见的三种类型的对数不等式： 大小？ (1)形如logx>logb的不等式，借助y= 例1(1)下列大小关系正确的是 logx的单调性求解，如果a的取值不确定， ( 那么需分a心1与0<a<1两种情况讨论 A.0.43<304<log0.3B.0.43<1og0.3<34 (2)形如1ogx>b的不等式，应先将b C.log0.3<0.43<304D.1og0.3<304<0.4 化为以a为底的对数式的形式，再借助y= (2)比较下列各组中两个值的大小： logx的单调性求解. ①og,与1og子： 4 (3)形如logx>logx的不等式，可利用 9 高中数学必修第二册人教B版 函数图象求解， 例2已知10g7(2x)<10g7(x-1),则x 的取值范围是 分析形如1ogx>logb的不等式，借 助y=logx的单调性求解，如果a的取值不 确定，那么需分a>1与0<a<1两种情况 讨论 反思感悟求值域时，先求中间变量 的取值范围，再利用对数函数的单调性求 B变式训练2 其值域。 已知函数f(x)=log2(x-1)川，若x1<x2, 变式训练③ f八)=f2),则1+L XIX2 若函数f(x)=log2(mx2+4x+8)(m∈R 要点3对数型函数的单调性、最值 且m>0)在区间[-3，+∞)上单调递增， 抓两个要点： 则实数m的取值范围是 (1)单调区间必须是定义域的子集， 例4若f(x)=ln +b是奇函数， (2)若f(x),g(x)的单调性相同，则 则a b= fg(x)]为增函数；若f(x),g(x)的单调性相 分析奇函数的代数特征是f代x)=f代x), 异，则f兀g(x)]为减函数，简称“同增异减”. 几何特征是其图象关于原点对称.因为要 思考判断y=logf(x)的单调性，首先 求的参数有两个，所以利用函数的代数特 要考虑的是定义域，要注意什么条件的限 征，寻找两个关于参数的方程，列方程组 制呢？ 求解 例3求函数y=log1(-2+2x+1)的值域 和单调区间. 变式训练4 分析若f(x),g(x)的单调性相同， 则f几g(x)]为增函数；若f(x),g(x)的单调 设函数x)血1+-，则使得f) 性相异，则g(x)门为减函数，简称“同增 >(2x-1)成立的x的取值范围是() 异减” A},1 B.-,U1,+) c33 D.,, 20)学 第四章指数函数、对数函数与幂函数 例5已知函数fx)=log1(x2-2ar+3). 数学文化 (1)若函数f(x)在[-1，+∞)内有意 我国清代的数学家戴煦(1805一1860) 义，求实数a的取值范围： 发现了多种求对数的解法，著有《对数简 (2)若函数f(x)的值域为(-∞，-1]， 法》(1845)、《续对数简法》(1846)等. 求实数a的值， 1854年，英国的数学家艾约瑟(1825一1905) 分析(1)由题意可知u(x)=x2-2ax+ 看到这些著作后，大为叹服 3>0对x∈[-1，+∞)恒成立，根据二次函 例数学家已经证明：指数函数f(x)= 数的对称性，分a<-1与a≥-1两种情况讨 与对数函数g(x)=logx(>0且a≠1)的图 论，求出a的取值范围. (2)根据题意，先求出u(x)=x2-2ax+3 象当且仅当1<a<e时有两个不同的公共点 的值域，再求a的值。 若对任意的心0，都有e>ln恒成立，则实 b 数b的取值范围是 (注：e是自然 对数的底数) 学(21N 高中数学必修第二册人教B版 1og5t为减函数，1og5(3+2x-x2)≥1og4=-2,即函 数y=log1(3+2x-x2)的值域为[-2，+∞) 变式训练4 A【解析】由图象知，函数为增函数，.a心l. 又当x=0时，-1<logb<0,logm'<logb<logl. 而a>1,.0<a<b<1<a,故选A 数学文化 C【解析】由题意知，f(x)关于=2对称， 「-1og2(2-x),0≤x≤1， 而f(x)= l0g2x,1<x≤2， 且f(0)=f(4)=-1,f(2)=1,∴.在x∈[0,4]，fx), f4-x)及y=-1的图象如图所示. y=1 2 fx) 0 f(x) y=-1 例题答图 .将所围成的图形在x轴下半部分的阴影区域分成 两部分相补到x轴上半部分的阴影区域，可得到图中由x 轴、y轴、=1、=4所围成的矩形的面积，函数yf(x) 在x∈[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的 面积为4.故选C 第2课时对数函数的性质 要点精析 例1(1)C【解析】0<0.41,341,1og0.3<0,故选C (2)解：①方法一：对数函数y=logx在(0，+∞) 上是增函数，且<号，og子e子 方法二：og子0.1og号0.bg子0g号 2.log.3>log.2=1=logs5>log4,.log23>log4. 变式训练1 D【解析】0<x<y<a<1,∴f(x)=logx在(0，+∞) 上为减函数，且0<xy<d2,log(xy)>log2=2,故选D. 例2(1，+o)【解析】函数y=log0t在(0，+∞) 上为减函数，.由1oga.2x<log0.7(x-1), 32 n 2x>0, 得x-1>0,解得>1，即x的取值范围是(1，+∞). 2x>x-1, 变式训练2 1【解析】x<x2,fx)=x),由图象可知，1<< 2<x2. .log2(x1-1)1=log2(x2-1)l,.∴.-1og2(x1-1)=log2(x2-1), -wl,r0rl)l,即xt=,+l 1 X1 X2 以 f(x)=log2(x-1)川 -2-1012345x -1 -2 变式训练2答图 例3解：设仁-x2+2+1,则=-(x-1)2+2. =log1t为减函数，且0<t≤2， ymm=log12=-1,即函数的值域为[-1，+∞). 由-x2+2x+1>0,得1-V2<x<1+V2. 易知t=-x2+2x+1在(1-V2,1]上单调递增，在 (1,1+V2)上单调递减，又y=log1为减函数， 函数y=0g号(-2+2x+1)的单调增区间为(1,1+ V2),单调减区间为(1-V2,1]. 变式训练3 (号，号]【解析】令x)=mr+4+8,对称轴为直 线=-2.y=l1og在(0，+∞）上单调递增，则(x)= m mx2+4x+8在[-3，+∞)上单调递增， 2≤-3， m 解 t(-3)>0, 得me号号引 例4-弓n2【解析】)na++b是奇函数， [f(O)=Inla+1l+6=O, n2)=ia-16=-2=-na*3-b, 解得 16=1n2. 变式训练4 1 A【解析】-x)Hn1+)-1+-xfx),六函 数f(x)为偶函数 当≥0时，)-n1+w)-家，在0，+)上 )=(1+)单调递增，加中也单调递增， 根据单调性的性质知，f(x)在(0，+∞)上单调 递增. 又f(x)为偶函数，f(x)在(-∞，0)上单调递 减，∴.fx)>f(2x-1)→f(lxl)>fI2x-1I)→lx>2x-1→x2(2x- 1)2-3x2-4+1<0=3<<1.故选A 例5解：(1)：函数f(x)在[-1，+∞)内有意义， u(x)=x2-2ax+3>0对xe[-1,+)恒成立. y=u(x)的图象的对称轴为直线x=a,∴.当a<-1时， u(x)mn=u(-1)>0,即 K-1，解得-2<<-1： 2a+4>0, 当a≥-1时，u(x)mm=u(a)=-a㎡2+3>0，即-V3<a< V3,.-1≤a<V3. 综上所述，a的取值范围为(-2，V3). (2)fx)≤-1，∴u(x)=x2-2ax+3的值域为[2，+∞). 又u(x)=(x-a)2+3-d≥3-2，当x=a时，等号成立， ∴(x)m3-2=2,解得a=±1. 数学文化 (日，+【解折】“若对任意的x0,都有e 恒成立”等价于“函数)=e(恒在函数)- logx的上方”，e>e,即b>1 e 。"4.3指数函数与对数函数的关系 要点精析 例1解：()由兮广，得=gy、且0， ..f(x)=logx(x>O). (2)由=x2得，x=±Vy. 参考答案。 :x≤0，x=-Vy,f(x)=-Vx(x≥0). 变式训练1 A【解析】由已知函数解出x,并由x的范围确定原 函数的值域，将x,y互换，得到反函数。 由og1+）得1+-2之，故x=2将，y 1 互换，得P6e2 由x0,得1+>1，可得y>0,故所求反函数为 )20).故选A 例2C【解析】y=d与y=logx的单调性一致，故排除 A,B;当0<a<1时，排除D:当心1时，C正确.故选C. 变式训练2 3【解析】y=f(x)=2+x在x∈[0,2]上单调递增， ∴fx)mf0)=2°+0=1，fx)xf2)=22+2=6,∴y寸fx)=2+x 的值域为[1,6]，y=f(x)的定义域为[1,6] y=f(x)=2+x在x∈[0,2]上单调递增，yf(x) 在[l,6]上单调递增，y=f(x)+f(x)在定义域x∈ [1,2]上单调递增. f(0)=1,.f(1)=0,∴ymmf1)+f(1)=2+1+0=3. 例3解：：点(1,2)在函数(x)的图象上，点 Va+b =2, (2,1)在函数f(x)的图象上，. 解得 V2a+b=1, a=-3, ∴.fx)=V-3x+7. b=7, 变式训练3 C【解析】由g(x)是f(x)的反函数，知f(1)即为 g(x)=1的解. 令1=1+2lgx,解得x=1,∴f1)=1. 又g(1)=1+21gl=1,g(1)+f1)=2.故选C 变式训练4 B【解析】将函数零点视为两个函数图象的交点， 分别画出函数图象，利用数形结合求解. 令x)-21og号*-1=0，可得|logx3月 令ge)=l84*,h)-(3}月 在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，即函数f(x)有 2个零点.故选B. 33