1.5等腰三角形导学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕等腰三角形（性质与判定）、等边三角形及直角三角形斜边上的中线展开，通过课前测、折纸实验等动手操作导入，从定义出发逐步探究性质与判定，形成从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料注重动手实践与逻辑推理结合，设置自主先学、合作探究（如折叠证明性质）、分层检测（当堂检测与拓展延伸），培养学生几何直观、推理意识和应用能力，符合“用数学眼光观察、用数学思维思考”的核心素养，助力自主学习与能力提升。

（1） 请准备好课前测！(5分钟） 总第 12 课时 学习目标：1．了解等腰三角形的轴对称性; 2．探索并掌握等腰三角形的性质，会简单应用; 3.能够熟练运用等腰三角形的性质定理解决相关问题． 学习重点：等腰三角形的轴对称性及其相关的性质． 学习难点：等腰三角形的性质证明及其应用． 1、 自主先学 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征？ 定义：有两条边相等的三角形叫作 .相等的边叫作 . 如图，在△ABC中，AB=AC，则AB，AC叫作△ABC的腰. 二、合作探究 活动一：把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，你有什么发现？如何证明呢？ 性质定理1：等腰三角形的 相等（简称： ） ∵在△ABC 中，AB=AC ∴∠ =∠ 活动二：等腰三角形除了两底角相等，还有其他性质吗？如何证明呢？ 性质定理2：等腰三角形 、 、 重合 （简称： ） 尝试：已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h. 三、展示交流 如图，在中，，点D在BC上，且. 求证：. 四、拓展延伸:在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点. （1）如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，试探求PE、PF与BD之间的数量关系; （2)如图②，若P是BC延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD为△ABC的高线，试探求PE、PF与CD之间的数量关系. 五、课堂小结：同学们，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 六、当堂检测：5-10分钟 教学反思： （2） 请准备好课前测！(5分钟） 总第 13 课时 学习目标：1.探索并掌握等腰三角形的判定方法； 2.掌握等边三角形的轴对称性和性质； 3.等腰三角形及等边三角形判定和性质的综合应用. 学习重点：熟练地掌握等腰三角形的判定定理． 学习难点：正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理． 一、自主先学 1.等腰三角形有什么性质？（等腰三角形的两底角相等） 2.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么？它是真命题吗？如何证明？ 二、合作探究 1. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 试说明：AB＝AC. 你还有不同的证明方法吗？ 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 .（简称“ ”） ∵在△ABC 中，∠B=∠C ∴ = 三、展示交流 如图，是的外角，平分，.求证：. 变式1：在上图中，如果，，求证：平分. 变式2：在上图中，如果，平分，求证：. 四、拓展延伸 如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于O，DE∥BC. （1） 求证：DE=BD+CE； （2）若AB＝6，AC＝8，求△ADE的周长. 五、课堂小结：同学们，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 六、当堂检测：5-10分钟 1.在△ABC中，∠A＝80°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数可以是 　 　 ． 2.如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有 个. 3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E．△ADE是等腰三角形吗？请说明理由． 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E． 求证：△AEF是等腰三角形． 第1题 第2题 第3题 第4题 教学反思： （3） 请准备好课前测！(5分钟） 总第 14 课时 学习目标： 1、理解等边三角形的定义，探索并理解等边三角形的性质及判定. 2、探索并理解含有30°角的直角三角形的xz等边三角形的性质定理和判定定理. 3、经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，感受分类、转化等数学思想方法，提高演绎推理的能力. 学习重点：熟练掌握等边三角形的轴对称性及性质定理和判定定理. 学习难点：熟练运用等边三角形的性质定理和判定定理. 一、自主先学 我们知道，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，当一个三角形满足三边相等是什么三角形呢？ 定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形 如图，∵AB=BC=CA, ∴△ABC是等边三角形. 反过来，∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA. 二、合作探究 活动一：等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有什么性质？ 如何证明呢？ 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 符号语言：如图，△ABC中，∵AB=BC=CA， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 活动二：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ （1） 如果一个三角形的三个角相等，那么它是等边三角形吗？为什么？ （2）如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？为什么？ 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的三角形是等边三角形. 活动三：用两个含30°的三角板拼一个三角形，这个三角形是等边三角形吗？30°角所对的直角边和斜边有什么关系？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半. 符号语言：在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°， ∴ 三、展示交流 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形. 四、拓展延伸 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上. （1）AD与BE相等吗？为什么？ （2）连接MN，试说明△MNC为等边三角形. 五、课堂小结：同学们，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 六、当堂检测：5-10分钟 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝4cm，则AB的长是　 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°． （1）求证：PA＝PC； （2）若CP＝10，求BP的长． 教学反思： （4） 请准备好课前测！(5分钟） 总第 15 课时 学习目标：1.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 2.理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径; 3.体会通过合情推理探索数学结论，发展合情推理和演绎推理的能力. 学习重点：探索并应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题． 学习难点：引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 一、自主先学 什么是直角三角形，直角三角形有哪些性质呢？ 二、合作探究 活动一：把一张直角三角形纸片按如图所示的方法折叠，你有什么发现?如何证明呢？ 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言：∵在△ABC中,∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的中线 ∴CD=AB 三、展示交流 如图，在中，，D为边AB的中点，.求的度数. 四、拓展延伸: 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E在AC上.点F在BC上且AE＝CF. 求证：（1）DE＝DF；（2）DE⊥DF. 五、课堂小结：同学们，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 六、当堂检测：5-10分钟 2.如图，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，D是OP的中点，则DA与DB的数量关系是_________． 2.在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，E为AC中点，连接DE，则DE＝ . 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC中点，连结DE，求△CDE的周长． 4.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝30°，∠DAC＝45°，E是AC的中点，连结BE，DE，BD，F是BD的中点．求∠BEF的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $