1.4线段垂直平分线与角平分线（3）学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

丹阳市实验学校教育集团初中数学八年级学案 课题：1.4线段垂直平分线与角平分线（3） 学习目标： 1.能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据； 2.经历探索角的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性 学习过程： 一 、学习新知： （一）：探索角平分线的性质 如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PC⊥OA，PD⊥OB，PC与DE相等吗？ 提示：我们可以利用角的轴对称性，证明PC=PD. 将∠POC沿直线OP翻折，因为∠ =∠ ， 所以OA与OB重合.因为 ⊥ , ⊥ ， 依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可 知 与 重合，所以 = 上面我们通过图形运动（即翻折）的方法证明了PC=PD.你能不能运用全等的方法证明PC=PD？为什么？ 由于点P的任意性，因此你能得到什么样的结论？ 结论：角平分线上的点到 相等. 几何语言：∵OP平分∠AOB ，且PC⊥OA,PD⊥OB ∴PC=PD( ) (二)：探究“到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上吗？” 若点Q在∠AOB内部，QC⊥OA，QD⊥OB，且QC＝QD，点Q在∠AOB的角平分线上吗？ 提示： 要证明点Q在∠AOB的角平分线上，就是证明OQ是角平分线，即证明OQ将∠AOB分为相等的两个角，辅助线就不明而言了.而证明角相等一般要证明三角形全等. ( O B A Q D C ) 由此你能得到什么样的结论？ 结论：角的内部到角两边距离相等的点在 . 几何语言：∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD ∴ OQ平分∠AOB （ ） 二、例题精选： 例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D.BD：DC=3:2，点D到AB的距离为6，求BC的长？ 同质训练：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1， 求△ACD的面积. 例2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，那么点D在∠A的平分线上吗？请说明理由. 同质训练：如图，四边形ABCD中，CD＝CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．（1）求证：∠ADC+∠B＝180°． （2）若AD＝2，AB＝7，请直接写出AF的长． 三、自主小结： 四、当堂检测： 1.如图，在△ABC中∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E点，AB=10cm, BC=6cm, △ABC的面积为24cm2,则DE的长为______cm. 第1题 第2题 第3题 2.在⊿ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，AD=3㎝,BC=10㎝,求⊿DBC的面积。 3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，那么EB = FC吗？说明理由。 《课题：1.4线段垂直平分线与角平分线（3） 》 适度作业 班级： 姓名： A．基础知识必做题 1.(3´)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　） A．3 B． C．2 D．6 2.(3´)已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为 （　 　） A．18 B．16 C．14 D．12 3.(3´)如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的 （　 　） A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD 第1题 第3题 第4题 第5题 4.(3´)如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于 （ 　　） A．10 B．7 C．5 D．4 5.(3´)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 （　　） A．24 B．30 C．36 D．42 6.(3´)有下列四种说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④在△ABC中的∠BAC的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，其中正确的有 （ 　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7.(3´)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是　　　　　　． 8．(3´)如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为_________________cm． （第7题） （第8题） （第9题） （第10题） 9．(3´)如图，在Rt△ABC中，各边的长度如图所示，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，则点D到AB的距离是　　　　　　． 10.(3´)如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC若AB=6，BC=3, 11.(3´)如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　　　　　　． 12．(3´)如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA=2，则PQ的最小值为　　　　　　，理论根据为　　　　　　． 第11题 第12题 第13题 13．(3´)如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=　　　　　　cm． 14.(4´)利用网格线画图：如图，点A、B、C都在正方形网格的格点上． （1）在BC上找一点P，使P点到AB和AC的距离相等； （2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC． 15.(6´)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 16.(5´)如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD． 17. (5´)如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作 PE⊥AB于点E，若PE＝2，求两平行线AD与BC间的距离． B． 基础知识演练题： 18. (3´)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD， ∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 第18题 第19题 第20题 19.(3´)如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　） A．4 B．5 C．4.5 D．6 20.(3´)已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是　 　度． 21.(6´)如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明： （1）CF＝EB． （2）AB＝AF+2EB． 22. (5´)如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，AD、BC与AB之间有何数量关系？为什么？ C. 能力拓展探究题 23.(9´)在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，则S△ABD：S△ACD＝　 　；（用含m，n的代数式表示） （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　． 24.(12´)已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BO交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝2，DF＝4，求线段DB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$