专题03 相似三角形（期中复习讲义）九年级数学上学期湘教版

专题03 相似三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平行线分线段成比例 1. 能运用平行线截得的比例线段解题。 2. 会构造平行线转化比例关系。 1. 常出现在综合题中（30%），与相似三角形结合考查。 2. 易错点：比例线段对应错误（如AD/DB≠AE/EC）。 相似三角形的性质 1. 理解对应边成比例、对应角相等。 2. 掌握相似比与面积比的关系（面积比=相似比的平方）。 1. 常与几何计算结合（如求线段长度或面积）。 2. 易错点：忽略相似比的顺序（如△ABC∽△DEF时，AB/DE=BC/EF）。 相似三角形的判定 1. 掌握五种判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线截比例）。 2. 能根据图形特征选择最优判定方法。 1. 高频考点（80%概率出现），常以选择题、证明题形式考查。 2. 易错点：混淆判定条件（如误用SSA）。 相似三角形的实际应用 1. 解决测量问题（如影长测高、镜面反射）。 2. 建立相似模型解决工程或比例问题。 1. 压轴题常见（10%），侧重数学建模能力。 2. 易错点：单位不统一或实际意义忽略（如高度为负值）。 位似图形与位似变换 1. 理解位似的定义（形状相同、对应点连线交于一点）。 2. 能根据位似比作图或计算坐标。 1. 选择题或作图题（20%），中考偶有考查。 2. 易错点：位似中心位置判断错误（如内外位似混淆）。 知识点01 比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 示例：已知线段a=2cm，b=4cm，c=3cm，d=6cm，验证是否成比例： ∵ a/b=2/4=1/2，c/d=3/6=1/2 ∴ a/b=c/d 易错点：混淆比例顺序（如a/b≠b/a）或单位不统一时直接比较。 知识点02 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 示例：如图，若DE∥BC，则有 易错点：对应线段写错（如误用AD/AB=AE/AC）。 知识点3 相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点4 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 示例：判定△ABC∽△DEF： ① 若∠A=∠D且∠B=∠E（AA） ② 若AB/DE=AC/DF且∠A=∠D（SAS） ③ 若AB/DE=BC/EF=AC/DF（SSS） △ABC∽△DEF，相似比k=2，AB=6，则DE=3； 面积比为k²=4，若S△ABC=16，则S△DEF=4 易错点：误用SSA判定或忽略角相等条件。混淆相似比与面积比（面积比是k²，非k）。 知识点5 位似 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 示例：以O为位似中心，将△ABC放大2倍： 连接OA、OB、OC并延长至A'、B'、C'，使OA'/OA=2，OB'/OB=2，OC'/OC=2 易错点：位似中心位置判断错误（内外位似混淆）或缩放方向画反。 题型一 平行线分线段成比例综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 当题目中出现平行线与三角形或多边形相交时，优先考虑平行线分线段成比例定理（基本定理或推论）。 怎么做？ 标注已知比例线段，确定对应关系。 若需构造辅助线，通常过关键点作平行线。 列比例式时，确保分子分母对应同一组平行线截得的线段。 易｜错｜点｜拨 错误比例对应：如误用 AD/AB = AE/AC（正确应为 AD/DB = AE/EC）。 忽略分类讨论：当图形未明确平行线位置时，需考虑多解可能。 【典例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，点，分别在，上，，，、交于点，若，则的长为 ． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，点是内一点，且． (1)求证：； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． ①依题意补全图形； ②若点恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【变式3】（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 题型二 相似三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 判定相似：优先选择AA（两角相等），其次SAS（两边成比例且夹角相等）。 性质应用：相似比=对应边之比，面积比=相似比的平方。 怎么做？ 通过角度或边长关系证明相似。 利用相似比转化线段长度或面积。 易｜错｜点｜拨 误用SSA判定：未验证夹角相等导致错误。 相似比顺序错误：如△ABC∽△DEF时，误认为 AB/DE = BC/DF（需对应边一致）。 【典例1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在等边中，点是边上的一个动点(不与点重合)，以为边作等边，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【变式2】（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在线段、线段上的点，连接交于点N，过F作于点M，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 题型三 位似变换与坐标系 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 位似图形需满足：对应点连线交于一点（位似中心），且对应边平行。 坐标系中位似：以原点为中心时，缩放后坐标按比例变化（k>0同侧，k<0异侧）。 怎么做？ 确定位似中心和比例k。 根据k值缩放图形或计算坐标。 易｜错｜点｜拨 内外位似混淆：未区分同侧放大（k>0）与异侧缩小（k<0）。 忽略负比例：k=-1时，图形关于位似中心对称，坐标需变号。 【典例1】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． (1)平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； (2)将绕点旋转得到，请在图中画出； (3)将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； (4)求四边形的面积． 【变式2】（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知在平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F，交x轴于点D，若，求的长； (2)如图2，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，点F为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，试判断线段、、之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若，，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 动态几何与相似 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，相似三角形常用于转化比例关系。 怎么做？ 设时间为t，表示动点位置及线段长度。 利用相似比建立方程，注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何约束：如三角形两边和大于第三边，需检验解的合理性。 漏解：未考虑多解情况（如点P在两侧位置不同）。 【典例1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【典例2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图①，在矩形中，，，，分别是、中点，连接，点从点出发，沿线段方向匀速运动（不与、两点重合），速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动，连接设运动时间为，解答下列问题： (1)求证：； (2)当点在线段上运动时，若的面积为，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 【变式1】（23-24九年级上·全国·期中）在中， ，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作，垂足为E，以为一边在右侧作矩形，点F在边上，且，连接，设运动时间为t(秒)，矩形与重叠部分面积为S． (1)当时，求t的值． (2)当点D在边上运动时，求S与t的函数关系式． (3)当的面积为6时，直接写出t的值． 【变式2】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，在中是上一动点（不与、重合），过构造矩形，使在上，在上． (1)求证：点在运动过程中，； (2)连结，当四边形是平行四边形时，求的长度； (3)当与的面积和为时，求的长度． 【变式3】（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 5．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 6．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．如图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______（填选项）； A．     B． (2)证明（1）中猜想的正确性． 7．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 8．如图，平分，为中点，，求证：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 2．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 5．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 6．如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处（即米），测得自己影子的长为2米，已知小明的身高米，图中、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上数据求路灯的高度． 7．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 8．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．如图，点的坐标分别为，点C是反比例函数图像上一点，，AC交y轴于点D，，则k的值为 4．如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 5．有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平行线分线段成比例 1. 能运用平行线截得的比例线段解题。 2. 会构造平行线转化比例关系。 1. 常出现在综合题中（30%），与相似三角形结合考查。 2. 易错点：比例线段对应错误（如AD/DB≠AE/EC）。 相似三角形的性质 1. 理解对应边成比例、对应角相等。 2. 掌握相似比与面积比的关系（面积比=相似比的平方）。 1. 常与几何计算结合（如求线段长度或面积）。 2. 易错点：忽略相似比的顺序（如△ABC∽△DEF时，AB/DE=BC/EF）。 相似三角形的判定 1. 掌握五种判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线截比例）。 2. 能根据图形特征选择最优判定方法。 1. 高频考点（80%概率出现），常以选择题、证明题形式考查。 2. 易错点：混淆判定条件（如误用SSA）。 相似三角形的实际应用 1. 解决测量问题（如影长测高、镜面反射）。 2. 建立相似模型解决工程或比例问题。 1. 压轴题常见（10%），侧重数学建模能力。 2. 易错点：单位不统一或实际意义忽略（如高度为负值）。 位似图形与位似变换 1. 理解位似的定义（形状相同、对应点连线交于一点）。 2. 能根据位似比作图或计算坐标。 1. 选择题或作图题（20%），中考偶有考查。 2. 易错点：位似中心位置判断错误（如内外位似混淆）。 知识点01 比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 示例：已知线段a=2cm，b=4cm，c=3cm，d=6cm，验证是否成比例： ∵ a/b=2/4=1/2，c/d=3/6=1/2 ∴ a/b=c/d 易错点：混淆比例顺序（如a/b≠b/a）或单位不统一时直接比较。 知识点02 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 示例：如图，若DE∥BC，则有 易错点：对应线段写错（如误用AD/AB=AE/AC）。 知识点3 相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点4 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 示例：判定△ABC∽△DEF： ① 若∠A=∠D且∠B=∠E（AA） ② 若AB/DE=AC/DF且∠A=∠D（SAS） ③ 若AB/DE=BC/EF=AC/DF（SSS） △ABC∽△DEF，相似比k=2，AB=6，则DE=3； 面积比为k²=4，若S△ABC=16，则S△DEF=4 易错点：误用SSA判定或忽略角相等条件。混淆相似比与面积比（面积比是k²，非k）。 知识点5 位似 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 示例：以O为位似中心，将△ABC放大2倍： 连接OA、OB、OC并延长至A'、B'、C'，使OA'/OA=2，OB'/OB=2，OC'/OC=2 易错点：位似中心位置判断错误（内外位似混淆）或缩放方向画反。 题型一 平行线分线段成比例综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 当题目中出现平行线与三角形或多边形相交时，优先考虑平行线分线段成比例定理（基本定理或推论）。 怎么做？ 标注已知比例线段，确定对应关系。 若需构造辅助线，通常过关键点作平行线。 列比例式时，确保分子分母对应同一组平行线截得的线段。 易｜错｜点｜拨 错误比例对应：如误用 AD/AB = AE/AC（正确应为 AD/DB = AE/EC）。 忽略分类讨论：当图形未明确平行线位置时，需考虑多解可能。 【典例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，点，分别在，上，，，、交于点，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 取的中点M，连接，则，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，设，则，再结合勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，则， ∵，，， ∴为的中位线，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：8 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是将、、代入求解． 将、、代入，其中，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：，，，， 又， ， 解得， 经检验是原方程的解． 的长为． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，点是内一点，且． (1)求证：； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． ①依题意补全图形； ②若点恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)①见详解；②，证明见解析 【分析】（1）设，则，即可得解； （2）①根据题意作图即可； ②过点作于点，交于点，证得，再证，得到，得到为中点，利用平行线分线段成比例得到为中点． 本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形内角和定理，熟练作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：设， ，， ∵， ， ． （2）①如图 ②，证明如下： 过点作于点，交于点， ， ， ， 恰是的中点， ， 又， ， ， ∵，， ， ， 又∵， ， ， 为中点，， ， 为中点， ． 【变式3】（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出 等量代换即可得出 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 题型二 相似三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 判定相似：优先选择AA（两角相等），其次SAS（两边成比例且夹角相等）。 性质应用：相似比=对应边之比，面积比=相似比的平方。 怎么做？ 通过角度或边长关系证明相似。 利用相似比转化线段长度或面积。 易｜错｜点｜拨 误用SSA判定：未验证夹角相等导致错误。 相似比顺序错误：如△ABC∽△DEF时，误认为 AB/DE = BC/DF（需对应边一致）。 【典例1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在等边中，点是边上的一个动点(不与点重合)，以为边作等边，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等边三角形的性质可得，进而可得，即可求证； （）过点作于，由等边三角形的性质首先求出，再利用相似三角形的性质解答即可； 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵与为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：过点作于，则， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)， (2)一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点，由旋转可得，，，即得，，得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，，即可得，即可求解； （2）延长交于点，可证，得到，，进而根据三角形内角和定理得到，即可求证； （3）过点作于点，由等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而由得到，即得到，再根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：线段与的数量关系、位置关系与(1)中结论一致，理由如下： 延长交于点，如图所示， ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示， 由旋转可知，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在线段、线段上的点，连接交于点N，过F作于点M，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）根据正方形的性质得出且，根据，证明，根据等腰三角形的判定，即可得出答案； （2）证明，得出，再根据，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴且， ∴， ∴， ∵为的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）可得，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型三 位似变换与坐标系 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 位似图形需满足：对应点连线交于一点（位似中心），且对应边平行。 坐标系中位似：以原点为中心时，缩放后坐标按比例变化（k>0同侧，k<0异侧）。 怎么做？ 确定位似中心和比例k。 根据k值缩放图形或计算坐标。 易｜错｜点｜拨 内外位似混淆：未区分同侧放大（k>0）与异侧缩小（k<0）。 忽略负比例：k=-1时，图形关于位似中心对称，坐标需变号。 【典例1】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． (1)平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； (2)将绕点旋转得到，请在图中画出； (3)将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； (4)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)16 【分析】（1）平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐标特点，确定坐标后，画图即可； （3）根据旋转的性质画图解答即可； （4）利用分割法计算四边形的面积即可． 本题考查了平移作图，中心对称作图，旋转作图，分割法计算面积，熟练掌握变换的基本特征，分割法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换， 则，画图如下： 则即为所求． （2）解：将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据题意，得，画图如下： 则即为所求． （3）解：根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求，且． （4）解：连接，如图所示， 则四边形的面积为： ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知在平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F，交x轴于点D，若，求的长； (2)如图2，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，点F为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，试判断线段、、之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若，，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可得证； （3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵轴， ∴ ∴ ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：，证明如下： 连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等 ∴是等腰直角三角形， ①如图所示，时， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ②如图所示，时， ∴， ∴， ∴平分， ∴且平分， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 如图所示，过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ ③如图所示，时， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ，， ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述，点的坐标为或，． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 题型四 动态几何与相似 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，相似三角形常用于转化比例关系。 怎么做？ 设时间为t，表示动点位置及线段长度。 利用相似比建立方程，注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何约束：如三角形两边和大于第三边，需检验解的合理性。 漏解：未考虑多解情况（如点P在两侧位置不同）。 【典例1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 【典例2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图①，在矩形中，，，，分别是、中点，连接，点从点出发，沿线段方向匀速运动（不与、两点重合），速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动，连接设运动时间为，解答下列问题： (1)求证：； (2)当点在线段上运动时，若的面积为，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)2； (3)当为1或3或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）根据矩形的性质，得到判断相似的两个角相等即可； （2）作出合理的辅助线，再根据相似三角形的性质对应边之比相等，进而列出一元二次方程，求解即可； （3）根据等腰三角形的性质，在动点中，此题要分情况讨论； 【详解】（1）解：在矩形中， ，， ∴， ∵，分别是、中点， ∴， ∴ ∴， ∴ （2）解：如图，过点作的延长线于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是中点， ∴，， 由题可得：， ∴， ∴， ∴ （3）解：当点在上时，如图，， ∴， ∴； 当点在上时，如图，， ∴， ∴； 当点在上时，如图，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 当点在上时，如图，， 过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，当为1或3或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用各个知识点． 【变式1】（23-24九年级上·全国·期中）在中， ，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作，垂足为E，以为一边在右侧作矩形，点F在边上，且，连接，设运动时间为t(秒)，矩形与重叠部分面积为S． (1)当时，求t的值． (2)当点D在边上运动时，求S与t的函数关系式． (3)当的面积为6时，直接写出t的值． 【答案】(1)秒； (2)，； (3)t的值为秒或秒或秒． 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，动点问题，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明 ，则，，由与由勾股定理，推导出，代入求值，即可解答； （2）分两种情况：①当时， ②当时，逐一分析求解即可； （3）分类讨论，逐一分析求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由题意得：， 则， 当时，由勾股定理得：， ∴，即 解得：， 即当时，秒； （2）分两种情况：①当时，如图1所示： ； 即； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴，即 解得： 同理得：， ∴； 即； （3）分三种情况： ①如图1所示： 由题意得：， 解得：； ②如图3所示： 由题意得：， 解得：； ③如图4所示： 由勾股定理得：， ∴， 同(2)得：， ∴， 即， 解得：， ， 由题意得， ∴C与F重合， ∴， 解得：； 综上所述，当的面积为6时，t的值为秒或秒或秒． 【变式2】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，在中是上一动点（不与、重合），过构造矩形，使在上，在上． (1)求证：点在运动过程中，； (2)连结，当四边形是平行四边形时，求的长度； (3)当与的面积和为时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，则，根据平行线的性质得，由相似三角形的判定可得结论； （2）设的长度为．由勾股定理可求的长，由得，根据相似三角形的性质可求得，由（1）知，可得，根据平行四边形的性质得，则，即可得的值； （3）设的长度为，由（2）得出，，进而分别求得，根据与的面积和为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的长度为． 在中，，，， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：； 即 （3）解：设的长度为，由（2）可得， 在中，， 在中，， ∵与的面积和为 ∴ ∴ 解得：或 ∴的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理得出线段之间的等量关系是本题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形不正确，故本选项符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 3．如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 4．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 5．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 6．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．如图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______（填选项）； A．     B． (2)证明（1）中猜想的正确性． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】本题考查了相似图形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，整理得，，，进行求解即可； （2）设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，根据题意列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张， ∴根据以上材料，， 则， ∴猜测A号纸的长宽之比可能是， 故选：A； （2）解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， ∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得， ∴A号纸的长宽之比是． 7．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 8．如图，平分，为中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了线段的中点，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，由线段的中点定义可得，进而证明得到即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵为中点， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，根据位似比以及相应的象限求出对应点的坐标即可． 【详解】解：，位似比为， 则点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， 又位于第一象限， ． 故选：D． 4．如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)该矩形的长为 (2)该矩形的面积为 【分析】本题考查了矩形的周长，矩形的面积，黄金比，解分式方程，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可； （2）利用长乘以宽，直接计算出答案即可． 【详解】（1）解：设，那么， 经检验，是原方程的根， ， 答：矩形的长为． （2）解：由（1）可知，，， 矩形的面积为：（）． 答：该矩形的面积为． 5．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 6．如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处（即米），测得自己影子的长为2米，已知小明的身高米，图中、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上数据求路灯的高度． 【答案】6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，     ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，     ∴， 解得：，     ∴， 解得：， 答：路灯的高度为6米． 7．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 8．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似形的性质、矩形的性质、折叠的性质等知识点，掌握根据相似图形面积比是相似比的平方是解题的关键． 根据矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值即可． 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 答：AB与AD的比值是． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是黄金分割，二次根式的运算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．根据“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”进行解答即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， 则， ∵点是线段的黄金分割点且， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推，则线段的长度是． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形的相似比与面积比的关系是解题的关键． 先根据位似图形对应点的坐标确定相似比，再依据相似三角形面积比与相似比的关系求出的面积． 【详解】解：∵和位似，位似中心为原点，点，点， ∴与的相似比为． ∴与的面积比为． ∵的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 3．如图，点的坐标分别为，点C是反比例函数图像上一点，，AC交y轴于点D，，则k的值为 【答案】 【分析】过C作轴于G，过点A作交延长线于E，作轴于F，根据得，求出，证明得到，求出直线的解析式为，将代入求出点C的坐标，即可求出答案． 【详解】解：过C作轴于G，过点A作交延长线于E，作轴于F， ∵轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵轴于F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴点C的坐标为 ∵点是反比例函数图象上一点， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查比例的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，待定系数法求函数解析式，这是一道图形及函数的综合题，较难，题中的是提示解题的思路，延长后得到45度的角，由此利用等腰直角三角形的性质解决问题是解题的关键． 4．如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论； （2）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （3）先求出，再由勾股定理求出，设设，则，再由勾股定理得出°，求出，从而得到是等边三角形，然后求出． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 所以四边形是菱形． （2）证明：因为四边形是菱形， 所以， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， 由（2）知，， ， 由（2）知， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ， ， ∴， ∴， 是等边三角形， 又四边形是菱形， ， ， 即的长为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是构建相似三角形，证明三角形相似． 5．有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）． 【答案】见解析 【分析】在图中设正方形的边长为x，则，，由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值；在图中首先由三角形的面积公式求出的长度，然后由相似三角形的判定定理得出，设，根据相似三角形的对应边成比例求出y的长度，比较出x，y的大小即可得出结论． 【详解】解：在图中设正方形的边长为x，则，， ，， ， ，即， 解得， ， ， 在图中，， ， ， ，， ， ， 设，则， 解得， ， ， 图方法符合要求． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生理论联系实际的能力． 57 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $