第二章 一元二次方程（知识串讲+知识梳理+真题训练）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

第二章 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的相关概念 【考点02】一元二次方程的解 【考点03】解一元二次方程 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 【考点07】变化率问题 【考点08】传播问题 【考点09】树枝分叉问题 【考点10】单循环和双循环问题 【考点11】销售利润与一次函数综合问题 【考点12】销售利润每每问题 【考点13】几何图形问题 【考点14】几何中动点问题 【知识点1】一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 【知识点2】一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 【知识点3】一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【知识点4】 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【知识点5】 解一元二次方程 1.直接开方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【知识点6】 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【知识点7】一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【解题技巧】 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【知识点8】一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2） 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的相关概念 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 3．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点02】一元二次方程的解 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【考点03】解一元二次方程 1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）解方程： 2．（22-23九年级上·全国·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 3．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）按要求解方程： (1)公式法：； (2)因式分解法： 4．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）解下列方程： (1) (2)； (3)； (4)． 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 1．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 2．（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 3．（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 4．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 3．（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【考点07】变化率问题 1．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 4．（2025·辽宁大连·一模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该社区年至年投入资金的增长率； (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 【考点08】传播问题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（      ） A． B． C． D． 【考点09】树枝分叉问题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【考点10】单循环和双循环问题 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 3．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 【考点11】销售利润与一次函数综合问题 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 3．（2025·湖南常德·三模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价（元） 销售量（件） (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【考点12】销售利润每每问题 1．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变. (1)求2，3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 3．（24-25九年级上·贵州·期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． (1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件； (2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； (3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 4．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？ 【考点13】几何图形问题 1．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． (1)求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； (2)当长为时，求矩形场地的面积． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 4．（2024九年级下·广东潮州·学业考试）一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行于住房墙的一边一扇2米宽的门． (1)设矩形猪舍的一边的长为x米，则另一边长为 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的矩形猪舍的面积为160平方米，求的长． 【考点14】几何中动点问题 1．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的相关概念 【考点02】一元二次方程的解 【考点03】解一元二次方程 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 【考点07】变化率问题 【考点08】传播问题 【考点09】树枝分叉问题 【考点10】单循环和双循环问题 【考点11】销售利润与一次函数综合问题 【考点12】销售利润每每问题 【考点13】几何图形问题 【考点14】几何中动点问题 【知识点1】一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 【知识点2】一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 【知识点3】一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【知识点4】 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【知识点5】 解一元二次方程 1.直接开方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【知识点6】 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【知识点7】一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【解题技巧】 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【知识点8】一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2） 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的相关概念 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，，的值分别为3，2，． 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【考点02】一元二次方程的解 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键．由一元二次方程的根的定义可得，整体代入即可得到答案． 【详解】解： 是方程的一个根， ， ， 代数式的值为2025． 故答案为：2025． 【考点03】解一元二次方程 1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）解方程： 【答案】； 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法直接求解即可． 【详解】解： 或 或. 2．（22-23九年级上·全国·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可； （3）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 开方，得， 解得，． （2）解： ∵，，， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （3）解：， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 3．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）按要求解方程： (1)公式法：； (2)因式分解法： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解决问题的关键． （1）用求根公式解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项得，再利用直接开平方法求解； （2）利用配方法解方程； （3）利用公式法解方程； （4）先提公因式，利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，； （3）解：， ， ∴， ∴，； （4）解：， ， ∴或， ∴，． 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 1．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把代入方程求出的值，再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 3．（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据定义运算得到，得到，得出方程没有实数根，即可得到答案． 【详解】解：根据定义运算得， ， 方程没有实数根， 故选：C ． 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系．根据题意得出且，即且，求解即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， ∴且． 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 则，且 解得且 故选：D 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 4．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有 方程有两实根， 方程有两不等实根， 方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． （2）， ， 方程有一根为正数，     ，   ． 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键． 先对进行变形得，利用一元二次方程的根与系数的关系得、，后整体代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，， ． 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 【考点07】变化率问题 1．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量为：，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为， 则三月份的销量为：， 则根据题意有： ， 故选：D 2．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 【答案】 【分析】设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的解法是解题的关键． 【详解】解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为． 4．（2025·辽宁大连·一模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该社区年至年投入资金的增长率； (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 【答案】(1)该社区年至年投入资金的增长率为 (2)该社区在年投入资金万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该社区年至年投入资金的增长率为，根据题意列方程即可求解； （2）用万元乘以年投入资金的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：设该社区年至年投入资金的增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）； 答：该社区年至年投入资金的增长率为； （2）（万元）， 答：该社区在2025年投入资金3.456万元． 【考点08】传播问题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染x人．初始有2人患病，第一轮传染后总人数为，第二轮传染后总人数为，根据题意，两轮后总患者数为162，由此建立方程． 【详解】解：第一轮传染：初始2人，每人传染x人，新增人．总患者数为． 第二轮传染：此时有人，每人再传染x人，新增人．总患者数为． 根据题意，两轮后总患者数为162，因此方程为：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 即：， 故选：B． 【考点09】树枝分叉问题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，准确理解题意是解题的关键．设这种植物每个支干长出x个小分支，根据每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，列方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列一元二次方程和解一元二次方程， 根据已知求得主干、支干和小分支的数量，再结合总数为91即可列出方程； 移项化简，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，主干、支干和小分支分别为1，x和，则； （2）解：，化简为， 解得，（舍去）， 故． 【考点10】单循环和双循环问题 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送人数与接收人数列方程即可． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向个人发送短信， 则， 故答案为： 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【考点11】销售利润与一次函数综合问题 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可． 【详解】（1）解：设， 由题意，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 【答案】(1) (2)当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 把点和代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得． 解得，． ∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴． ∴不符合题意，舍去． 答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元． 3．（2025·湖南常德·三模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价（元） 销售量（件） (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练根据题意列出相关式子． （1）根据给出，的值，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设销售单价定为元，则单件利润为元，销售量为件，利用“每天想获得元的利润”列式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设销售单价定为元，则每天销售量为件， 根据题意得：， 解得：，， 所以，应将销售单价定为或元． 【考点12】销售利润每每问题 1．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变. (1)求2，3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 3．（24-25九年级上·贵州·期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． (1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件； (2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； (3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 【答案】(1)105 (2) (3)90元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，列式化简得，结合成本价以及该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，得出自变量的取值范围，即可作答． （3）结合电商每天可盈利1200元，进行列出一元二次方程，再解得，然后进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设当产品售价为元/件时，销售量为30件， 依题意，得， 解得， 即当销售量为30件时，产品售价为105元/件； （2）解：依题意，， ∵已知该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． ∴， ∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为． （3）解：该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利1200元， 由（2）得， 则， 整理得， ∴， 整理得， 解得， ∵为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． ∴（舍去） 即该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利1200元． 4．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？ 【答案】(1)元 (2)房价定为300元或320元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程． （1）根据利润房价的净利润入住的房间数可得； （2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得． 【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为： （元）； （2）设每个房间的定价为a元， 根据题意，得：， 解得：或． 答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元． 【考点13】几何图形问题 1．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． (1)求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； (2)当长为时，求矩形场地的面积． 【答案】(1)， (2)当长为时，矩形场地的面积为 【分析】此题主要考查了二次函数的关系式的确定和求函数值，关键是根据长方形的面积公式列出函数关系式． （1）先利用长方形的面积公式列出二次函数关系式即可； （2）当时，代入二次函数关系式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：当时，， 答：当长为时，矩形场地的面积为． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)这两条道路的面积分别是和； (2)原来矩形的长为28米，宽为14米． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键． （1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积； （2）根据题意四块草坪的面积之和为这一等量关系建立方程进行分析计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知这两条道路的面积分别是和； （2）解：∵， ∴， 根据题意得：， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（米） 答：原来矩形的长为28米，宽为14米． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 4．（2024九年级下·广东潮州·学业考试）一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行于住房墙的一边一扇2米宽的门． (1)设矩形猪舍的一边的长为x米，则另一边长为 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的矩形猪舍的面积为160平方米，求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）设，则，解答即可； （2）根据题意，得，解方程解答即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， 故答案为：． （2）解：∵矩形场地面积为， ∴， 即， 解得：，， 当时，，，符合题意， 当时，，，舍去， 故当时，成立， 答：的长为10米． 【考点14】几何中动点问题 1．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． （1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可； （2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作交于点，则， 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 解得：， 当时，点P、Q之间的距离为． （2）解：①若，作交于点，则， 由题意得，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，， 或； ②若， ， 四边形是矩形， ，， ， 由①得，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ； 综上所述，当或或时，为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $