专题06 相似三角形重难点题型汇编(八大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题06 相似三角形重难点题型汇编 【考点01：比例的性质】................................................................................................................1 【考点02：黄金分割】...................................................................................................................1 【考点03：平行线分线段成比例】...............................................................................................2 【考点04：相似多边形】...............................................................................................................4 【考点05：相似三角形的性质】..............................................................................................4 【考点06：相似三角形的判定】...................................................................................................7 【考点07：相似三角形的性质与判定】.................................................................................8 【考点08：相似三角形的应用】...............................................................................................10 【考点09：位似变换】...................................................................................................................14 【考点01：比例的性质】 1．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是 ． 【考点02：黄金分割】 1．如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 4．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【考点03：平行线分线段成比例】 1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 2．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，若， ，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知在中，点、、分别是边上的点，，且，那么等于（　　） A． B． C． D． 5.如图，在中，D为边上一点，E为线段上一点，延长交于点F．若，则 ．    【考点04：相似多边形】 1．下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 2.下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形矩形，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 5．如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 【考点05：相似三角形的性质】 1．如图，中，，，M是上一点，且，平分，过M作交于F，则（ ） A．3 B． C．4 D． 2．如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 3．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，．若，，则 ． 【考点06：相似三角形的判定】 1．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． 3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【考点07：相似三角形的性质与判定】 1．如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，． (1)求证：； (2)当时，求证： 2．如图，点、分别在的边、上，且． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 3．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 4．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 5．如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 6．如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的长． 7．如图，在中，，是边的中线，过点作，连接交于，交于，点恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求的面积． 【考点08：相似三角形的应用】 1．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 3．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 4．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 5．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 6．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 7．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【考点09：位似变换】 1．与是位似图形，且与的位似比为，已知的周长是2，则的周长是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 3．如图，矩形的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B，的坐标分别为，，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 6．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； (2)直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 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【考点09：位似变换】...................................................................................................................38 【考点01：比例的性质】 1．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形不正确，故本选项符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 故选：． 2．已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故选项正确，符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 3．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．先利用比例的内项之积等于外项之积得到，然后把代入代数式中进行分式的计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 【考点02：黄金分割】 1．如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 2．如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 3．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 4．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 【考点03：平行线分线段成比例】 1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 解得：， 故选：A． 3．如图，在中，若， ，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据得到，根据平行线分线段成比例得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4．如图，已知在中，点、、分别是边上的点，，且，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由，得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ． 故选：A． 5.如图，在中，D为边上一点，E为线段上一点，延长交于点F．若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握作出辅助线是解题的关键．过点C作交的延长线于点G，根据平行线分线段成比例得到，根据得出，等量代换即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，    则 ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 【考点04：相似多边形】 1．下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 2.下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似形的定义：形状相同的图形称为相似形．根据相似图形的定义可知． 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如图，矩形矩形，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，即， 整理得，， ， ∵， ∴， 故选：D． 4．一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 【答案】240 【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为，由此即可解决问题． 【详解】解：长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为， 按放大后得到的图形的面积， 故答案为：240． 5．如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得． 故答案为：15． 【考点05：相似三角形的性质】 1．如图，中，，，M是上一点，且，平分，过M作交于F，则（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题．可通过作辅助线，即延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ， ， 又 ， ， ，， 又，， ， ，， ， ， 故选：C． 2．如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 4．如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．设，则，证明，则，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：由，可以设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴和的周长比为． 故选：A． 6．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平行四边形的性质先说明、，再利用相似三角形的性质求出、、的面积，最后利用面积的和差关系得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ，． ， ，， ， ． 故选：B． 7．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 8．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得到，，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9．如图，在中，．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 【考点06：相似三角形的判定】 1．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以A选项中的三角形与相似． 故选：A． 2．如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，与有公共角，根据有夹这个角的两边对应成比例，三角形相似，逐项判断即可的解． 【详解】解：， A、当时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； B、当，即时，是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意； C、时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； D、当，即，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； 故选：B． 3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 4．如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：在和中， A. 若，则有，又由，由两组对应边成比例，且夹角对应相等的两三角形相似，故不符合题意； B. ∵， ∴， ∵ ∴，故选项符合题意； C. ，，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； D. ，又由，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； 故选：B． 5．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 【考点07：相似三角形的性质与判定】 1．如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，． (1)求证：； (2)当时，求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由是边上的中线，得，由，证明，得，所以，因为，所以； （2）由，得，而，所以，因为，所以，则，由，得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 2．如图，点、分别在的边、上，且． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明； （2）根据可得，根据题中条件代入求解即可． 【详解】（1）， ，， ． （2）， ， 由，， 可得，即， ， ． 3．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴． 6．如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，勾股定理，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）根据，，通过导角证明，进而得出，结合四边形为平行四边形，可得四边形是矩形． （2）先证得．设，则，在中，由得到，由，得，在中得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ． 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ，， ， ，即， ． 在中，． 7．如图，在中，，是边的中线，过点作，连接交于，交于，点恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由，点为中点，证，得，，再证，则四边形是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，进而得，再证，得，，设，则，进而解直角三角形得，，，然后求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是边的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【考点08：相似三角形的应用】 1．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：D． 3．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 4．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图，    ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． ∴这棵树的高度为米． 5．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，跨学科物理学知识，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示：    ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示：    ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 6．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 7．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 【考点09：位似变换】 1．与是位似图形，且与的位似比为，已知的周长是2，则的周长是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可得与的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵与的位似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长是2， ∴的周长是4． 故选：C 2．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似的定义及性质． 根据位似的性质直接判断即可. 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ∴，、、三点在同一条直线上，，， ∴选项不符合题意， 故选：． 3．如图，矩形的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．由矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形与矩形的位似比为，又由点B的坐标为，即可求得答案． 【详解】解：矩形的顶点O在坐标原点，，， 可得：， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， 点B的对应点的坐标是：或 故选：D 4．如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B，的坐标分别为，，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故选：A 5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之比为， 故答案为：． 6．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； (2)直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了画位似图形及求对应点坐标．画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）延长到，使，延长到，使，连接，则即为所求． （2）根据（1）中图象写出点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵B，C两点的坐标分别为、， ∴，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $