专题07 相似三角形常考五大模型-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题07 相似三角形常考五大模型 【模型01：(双)A字型相似】....................................................................................................1 【模型02：(双)8型相似】......................................................................................................4 【模型03：母子型相似】.......................................................................................................7 【模型04：旋转相似】...........................................................................................................8 【模型05：K字型相似】........................................................................................................12 【模型01：(双)A字型相似】 1．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 2．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 3．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 4．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 6．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为，求AP的长． 【模型02：(双)8型相似】 1．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 2．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 3．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 5．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【模型03：母子型相似】 1．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 2．如图，已知中，，，点在边上（点与点、不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点． (1)如果，求的长； (2)当是等腰三角形时，求的长． 3．如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． 4.（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 【模型04：旋转相似】 1．在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片和来探究图形旋转的性质，先将顶点固定，然后使矩形纸片绕点C旋转．已知，，，，，分别是矩形和的对角线，连接，． 【尝试初探】 （1）如图1，在矩形纸片的旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当的中点恰好在的延长线上时，交于点，交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）当时，请直接写出的面积． 2．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 3．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 4．【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 5．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 6．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 7．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【模型05：K字型相似】 1．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 5．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形常考五大模型 【模型01：(双)A字型相似】....................................................................................................1 【模型02：(双)8型相似】......................................................................................................10 【模型03：母子型相似】.......................................................................................................25 【模型04：旋转相似】.........................................................................................................32 【模型05：K字型相似】........................................................................................................52 【模型01：(双)A字型相似】 1．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②7 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 3．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 【答案】(1)两路灯的距离为 (2)当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，再证明，利用相似比可得，则，解得； （2）如图2，他在路灯A下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ， ， ，即， ，而， ∴， ∴． 答：两路灯的距离为； （2）解：如图2，他在路灯A下的影子为， ， ， ∴，即， 解得． 答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是． 4．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为，求AP的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论； （2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC，PB，求得AP 【详解】解：（1）连接OC， ∵AC平分∠EAP， ∴∠DAC＝∠OAC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AE∥OC， ∴∠E＝∠OCP＝90°， ∵OC是圆O的半径 ∴PE是⊙O的切线； （2）∵PB：PC＝1：2， ∴设PB＝x，PC＝2x， ∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2， ∴x， ∴PC，PB， ∴AP， 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟记切线的判定是解题的关键． 【模型02：(双)8型相似】 1．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)或，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得． （3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积． 【详解】（1）解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， （2）解：， 理由：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，（可作结论） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 【答案】（1）75，；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出即可求解； （2）过点B作交AC于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，再在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）如图2中，过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵∠，， ∴， ∴； 故答案为：75， ． 在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 （2）如图3中，过点B作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在中， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 5．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵AC=AB， ∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 【模型03：母子型相似】 1．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 2．如图，已知中，，，点在边上（点与点、不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点． (1)如果，求的长； (2)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)3 (2)5或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，分情况讨论是关键． （1）由得到，然后由得到，进而利用，得到，然后得证，从而得到的长； （2）分类讨论，①，②，③，然后利用相似三角形的性质进 【详解】（1）解：， ， ，， ， ，， ， ， ∴， ． （2）①如图1，当时，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ②如图2，当时，， ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：或（舍， ， ③如图3，当时，， ，， ， ， ， ，矛盾，舍去， 综上所述，的长为5或． 3．如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度． （1）连接，由，D为中点，得，因为于点E，所以，证明，所以，则； （2）因为，，所以，由勾股定理得，由，求得． 【详解】（1）证明：连接， ，D为中点， ， 于点E， ， ， ， ， ； （2）解：，， ∴， ， ， ， ， ， 的长是． 4.（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，得到，得出； （2）由平行四边形的性质得出，证明，得出，求出，进而求出； （3）连接，证明，得出，即，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ， ， ； （3）解：连接， ∵四边形为菱形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，负值舍去， ， ， ， ∴为直角三角形，， ， ∴在中根据勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 【模型04：旋转相似】 1．在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片和来探究图形旋转的性质，先将顶点固定，然后使矩形纸片绕点C旋转．已知，，，，，分别是矩形和的对角线，连接，． 【尝试初探】 （1）如图1，在矩形纸片的旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当的中点恰好在的延长线上时，交于点，交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质证明即可得出结论； （2）连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，设，则，利用勾股定理求得值；利用等腰三角形的判定与性质和平行线的判定定理得到，则，求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：画出符合题意的图形，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形和四边形为矩形，，，，， ， ． ，， ， ， ． ，， ， ， ； （2）连接，如图， 为的中点， ， 的中点恰好在的延长线上， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． （3）的面积为或．理由如下： ①连接，，过点作于点，如图， ， ， ， 由（1）知：， ． 设，则， ， ， ． ， 的面积； ②连接，，过点作于点，如图， ， ， ， ． 由（1）知：， ， 的面积． 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 3．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 4．【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 【答案】（1）2；（2）点到的距离不变，仍是2，见解析；（3）的长为或 【分析】（1）利用正方形的性质证明，由全等三角形的性质得出，由三线合一的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）将顺时针旋转至的位置，由旋转的性质和正方形的性质证明，由全等三角形的性质即可得出答案． （3）由正方形的性质进一步证明，由相似三角形的性质得出，再根据情况分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴， 即点到的距离是2． （2）点到的距离不变，仍是2． 理由如下： 如图，将顺时针旋转至的位置． ． ， ． ． ， ． 点到的距离为2， 点到的距离为2． （3）四边形是正方形，边长为2， ，． ， ． ． ． ． 由题意可知点是边的三等分点． 当时，； 当时，． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 5．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，则有，，所以，证明，根据相似三角形的性质得出，然后根据即可求解； （）过作，交于点，则有，由性质得，又为的中点，得出，同理证明，由，则，然后代入即可求解； （）根据相似三角形的性质和面积和差即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， 由（）知：即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 6．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1），． ， ， ，即， ； （2）①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①当时，连结，矩形和矩形都是正方形，可证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； ②连结，根据勾股定理可求得，，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （2）当，时，根据（1）的方法，同样可求得，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （3）分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结，根据勾股定理，可求得，，即得答案； ②点N在矩形外部时，连结，同理可求得另一个答案． 【详解】解：（1）①当时，如图，，，连结， 则矩形和矩形都是正方形， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； 故答案为：； ②连结， 当时， ，， 在中，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； （2）当，时， 由（1）可知，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）当，，，且矩形旋转至三点共线时，分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结， ，，，， ，，， 在中，， 在中，， ； ②点N在矩形外部时，连结， 由①知，，， ； 由①②可知，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据图形运动过程中画出符合题意的图形是解题的关键． 【模型05：K字型相似】 1．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)时，时，时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； 如图2，延长交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），，理由如下： 如图3，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图4，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）知，， ， 即， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键． 5．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $