1.4 线段垂直平分线与角平分线（角平分线）学案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.4线段垂直平分线与角平分线（角平分线） (巩固练习) 【典型例题】 【例1】点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点， 则下列选项正确的是() A.PO>6 B.P9≥6 C.P9<6 D.PQ≤6 【例2】如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若 点P到BC的距离是4，则AD的长为() B D A.8 B.6 C.4 D.2 【例3】如图，BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,AB=8,DE=4,则△ABD的面积为 A D B 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,己知△BCE 的周长为15cm,BC=7cm,则AC=cm. 第1页共20页 【例5】已知：如图，在ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交 于F,连接AF.求证：AF平分∠BAC. 【例6】如图，在ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在BC 上，连接DF,且AD=DF· E D ◇ (1)求证：CF=AE; (2)若AE=3,BF=4,求AB长. 【举一反三】 【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=3,AB=8,则 △ABD的面积是() D A.36 B.24 C.12 D.10 第2页共20页 【变式2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°.首先以顶点B为圆心、适当长为半径作 弧，在边BC、BA上截取BE、BD;然后分别以点D、E为圆心、以大于一DE的长为半径作 弧，两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若BG=2,P为边AB上一动点，则 GP的最小值为( A.无法确定 B. 2 C.1 D.2 【变式3】如图，在ABC中，∠C=90°，AB=10,AD是ABC的一条角平分线.若 CD=3,则△ABD的面积为 【变式4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB角平分线交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分 别交AB、AC于点M、N.若BM=3cm,CN=2cm,则MN=cm. B 【变式5】已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线 DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示，若DE=4,则DF=一· E B 第3页共20页 【变式6】如图，ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DE⊥AB于点E,DF⊥BC 于点F. (1)若∠A=70°，求∠BDC的度数： (2)若DE=2,BC=9,求△BCD的面积. 【巩固练习】 1.如图，已知ABC的周长是36Cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,OD⊥BC于点 D,若OD=3cm,则ABC的面积是() A.48cm2 B.54cm2 C.60cm2 D.66cm2 2.如图，AD是ABC的角平分线，DE1AB,垂足为E,S△ABc=7,DE=2,AB=4,则 AC长是() D A.6 B.5 C.4 D.3 第4页共20页 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10, DE⊥AB,SBD=15,则CD的长为() E B A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在ABC中，AB=5,AC=8,E为BC中点，AD为ABC的角平分线，ABC的 面积记为S，ADE的面积记为S,则冬为() S, A.13 B 26 3 5.如图在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,且CD=5cm,则点D到AB的 距离是 D B 6.如图，BD是ABC的角平分线，DE1AB,DE=2,AB=8,ABC的面积为14，则 BC= 7.如图，在ABC中，B0平分∠ABC,C0平分∠ACB,过点O作EF∥BC,若AB=8, AC=6,则△AEF的周长是」 第5页共20页 8.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE1AB于E,△ABC的面积是34cm2,AB=18cm, BC=16cm,则DE= cm B 9.如图所示，已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BF=CE,求证：AD平分 ∠BAC. B F E 10.如图，在ABC中，AB>AC,AE平分∠BAC,过点E分别作EM⊥AB、EN⊥AC, ED⊥BC,垂足分别为M、N、D,BM=CN,连接CE. M D N E (1)求证：点D为BC的中点； (2)若∠BAC-76°，求∠DCE的度数. 第6页共20页 11.如图，在ABC中，∠ACB=90°. (1)作ABC的角平分线BE,过点E作ED⊥AB,垂足为D;(要求：尺规作图，保留作图 痕迹，不必写作法和证明.) (2)在(1)的条件下，如果AC=10cm,求AE+DE的值. 12.学习与探究： 如图1，OP是∠MON的平分线，点A是OP上任意一点，用圆规分别在OM、ON上截取 OB=OC,连接AB、AC,则△AOB≌△AOC,判定方法是 B B M E D 图1 图2 图3 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图2，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平 分线，AD、CE相交于点F,求∠EFA的度数； (2)在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，试问在(2) 题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由. 第7页共20页 答案解析 【典型例题】 【例1】点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点， 则下列选项正确的是() A.P9>6 B.PQ≥6 C.P9<6 D.P0≤6 【答案】B 【例2】如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若 点P到BC的距离是4，则AD的长为() B A D A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】A 【例3】如图，BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,AB=8,DE=4,则△ABD的面积为 B 【答案】16 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,己知△BCE 的周长为15cm,BC=7cm,则AC=cm. 【答案】8 【例5】已知：如图，在ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交 第8页共20页 于F,连接AF.求证：AF平分∠BAC. 【答案】证明：：BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠AEC=∠ADB=90°， 在△ABD和△ACE中， ∠ADB=∠AEC ∠BAD=∠CAE, AB=AC ∴△ABD≌ACE(AAS) :AE AD, 在Rt△AEF和RtADF中， AF=AF AE=AD' ∴.RtAEF≌Rt△ADF(HL), .∠EAF=∠DAF, :AF平分∠BAC. 【例6】如图，在ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在BC 上，连接DF,且AD=DF. A E D B F 第9页共20页 (1)求证：CF=AE; (2)若AE=3,BF=4,求AB长 【答案】证明：(1).∠C=90°， .DC⊥BC, 又，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB, ∴.DE=DC,∠AED=90°， 在Rt△AED和Rt△FCD中， r-ne ∴.Rt△AED≌Rt△FCD(HL), ∴CF=AE. 【小问2详解】 解：由(1)可得CF=AE=3, ∴.BC=BF+CF=4+3=7, DE⊥AB, ∴.∠DEB=90°， .∠DEB=∠C, .BD是∠ABC的平分线， ∴.∠ABD=∠CBD, 在△BED和△BCD中， ∠DEB=∠C ∠EBD=∠CBD, BD=BD .△BED≌△BCD(AAS), ∴.BE=BC=7, ∴.AB=BE+AE=7+3=10, .AB的长为10. 第10页共20页