精品解析：吉林省松原市前郭县2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试题

九年级第一次月考试卷数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的根是______． 8. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 9. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 10. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则k值为______． 11. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是______（填序号）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用公式法解方程． 13. 用配方法解方程：． 14. 已知二次函数． （1）将其化为的形式； （2）直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 15. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 16. 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）若点在此抛物线上，直接写出n的值． 17. 为了解决初中生画图慢和画图不准确的问题，某企业设计生产了A、B两款初中生专用画图套尺并投入市场销售．4月共销售了5万套，6月共销售了7.2万套．求该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率． 18. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，y的取值范围为______． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 20. 如图，抛物线经过点，与y轴交于点N． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若点P是抛物线上一动点，且，求点P的坐标． 21. 个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． （1）设涨价x元，则每天的销售量为______斤； （2）请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过原点O和点．点P是抛物线上的点，其横坐标为m，点Q的坐标为．连接PQ、PO、QO． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）当时，求的面积； （3）求m为何值时，线段的长为2； （4）当该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次月考试卷数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析选项。 【详解】解：选项A：方程中未知数x的次数为1，属于一元一次方程，故不符合题意； 选项B：方程中含有两个未知数x和y，属于二元二次方程，不符合“一元”的条件，故不符合题意； 选项C：方程的右边含有分式，不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； 选项D：方程中只含有一个未知数x，且最高次数为2，移项后，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 5. 已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧根据性质进行比较大小． 首先找到抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧，根据抛物线的性质判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 抛物线的对称轴为 ， 根据对称性可得点的对称点为 ， ∵ ， ∴当 时，y随x增大而减小， ∵ ， ∴ ， 故选C． 6. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则6个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 则根据题意，可列方程为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．根据则或，即可解题． 【详解】解：， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 8. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】（或） 【解析】 【详解】根据平移规律“左加右减”可得把抛物线向左平移1个单位后所得的抛物线的解析式为，按照平移规律“上加下减”可得把抛物线向上平移3个单位后所得的抛物线解析式为，也可写为． 9. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则k值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义、常数项概念可得，求解即可求得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 11. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用数形结合思想得图象开口向上，图象与轴的交点坐标为，则，，因为抛物线关于对称，则，整理得，结合对称性得抛物线与轴的另一个交点坐标为，把代入，得，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，开口向上， ∴， 故①符合题意； 观察函数图象得抛物线与轴的交点坐标为， ∴， 故②符合题意； ∵抛物线关于对称， ∴ ∴ ∴ 故③符合题意； 观察函数图象得抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线关于对称， ∴ 即抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把代入，得， 即 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用公式法解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先找出a，b，c，求出的值，再代入求根公式求得答案即可． 【详解】 ∵，，， ∴， ∴． 即，． 13. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，． 14. 已知二次函数． （1）将其化为的形式； （2）直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴是直线，顶点坐标是 【解析】 【分析】本题考查了把一般式化为顶点式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据把二次函数的一般式化为顶点式的过程进行作答即可； （2）结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 15. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可． 【详解】∵是方程有一个根， ∴， ∴ 当时，原方程为， 解得，． ∴，方程的另一个根为． 16. 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）若点在此抛物线上，直接写出n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义以及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式； （2）将代入解析式即可求解. 【小问1详解】 解：∵是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）， 答: 【小问2详解】 由可得：二次函数的解析式为， 当时，， 即 17. 为了解决初中生画图慢和画图不准确的问题，某企业设计生产了A、B两款初中生专用画图套尺并投入市场销售．4月共销售了5万套，6月共销售了7.2万套．求该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（平均增长率问题），熟练掌握平均增长率的模型构建是解题的关键． 根据平均月增长率的模型，设增长率为，利用4月销量和平均月增长率表示出6月销量，列方程求解． 【详解】设该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率为x，由题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率为． 18. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，y的取值范围为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设二次函数的解析式为，再结合二次函数的图象经过点，顶点坐标为，进行列式计算，即可作答． （2）结合函数图象的开口向上，顶点坐标为，得的最小值为，再分别算出把代入，得，把代入，得，即可作答． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴， 依题意，把代入，得， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则函数图象的开口向上， ∵顶点坐标为． ∴的最小值为， 把代入，得， 把代入，得， 则当时，y的取值范围为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得，计算即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意：，即， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得，即， 解得：． 20. 如图，抛物线经过点，与y轴交于点N． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若点P是抛物线上一动点，且，求点P的坐标． 【答案】（1），顶点坐标是 （2）、、 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，把代入，求出，再根据函数解析式配成顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2））先求出可得线段，且 是一条水平线，再根据三角形面积可得，求出点的纵坐标，再结合解析式求出横坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意：， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值， 当时，，即：点， 又∵点， ∴， 设点，由得 ， 解得：，， 当时，即，解得：，， 当时，即，解得：， 综上所述：点P坐标为：或或． 21. 个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． （1）设涨价x元，则每天的销售量为______斤； （2）请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 【答案】（1） （2）售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式． （1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可； （2）根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为斤， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 当时，售价为元，元，，符合题意； 当时，售价为元，元，，不符合题意； ∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过原点O和点．点P是抛物线上的点，其横坐标为m，点Q的坐标为．连接PQ、PO、QO． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）当时，求的面积； （3）求m为何值时，线段的长为2； （4）当该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3），，， （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，可得，，由此可得，再根据三角形面积公式即可求解； 分别求有一条边与轴重合，可知与轴重合，则，即可求的值； （3）根据，解方程即可； （4）根据当该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，点在对称轴右侧，而且点在点上方，列不等式组即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和原点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 点在抛物线上，其横坐标为， ， 又∵点Q的坐标为．即 ∴轴， ， ∴． 【小问3详解】 点在抛物线上，其横坐标为， ， 又∵点Q的坐标为， ∴， ∵，即， 解得：，，，． 【小问4详解】 ∵该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时， 如图所示，点在对称轴右侧，而且点在点上方， ，即： 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $