1.4线段垂直平分线与角平分线 巩固提升练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.4线段垂直平分线与角平分线 （巩固提升练习） 【典型例题】 【例1】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点 【例2】如图，在长方形中，，依据尺规作图的痕迹，可求出等于（ ）． A B. C. D. 【例3】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为_____． 【例4】如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 【例5】尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： （1）如图，在的边上求作一点，使得； （2）如图，在的边上求作一点，使得点到，的距离相等． 【例6】如图，， （1）过点C作射线BF的垂线，垂足为M，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的基础上，若，求 【举一反三】 【变式1】三角形中到三条边距离相等的点是（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【变式2】下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 【变式3】如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算大小为____． 【变式4】如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则_____________． 【变式5】如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； （1）如图1，在边上寻找一点，使； （2）如图2，在边上寻找一点，使得． 【变式6】如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 【巩固练习】 1.如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A. 在两边高线的交点处 B. 在两边中线的交点处 C. 在两边垂直平分线的交点处 D. 在两内角平分线的交点处 2.如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ） A. 小明说的对 B. 小亮说的对，可添条件为“” C. 小亮说的对，可添条件为“” D. 两人说的都不对 3.如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，的面积（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4.5 4.如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（　　） A. 36 B. 22 C. 20 D. 21 5.在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，若，则_____ 6. 如图，在中，是的角平分线，过点D作交于点E，平分交于点F，若，则__________． 7.如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为_____． 8.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为_____． 9.如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 10.如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG=CH． 11.如图，，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． （1）试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； （2）若，求的度数． 12.问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线． （2） ； （3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】D 【例2】如图，在长方形中，，依据尺规作图的痕迹，可求出等于（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【例3】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为_____． 【答案】5 【例4】如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 【答案】9.5 【例5】尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： （1）如图，在的边上求作一点，使得； （2）如图，在的边上求作一点，使得点到，的距离相等． 【答案】（1）解：如图中， ∴点即为所求； 【小问2详解】 如图， ∴点即为所求． 【例6】如图，， （1）过点C作射线BF的垂线，垂足为M，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的基础上，若，求 【答案】（1）解：以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点、，再以点、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，交射线于点，则即为所求的垂线，如图： （2）解：连接，如图： 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∴． 【举一反三】 【变式1】三角形中到三条边距离相等的点是（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】D 【变式2】下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【变式3】如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算大小为____． 【答案】58 【变式4】如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则_____________． 【答案】 【变式5】如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； （1）如图1，在边上寻找一点，使； （2）如图2，在边上寻找一点，使得． 【答案】（1） ； （2） ． 【变式6】如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接DB， AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA， DF=DG， DE垂直平分BC， DC=DB， 在Rt△CDF与Rt△BDG中 ， Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ， BG=CF． （2）解：GAD=FAD，AGD=AFD，AD=AD， 在△ADG与△ADF中 △ADG≌△ADF(AAS)， AG=AF， BG=CF， ， AG=(AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ． 【巩固练习】 1.如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A. 在两边高线的交点处 B. 在两边中线的交点处 C. 在两边垂直平分线的交点处 D. 在两内角平分线的交点处 【答案】C 2.如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ） A. 小明说的对 B. 小亮说的对，可添条件为“” C. 小亮说的对，可添条件为“” D. 两人说的都不对 【答案】C 3.如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，的面积（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4.5 【答案】A 4.如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（　　） A. 36 B. 22 C. 20 D. 21 【答案】B 5.在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，若，则_____ 【答案】或 6. 如图，在中，是的角平分线，过点D作交于点E，平分交于点F，若，则__________． 【答案】4 7.如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为_____． 【答案】 8.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 9.如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 【答案】如图，点P即为所求， 10.如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG=CH． 【答案】如图，连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DC， ∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC ∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°， ∴Rt△BDG≌Rt△CDH， ∴BG=CH． 11.如图，，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． （1）试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 12.问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线． （2） ； （3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）补充证明如下：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵点是边的中点， ∴， 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 又， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴ ∴， 故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分 ∴， 在中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $