4.3 指数函数与对数函数的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

解得 6=In2. 变式训练4 A【解析】f-x)Hn1+)1+-f),函 数f(x)为偶函数 当x≥0时，f)h1+)中，在(0，+)上 y=(1+)单调递增，y1+ 1，也单调递增。 根据单调性的性质知，f(x)在(0，+∞)上单调 递增. 又f(x)为偶函数，.f(x)在（-∞，0)上单调递 减，∴.fx)>f(2-1)→fx)>f(I2x-ll)→lx>2-1l曰→x2>(2x 1)=3r-4+lk0=号<1.故述A. 例5解：(1)函数f(x)在[-1，+∞)内有意义， ∴.u(x)=x2-2a+3>0对x∈[-1，+∞）恒成立. y=u(x)的图象的对称轴为直线=0，当a<-1时， u(x)m=u(-1)>0,即 -1，解得-2<<-l 2a44>0, 当a≥-1时，u(x)mm=u(a)=-a2+3>0,即-V3<a< V3,.-1≤akV3. 综上所述，a的取值范围为(-2，V3). (2)f(x)≤-1，.u(x)=x2-2ax+3的值域为[2，+∞). 又u(x)=(x-a)P+3-d≥3-a2,当x=a时，等号成立， .u(x)m=3-a22,解得a=±1. 数学文化 (冬，+x【解析】“若对任意的0，都有e> 恒成立”等价于“函数（心y恒在函数）罗 logx的上方”，ee片，即b> e >m4.3指数函数与对数函数的关系 要点精析 例1解：()由)3广得=g4y,且0. ..f(x)=logx(x>0). (2)由y=x2得，=±Vy. 参考答案。 x≤0，∴x=-Vy,∴.f(x)=-Vx(x≥0). 变式训练1 A【解析】由已知函数解出x,并由x的范围确定原 函数的值域，将x,y互换，得到反函数. 由y81+士得1+2，故=2石将x,y 1 互换，得f(x)=2- 1 由x0,得1+>1，可得0，故所求反函数为 f上2(0).故选A 例2C【解析】y=m与y=logx的单调性一致，故排除 A,B;当0<a<1时，排除D;当a>1时，C正确.故选C 变式训练2 3【解析】yf(x)=2+x在x∈[0,2]上单调递增， ∴fx)mf0)=2°+0=1，fx)mmf2)=22+2=6,∴y=fx)=2+x 的值域为[1,6]，y=f1(x)的定义域为[1,6] y=fx)=2+x在xe[0,2]上单调递增，yf(x) 在[1,6]上单调递增，∴yf(x)+f(x)在定义域x∈ [1,2]上单调递增. f(0)=l,f1(1)=0,∴ymf1)+f(1)=2+1+0=3. 例3解：点(1,2)在函数f(x)的图象上，点 [Va+b=2, (2,1)在函数f(x)的图象上， 解得 V2atb =1. a=-3, .fx)=V-3x+7. b=7, 变式训练3 C【解析】由g(x)是f(x)的反函数，知f(1)即为 g(x)=1的解. 令1=1+2gx,解得x=1,∴.f1)=1. 又g(1)=1+2g1=1,g(1)+f1)=2.故选C. 变式训练4 B【解析】将函数零点视为两个函数图象的交点， 分别画出函数图象，利用数形结合求解. 令x)-2log号*1=0，可得|lgx分 令x)oeg*,x宁 在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，即函数f(x)有 2个零点.故选B. 33 N高中数学必修第二册人教B版 y=logx 1 y= 0 变式训练4答图 例4解：(1)设y=fx)=n(Vx+l+x),∴yeR,e= x+V+T,.(e-x)2=(V+T)2,∴.e2-1=2ex,∴x= 是，，) f()的定义坡为R,且∫户)(-)=+ ee-0,f(x)是奇函数。 (2)由(x)gx)=l,得ee.ee=l,e2-e2 2 2 4.设=e产，显然>0，得1-1=4，-41-1=0，解得= 2±V5(负舍)，即e=2+V5,2x=n(2+V5),x= h2+V5) 数学文化 解：易得f(x)=2,对于①， g[fx)]=(2)=(2)=x2≠2，故①不是函数f代x)= log的“Inverse'”函数. 对于②，[fx)]=2=2(x),故②是函数fx) =logx的“Inverse”函数， ●m4.4幂函数 要点精析 例1解：根据幂函数的定义，得m2-m-1=1,解得m=2 或m=-1. 当m=2时，f八x)=x,在(0，+∞)上是增函数，符合 要求；当m=-1时，f(x)=x3,在(0，+∞)上是减函数，不 符合要求.∴.f代x)的解析式为fx)=x. 变式训练1 B【解析】函数f(x)是幂函数，n2+2n-2=1, .n=-3或n=1. 当n=-3时，f(x)=x8在(0，+∞）上是增函数，不 合题意. 当n=1时，f(x)=x2在(0，+∞)上是减函数，成 34 立.故选B. 例2解：设fx)=x“,点(V2,2)在幂函数f代x)的图 象上，∴将(V2,2)代入f)=中，得2=(V2,解 得a=2,则f代x)=x2.同理可求得g(x)=x2 在同一平面直角坐标系中作出函数fx)=x2和g(x)= x2的图象，如图所示： f(x)=x2 g(x)=x g(x）=x2 -10 1 例2答图 观察图象可得： (1)当x=1或=-1时，fx)=g(x)； (2)当-1<<1且x≠0时，fx)<g(x). 变式训练2 -1【解析】f(x)=x为奇函数，∴a可取-1,1,3. 又fx)=在(0，+∞)上单调递减，.a<0,故a=-1. 例3解：(1)函数y=x受在(0，+∞)上为减函数. 3<3.1,32>3.1 (2)y=x8在[0，+∞)上是增函数，0.7<0.8， .0.70.8<0.808 又y=0.8在R上是减函数，0.7<0.8,0.88<0.87 .0.7a8<0.808<0.87,即0.708<0.87 变式训练3 D【解析】(e)-e2,(V2)-8,(33)-9. ·y=x6在(0，+0)上为增函数，且e2<8<9, .0<e<V2<3,即c<a<b.故选D. 数学文化 BD【解析】fx)=x3的定义域为R,在(0，+∞)上 显然单调递增，但f(-x)=-x≠f(x),即f(x)=x不是偶 函数，其图象不关于y轴对称，A排除； f孔x)=x2的定义域为R,在(0，+∞)上显然单调递增， 且f-x)=(-x)2=x2f(x),f(x)=x2是偶函数，图象关于 y轴对称，即B正确； y=x2的定义域为(-0,0)U(0,+∞)，在(0，+0) 上显然单调递减，C排除； f(x)=x的定义域为R,在(0，+∞)上显然单调递 增，且f-x)=-x=f(x),fx)=lx是偶函数，图象关于N 高中数学必修第二册人教B版 4.3 指数函数与 学习目标 1.了解反函数的概念，知道同底的指数 函数和对数函数互为反函数，明确它们图象 之间的对称关系。 2.利用指数、对数函数的图象与性质解 决一些简单问题 要点精析 川要点1求函数的反函数 (1)反函数的概念 一般地，如果在函数yf(x)中，给定值 域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对 应，那么x是y的函数，这个函数称为y= f代x)的反函数，此时，称y(x)存在反函数. (2)反函数的记法 一般地，函数y=f(x)的反函数通常用y= f(x)表示. 思考根据反函数的概念，你能说出 y=(x)与其反函数定义域、值域的关系吗？ 例1求下列函数的反函数. 1}月 (2)y=x2(x≤0). 分析依据反函数的定义，反函数的 ·定义域和值域正好是原函数的值域和定义： 域，求反函数的解析式时要关注定义域. 22)学 对数函数的关系 反思感悟求反函数的一般步骤： (1)对调fx)中的x与y,得到y); (2)从xfy)中解出y,得到yf(x): (3)检查是否需要补充y=∫(x)的定 义域等 B变式训练① 函数f(x)=1og21+1(x>0)的反函数 f(x)=( A2寸a0) B站 (x≠0)》 C.2-1(x∈R) D.2-1(x>0) 要点2指数函数与对数函数图象之间 的关系 (1)指数函数y=d与对数函数y=logx互 为反函数， (2)指数函数y=d与对数函数y=logx的 图象关于直线y=x对称 思考如果y=f(x)是单调函数，那么 它的反函数一定存在.反之，是否成立呢？ 例2已知a>0且a≠1，则函数y=与 y=logx在同一平面直角坐标系内的图象只能 是() k长头 分析互为反函数的两个函数图象关 于直线y=x对称，互为反函数的两个函数在 相应区间上的单调性一致 B变式训练2 已知y=f(x)是yf(x)=2+x,x∈[0,2] 的反函数，则函数yf(x)+f(x)的最小值为 川要点3指数函数与对数函数的综合应用： 解题时，要关注以下知识点： (1)奇函数和偶函数的定义. (2)反函数的求法 (3)指数函数、对数函数的单调性 例3若点(1,2)既在函数fx)=Vax+b 的图象上，又在其反函数(x)的图象上，试 确定fx)的解析式， 分析由于互为反函数的两个函数图 象关于y=x对称，因而当点(1,2)在反函 数图象上时，点(2,1)必在原函数图象上 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 反思感悟若函数y=f(x)的图象上有 一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的 图象上；反之，若点(b,a)在其反函数图 象上，则点(a,b)必在yf(x)的图象上. P变式训练3 已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+2lgx (x>0),则f1)+g(1)=() A.0 B.1C.2 D.4 B变式训练④ 函数f(x)=21og号x-1的零点个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 例4已知f(x)=ln(Vx2+1+x),g(x)= e*te* 2 (1)求f(x)的解析式，并判断它的奇 偶性； (2)若f(x)g(x)=1,求x的值. 学（23 N 高中数学必修第二册人教B版 数学文化 当今中学数学教材是先讲“指数”，后 以反函数形式引出“对数”的概念.但在历 史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数， 因为当时尚未区分指数及无理指数的明确概 念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示 对数的建议.1742年，J.威廉(1675一1749) 在给G.威廉的《对数表》所写的前言中提 出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无 穷小分析引论》(1748)中明确提出对数函 数是指数函数的逆函数，和现在教材中的提 法一致. (24)学 例设函数f代x)的反函数为f(x),若存 在函数g(x)使得对函数f(x)定义域内的任意 x都有g[f(x)]=f(x),则称函数g(x)为函数 f(x)的“Inverse”函数.判断下列哪个函数 是函数f(x)=logx的“Inverse”函数并说明 理由 ①g1(x)=(22)'；②g2(x)=22.