广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷

广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年八年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，是高，是角平分线，是中线则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 4.在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点在图中的小路上，且到河岸，的距离相等依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点如图所示，则能找到宝藏的是(    ) A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 5.如图，，且，，是上的两点，，若，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，在等边三角形中，，分别为边，上的动点，，连接，以为边在内作等边三角形，连接当点从点向点运动不运动到点时，大小的变化情况是(    ) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，已知，若要根据“”能够判定，则需要添加的条件是          ． 10.如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点若，则与之间的距离为          ． 11.如图，在中，、分别垂直平分边、，交于点、，如果，那么的周长为          ． 12.如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的度数为          ． （第9题） （第10题） （第11题） （第12题） 13.如图，在中，，，，是的中点现将沿方向平移，得到，交于，则的长等于          ． 14.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”在等腰三角形中，若，则它的特征值          ． 15.如图，平分，是上一点，，垂足为，是上一点，连接已知，，则的面积为          ． 16.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形若点为的中点，连接，则的长的最小值为          ． （第13题） （第15题） （第16 题） 三、解答题：本题共10小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知，分别是的高和中线，． 若的面积为，求的长 若，求的长． 18.本小题分 如图，已知，，． 求的长． 试说明：． 19.本小题分 如图，，点，分别在，上，且，，相交于点求证：点在线段的垂直平分线上． 20.本小题分 如图，，，的垂直平分线，相交于点，连接，，求证：． 21.本小题分 如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． 求证：是等腰三角形 作的平分线交于点，若，则的度数为          ． 22.本小题分 在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，． 如图，当时，求的度数． 当满足什么条件时，？请说明理由． 在的条件下，若，求的周长． 23.本小题分尺规作图：如图，在平面内求作一点，使得点到的两边距离相等，并且到点和点的距离也相等不需书写作图过程，但需保留作图痕迹 如图，若点为的重心，的面积为，连接并延长交于点，求面积． 24.本小题分如图，在的两边、上分别取点、，连接若平分，平分． 求证：平分． 若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和． 25.本小题分在中，，，点是上一点，，点是上一点，． 如图，求证：是等腰三角形． 如图，过点作于点，求证：平分． 如图，延长，交于点，求证：点在的垂直平分线上． 26.本小题分 综合与实践 问题发现 如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接请写出的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． 类比探究 如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接． 填空：的度数为______； 线段，，之间的数量关系为______． 拓展延伸 在的条件下，若，，则四边形的面积为______． 第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年八年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  【解析】略 2.如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 3.如图，在中，是高，是角平分线，是中线则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 4.在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点在图中的小路上，且到河岸，的距离相等依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点如图所示，则能找到宝藏的是(    ) A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 【答案】B  【解析】解：由题意知：甲作的是的垂线，乙作的是的平分线，丙作的是线段的垂直平分线， 到河岸，的距离相等， 点一定是在的角平分线与的交点处， 能找到宝藏的是乙． 故选B． 由到河岸，的距离相等，得到点一定是在的角平分线与的交点处，由此即可判断． 本题考查角平分线的性质，尺规作图，关键是掌握基本作图，角平分线性质定理的逆定理． 5.如图，，且，，是上的两点，，若，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】如图，，，又，，即，在和中， ≌，，． 又，，故选D． 6.如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ≌， ， 点在的垂直平分线上， 又是的垂直平分线， 点是的外心， ， ， 根据翻折的性质可得， ， ， ． 故选：． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 7.如图，在中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 8.如图，在等边三角形中，，分别为边，上的动点，，连接，以为边在内作等边三角形，连接当点从点向点运动不运动到点时，大小的变化情况是(    ) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 【答案】A  【解析】提示：在上截取，连接易知由，，得易证≌，所以，，所以，所以． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，已知，若要根据“”能够判定，则需要添加的条件是          ． 【答案】  【解析】略 10.如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点若，则与之间的距离为          ． 【答案】  【解析】略 11.如图，在中，、分别垂直平分边、，交于点、，如果，那么的周长为          ． 【答案】  【解析】和分别为、的垂直平分线，，，的周长为． 12.如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的度数为          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，在中，，，，是的中点现将沿方向平移，得到，交于，则的长等于          ． 【答案】  【解析】略 14.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”在等腰三角形中，若，则它的特征值          ． 【答案】或  【解析】略 15.如图，平分，是上一点，，垂足为，是上一点，连接已知，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形若点为的中点，连接，则的长的最小值为          ． 【答案】  【解析】本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 以为边作等边三角形，连接，过点作于，由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于， 点的坐标为， 点为的中点， 是等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， 当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知，分别是的高和中线，． 若的面积为，求的长 若，求的长． 【答案】(1)AD=8  (2)DE=1  【解析】 略  略 18.本小题分 如图，已知，，． 求的长． 试说明：． 【答案】(1)因为，所以AC＝DB．所以AC-BC＝DB-BC，即AB＝CD．所以AD＝AB+BC+CD＝AB+BC+AB＝2AB+BC，因为AD＝8，BC＝2，所以8＝2AB+2，所以AB＝3，所以AC＝AB+BC＝3+2＝5．  (2)因为，所以∠ECA＝∠FBD．所以CE// BF．  【解析】 略  略 19.本小题分 如图，，点，分别在，上，且，，相交于点求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】证明：在和中，≌， ，，，． 在和中， ≌． 点在线段的垂直平分线上到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．   【解析】见答案 20.本小题分 如图，，，的垂直平分线，相交于点，连接，，求证：． 【答案】证明：连接、， 、的垂直平分线相交于， ，， 在和中， ， ≌， ．  【解析】本题考查了垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出≌连接、，根据垂直平分线的性质得出，，根据推出≌即可． 21.本小题分 如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． 求证：是等腰三角形 作的平分线交于点，若，则的度数为          ． 【答案】(1)证明:AF平分DAC, DAF=CAF,AF//BC,DAF=B,CAF=ACB,B=ACB,ABC是等腰三角形;   (2)​​​​​​​  【解析】 略  略 22.本小题分 在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，． 如图，当时，求的度数． 当满足什么条件时，？请说明理由． 在的条件下，若，求的周长． 【答案】(1)解：因为MP，NQ分别是AB，AC的垂直平分线，所以AP=BP，AQ=CQ，所以∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C．因为∠BAC=80°，所以∠B+∠C=180°-∠BAC=100°．所以∠PAQ=∠BAP+∠CAQ-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=20°．  (2)当∠BAC=135°时，AP⊥AQ．理由如下： 如图，因为AP⊥AQ，所以∠PAQ=90°．由（1）得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C．又因为∠B+∠C=180°-∠BAC，∠BAP+∠CAQ=∠BAC-90°，所以180°-∠BAC=∠BAC-90°，所以∠BAC=135°．   (3)因为△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC，BC=10，所以△APQ的周长为10．  【解析】 略  略  略 23.本小题分 尺规作图：如图，在平面内求作一点，使得点到的两边距离相等，并且到点和点的距离也相等不需书写作图过程，但需保留作图痕迹 如图，若点为的重心，的面积为，连接并延长交于点，求面积． 【答案】见解析；  ．  【解析】如图，点即为所求作的点， 如图：点为的重心， 根据角平分线以及线段垂直平分线的作法画图即可； 根据重心的性质进行计算即可． 本题主要考查了作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键． 24.本小题分 如图，在的两边、上分别取点、，连接若平分，平分． 求证：平分． 若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和． 【答案】(1)证明：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为 .平分，，， . 平分，，， ， ， ​​​​​​​平分.   (2)解：的面积是16，， ， ， ， . 的面积是24， ， ， ， ， ， 即线段与的长度之和为20.  【解析】 本题主要考查角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 根据题意，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，再根据角平分线的性质证明即可．  本题主要考查角平分线的性质以及三角形的面积，掌握三角形面积的不同求法是解题的关键． 根据题意先求出 ，再推出，即，进而可得出答案． 25.本小题分 在中，，，点是上一点，，点是上一点，． 如图，求证：是等腰三角形． 如图，过点作于点，求证：平分． 如图，延长，交于点，求证：点在的垂直平分线上． 【答案】证明：，， ， ， ， ， ≌， ， 是等腰三角形； 过点作， ， ≌， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ≌， ， 平分； 由， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上．  【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质“三线合一”和判定，线段垂直平分线的判定以及角平分线的判定，解题的关键是证三角形全等，作出适合的辅助线． 证明≌，得出即可证明； 过点作，根据两直线平行内错角相等得出，由得≌，从而得出，再根据是等腰三角形运用等腰三角形三线合一得出，从而得出，再根据，即可证明≌，根据全等三角形对应角相等即可证明； 由，再根据等量代换得出，从而证得，即可证明． 26.本小题分 综合与实践 问题发现 如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接请写出的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． 类比探究 如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接． 填空：的度数为______； 线段，，之间的数量关系为______． 拓展延伸 在的条件下，若，，则四边形的面积为______． 【答案】      【解析】解：，，理由如下： 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中，， ． ， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 猜想：，．理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中，， ． ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． ，， ． ， ． ． 故答案为：，； 由得：，， 均为等腰直角三角形，为中边上的高， ，， ， 四边形的面积的面积的面积； 故答案为：． 由条件易证，从而得到：，由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； 仿照中的解法可求出的度数，证出；由等腰直角三角形的性质可得，从而证到； 由得，，由等腰直角三角形的性质得出，，求出，四边形的面积的面积的面积，即可得出答案． 本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $