4.5 增长速度的比较-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 4.5增长速度的比较 反思感悟求y=f(x)在[1,2]上的 学习目标 平均变化率分为三步： 1.理解平均变化率的概念。 (1)求自变量的改变量△x=x2x1; 2.了解平均变化率的几何意义 (2)求函数值的改变量△y=f(2)-f(x); 3.会求函数在某点附近的平均变化率， (3)求平均变化率Ay=f)fx) △x 4.通过平均变化率理解指数增长. 尤2一X1 f(x+Ax)-f(x) 要点精析 △x 变式训练1 川要点1平均变化率的比较 函数y=x2在区间[xo,o+△x]上的平 平均变化率实质上是函数值的改变量与 均变化率为k1,在[xo-△x,xo]上的平均 自变量的改变量之比，这也可以理解为自变 变化率为k2,则k1与2的大小关系是 量每增加1个单位，函数值将平均增加 △x () 个单位.因此，可用平均变化率来比较函数 A.h>k2 值变化的快慢. B.k<k2 思考自变量每增加h个单位，函数 C.k=k2 值平均将增加多少个单位呢？ D.与k2的大小关系不确定 例1汽车行驶的路程s和时间t之间 川要点2函数模型增长差异的比较 的函数图象如图4-5-1所示，已知在时间段 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋 [o,t],(t,2],(2,t]上的平均变化 势的比较： 率分别为，2,3，则三者的大小关系为 (用“>”表示). 函数 性质 y=m(a心1) y=loga (a>1) y=x(n>0) 在(0，+o 增函数 增函数 增函数 上的单调性 增长速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳 B 图象的变化 随着x的增大 随着x的增大 因n值的 A 逐渐加快增长 逐渐减慢增长 不同而不同 (0) tt 思考 有人用1.02≈1377.41来形象 图4-5-1 地解释生活哲学，你觉得有道理吗？ 28)学 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 例2四人赛跑，假设他们跑过的路 直快于y 程f(t)(其中=1,2,3,4)和时间t(t>1) D.当x∈(0，+∞)时，y2的增长速度 的函数关系式分别是f(t)=t,(t)=4t,f(t) 有时快于y 1og,f(t)=2,如果他们一直跑下去，那么 数学文化 最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函 数关系式是哪一个？为什么？ 例近年来，面对国内外风险挑战明显 上升的复杂局面，在以习近平同志为核心的党 中央坚强领导下，经济运行总体平稳，发展水 平迈上新台阶，发展质量稳步提升.如图4-5-2 为2020一2024年来全国每年研究与试验发展 (R&D)经费支出的条形图及其增长速度的折 线图，则下面结论中不正确的是() 2020一2024年研究与试验发展(R&D)经费支出及其增长速度 亿元 ■R&D经费支出。比上年增长 40000 30 36130 35000 33357 -25 反思感悟变化率的大小即变化的快 30000 30783 27956 20 慢，变化越快，其图象越陡，越靠近y轴； 2500024393 15 10.1 变化越慢，其图象越缓，越靠近x轴.因此， 20000 146o 10.2 10 8.4 8.3 理解平均变化率离不开数形结合 15000 5 10000 0 2020年2021年2022年2023年2024年 B变式训练2 图4-5-2 (多选题)已知函数y1=x2,y2=2,y3=x, A.2020至2021年R&D的经费支出的 则下列关于这三个函数的描述中，正确的有 增长速度最快 ( B.2023至2024年R&D的经费支出增 A.随着x的逐渐增大，y1的增长速度越 加量为五年中最多 来越快于y2 C.2020至2024年R&D的经费支出逐 B.随着x的逐渐增大，y2的增长速度越 年增加 来越快于y1 D.2020至2024年R&D的经费支出的 C.当x∈(0，+∞)时，y的增长速度一：增长速度先递增后递减 学 29y轴对称，即D正确.故选BD >m4.5增长速度的比较 要点精析 例1>，>，【解析】由题图可知，=s）-(】-k, tu-to 0=)）--kB,s=s）-s=k, t2- t3-t2 .kgo>kan>kov3>> 变式训练1 A【解析】由题意结合函数的解析式有： k=Kxo+At)-fxa)-(xotAx)-(xa)-2vo+Av. △x △x k-f(xo)-f(xAr)-(xa)-(x-Ar)-2vAv, Ax △x 则k1-k2=2△x. △>0，k>k2.故选A 例2解：最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函 数关系式是f4(t)=2. 理由：显然四个函数中，指数函数是增长速度最快 的，故最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函数关 系式是ft)=2 变式训练2 BD【解析】如图，对于y=x2,=2,从负无穷开 始，y1大于2，然后y2大于y1,再然后y再次大于， 最后y2大于y1,再也追不上，故随着x的逐渐增 大，？的增长速度越来越快于y1,A错误，B,D正确； y=x 2=2 Y=x 10 变式训练2答图 对于y=x,y=x,由于y=x的增长速度是不变的 当x∈(0,1)时，y大于，当x∈(1，+∞)时，1大于 y3,y再也追不上y,少的增长速度有时快于，C错误. 故选BD. 参考答案。 数学文化 B【解析】2020至2021年R&D的经费支出的增长 速度是14.6%-10.2%=4.4%，是最快的，故A正确； 2023至2024年R&D的经费支出增加量为36130- 33357=2773(亿元)，2021至2020年R&D的经费支出 增加量为27956-24393=3563（亿元），3563>2773， ∴.2023至2024年R&D的经费支出增加量不是五年中最 多，故B错误； 从条形图可以看出2020至2024年R&D的经费支出 逐年增加，故C正确： 从折线图可知，2020至2024年R&D的经费支出的 增长速度先递增后递减，故D正确.故选B. "4.6函数的应用（二)& 4.7数学建模活动：生长规律的描述 要点精析 例1C【解析】设经过n次过滤，产品达到市场要 求，则×（号广s70即号广≤0由s号s -1g20,即n(1g2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥+le2≈74. 1g3-1g2 故选C. 变式训练1 144=e, A【解析】由题意得 48=e26, 则e=1 31 当x=40℃时，y=en=e2yPe=(兮）×4=16 (h).故选A 例2C【解析】当=1时，=adog3=-3440,=3440 10g(+2).当=7时，y=3440l0g96880,即2024年冬有越 冬白鹤6880只.故选C. 变式训练2 k C【解析】1t)卢1+er可=0.95k, 整理可得e23-3》-19, 两边取自然对数得0.23(t-53)=ln19≈3， 解得t≈66.故选C 例3D【解析】设每月的平均增长率为x,1月产量 为a,则a(1+x)"=ma,1+x=Vm,即x=Vm-1.故 选D. 35