专题14.3 轴对称（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题14.3 轴对称 教学目标 1. 知道轴对称图形的概念； 2. 了解轴对称的性质； 3. 画轴对称图形。 教学重难点 1.重点 （1）轴对称与轴对称图形的区别与联系； （2）轴对称的性质； （3）轴对称的有关作图及其应用。 2.难点 （1）利用轴对称的性质求解几何问题； （2）轴对称的综合应用。 知识点1 图形的翻折与轴对称图形 在日常生活及工作中，还会看到一类图形，将它们沿着某一条直线翻折，其在直线两边的部分能够重合.如图14-3-1,将“幕”在直线l左边的部分沿着直线l翻折，l两边的“喜”字重合.如图14-3-2中的京剧脸谱，将它在直线l左边的部分沿着l翻折，与右边部分重合. 如图14-3-3,三角形ABC和三角形A₁B₁C₁沿着直线l翻折后重合，点A与点A₁是对应点，线段AB与线段A₁B₁是对应线段，∠A与∠A₁是对应角. 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 线段、角、正方形和圆都是常见的轴对称图形. 【即学即练】 1．下列图案是轴对称图形的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行判断即可，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：①该图形是轴对称图形，符合题意； ②该图形不是轴对称图形，不符合题意； ③该图形不是轴对称图形，不符合题意； ④该图形是轴对称图形，符合题意； ∴①④是轴对称图形， 故选：C． 2．下列图形中，不是轴对称图形的一项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可． 【详解】 解：上面图形中，不是轴对称图形的一项是． 故选：C． 3．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分． 利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 4．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 知识点2 轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 【即学即练】 1．如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，（1）如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；（3）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ， 根据现有条件无法得到， 故选：C． 2．如图，与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称图形对应角相等的性质求解角度． 根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应角相等进行求解即可． 【详解】∵与关于直线l对称， ∴与 是对应角， 根据轴对称的性质，对应角相等， ∵， ∴． 故答案为：． 3．从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 4．下面各图形中，（   ）的对称轴最少． A．长方形 B．正方形 C．半圆 D．圆 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴，熟练掌握轴对称图形的特征，对称轴的画法及数量是解答此题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此作答． 【详解】解：A、长方形有2条对称轴， B、正方形有4条对称轴， C、半圆有1条对称轴， D、圆有无数条对称轴， ∴所以对称轴最少的是C选项中的半圆． 故选：C． 5．如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴，即， 故答案为：． 6．如图，把长方形的一角沿折叠，使点A落在点F处，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，由折叠前后对应角相等，可得，结合即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠知， ， 故答案为：． 知识点3 画轴对称图形 例 如图14-3-9(1),画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形.分析利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”,即四边形四个顶点关于直线l的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)过点A画直线l的垂线AO,垂足为0.延长AO到点A₁,使OA₁=OA,就得到点A关于直线l的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，分别画出点B、C、D关于直线l的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-3-9(2)所示.四边形A₁B₁C₁D₁就是四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形. 小结：（1）作对称点：①画垂线，作垂足；②延长，作相等； （2） 类似步骤(1)的操作，画出其他对称点； （3） 依次连接各对称点。 对称轴的作法： 在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴． 【即学即练】 1．如图，画出关于直线l对称的图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些关键点，然后作这些关键点的对称点，顺次连接即可得到． 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接各点即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 2．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形．找出各端点关于对称轴的对称点，顺次连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 3．请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴；根据轴对称图形的对称轴定义逐一画图即可． 【详解】解：轴对称图形的对称轴如图； 4．如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l，图②中，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 【详解】解：如图①，过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l．如答图②，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 5．如图，将各图形补成关于直线l对称的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始． 根据轴对称图形的性质，先找出各关键点关于直线l的对称点，再顺次连接即可． 【详解】解：关于直线l对称的图形如图所示． 题型01 判断轴对称图形 【典例1】．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了：轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）． 解题的关键是：根据轴对称图形的定义，逐一判断每个选项的图形是否存在这样的对称轴，无对称轴的即为答案． 分别观察选项 A、B、C、D 的图形；对每个图形尝试寻找对称轴，判断沿某条直线折叠后两边是否完全重合． 【详解】解：A、该图形能找到三条对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形,此选项不符合题意； B、该图形能找到二条对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形,此选项不符合题意； C、该图形无法找到任何一条对称轴，沿任意直线折叠后两边均不能完全重合， 不是轴对称图形,此选项符合题意； D、该图形能找到一条对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形,此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】．下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选D． 题型02 判断两个图形成轴对称 【典例1】．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称；显然只有B选项的其中一个图形可以沿一条直线折叠后与另一个图形重合．本题考查了成轴对称的两个图形的识别，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； B、两个图形成轴对称，故该选项符合题意； C、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； D、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 【变式2】．下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3】．如图，属于轴对称图形的有 ，成轴对称的图形有 ．（只填序号） 【答案】 ①③④⑧⑩ ②⑤⑦⑨ 【分析】轴对称图形是将一个图形沿着一条直线翻折后直线两侧部分能够完全重合的图形是轴对称图形，轴对称是一个图形沿着某条直线翻折后与另一个图形能够完全重合称这两个图形成轴对称. 【详解】解：属于轴对称图形的是①③④⑧⑩，属于成轴对称的图形是②⑤⑦⑨. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形和轴对称的定义. 题型03 轴对称及其性质综合辨析 【典例1】．两个图形关于某直线对称，对称点一定(   ) A．这直线的两旁 B．这直线的同旁 C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上 【答案】D 【详解】由成轴对称的定义知，成轴对称的两个图形的对称点，或者在对称轴上，或者在对称轴两旁. 故选D. 点睛：本题考查了成轴对称的定义，一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫做对应点. 【变式1】．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 【答案】A 【详解】根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D正确，选项A错误. 故选A. 【变式2】．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ） A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN 【答案】D 【分析】根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， ，，． 由于和不是对应线段，故不一定等于． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 【变式3】．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 题型04 根据轴对称的性质求解 【典例1】．如图所示的蝴蝶结是一个轴对称图形．若，，那么下面的结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】轴对称图形对应线段相等，对应角相等，据此解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质，可得cm，， 故选：． 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式1】．如图，点D为的边AC上一点，点B，C关于DE对称，若，，则线段BD的长度为 ． 【答案】4 【分析】证明，可得结论． 【详解】解：，， ， ，关于对称， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． 【变式2】．如图，和关于所在的直线对称，点在上，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的面积，根据轴对称的性质判断即可． 【详解】解：∵和关于所在的直线对称，点在上， ∴， ∵，在线段上， ∴与关于直线对称， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 题型05 对称轴的条数 【典例1】．下列图形中，对称轴条数最多的是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴的数量，正确掌握轴对称图形对称轴的数量是关键．根据对称轴的概念判断即可． 【详解】由轴对称图形的意义可知： A、同心圆有无数条对称轴； B、等边三角形有3条对称轴； C、正六边形有6条对称轴； D、正八边形有8条对称轴； 所以对称轴条数最多的是同心圆； 故选：A． 【变式1】．下列与圆有关的轴对称图形中只有一条对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形和对称轴的概念，解题的关键是寻找对称轴：图形的两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形和对称轴的概念求解即可． 【详解】解：A.有无数条对称轴； B.有2条对称轴； C.有1条对称轴； D.有3条对称轴； 故选：C． 【变式2】．下面图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对称轴图形的对称轴数量，根据轴对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【详解】解：选项A的图形有四条对称轴，选项B的图形有一条对称轴，选项C的图形有两条对称轴，选项D的图形有三条对称轴， 所以对称轴最多的是A． 故选：A． 题型06 对称轴及其作图 【典例1】．如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做 ；这条直线就是它的 ． 【答案】 折叠 互相重合 轴对称图形 对称轴 【分析】根据轴对称图形的概念直接填空即可． 【详解】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 故答案为：折叠，互相重合，轴对称图形，对称轴． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，解题关键是熟记定义． ． 【变式1】．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)． 【答案】详见解析 【分析】根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可． 【详解】解：如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，解题关键是熟练掌握正五边形的对称性． 【变式2】．如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【答案】长方形是轴对称图形，其余不是 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 【详解】第一幅图，是个矩形，它是轴对称图形，有两条对称轴，均为边的垂直平分线： ； 第二幅图，是个普通三角形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形； 第三幅图，是个平行四边形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形. 【点睛】理解对称轴的含义是解答此类问题的关键. 【变式3】．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析． 【分析】根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可． 【详解】解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形， 对称轴如下： ． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键． 题型07 折叠问题 【典例1】．如图，将沿折痕折叠，使边落在边上，则得到结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：将沿折痕折叠，使边落在边上， ∴，故D正确， 而，，不一定正确； 故选：D． 【变式1】．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为15，则的周长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题考查的是折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键．由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合， ∴， ∵，的长为15， ∴的周长. 故选：D． 【变式2】．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠后对应线段相等、对应角相等；由折叠知，由的周长即可求得结果． 【详解】解：由折叠知； ∵的周长为， ∴， 即， ∴； 故选：B． 【变式3】．如图，长方形纸片沿线段折叠，点在边上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：由折叠可知：． ∴． 故选：B． 题型08 作图题 【典例1】．如图所示，已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整： （1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______________； （2）分别延长DM，EP，FN至点____________，使______＝______，______＝______，______＝______； （3）顺次连结______，______，______，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL. 【答案】（1）M，P，N；（2）G，H，L，MG，DM　，PH，EP，NL，FN；（3）GH，HL，LG 【分析】作轴对称图形就是从图形的各顶点向轴引垂线并延长相同长度找对应点，顺次连接所成的图形．根据这个作法对(1)、(2)、(3)进行求解即可. 【详解】(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点M、P、N； (2)分别延长DM，EP，FN至点G、H、L，使MG=DM， PH=EP， NL=FN； (3)顺次连结GH，HL，LG，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL. 故答案为(1)M，P，N； (2)G，H，L，MG，DM， PH，EP， NL，FN； (3)GH，HL，LG． 【点睛】本题考查了的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． 【变式1】．已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画对称轴，理解轴对称图形的性质是解题的关键． （1）直线是线段的垂直平分线，画出线段的垂直平分线即可； （2）作出A、B两点关于直线对称的对应点，依次连接四个对应点即可． 【详解】（1）解：画出线段的垂直平分线如下： （2）解：所画的轴对称图形如下： 【变式2】．画出四边形关于直线的轴对称的图形． 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特点直接作图即可． 【详解】作图如下： 四边形即为所求． 【点睛】此题主要考查轴对称图形的作法，根据已知分别作出A，B，C、D的关于l对称点是解决问题的关键． 题型09 网格问题 【典例1】．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．    【答案】见解析 【分析】如图1，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可； 如图2，以线段所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可； 如图3，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可； 如图4，以线段所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图所示：       【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键． 【变式1】．在网格中的位置如图所示，若以网格线所在直线为对称轴，作与成轴对称的图形，那么此网格中可以作出的的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：根据题意可作如下图： 根据上图可得，此网格中可以作出的的个数为3个， 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义（平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），正确的画出图形是解决本题的关键． 【变式2】．在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有： ①1条对称轴； ②2条对称轴； ③4条对称轴． 【答案】答案见解析. 【分析】①直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；②直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；③直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】①如图1所示：    ②如图2所示： ③如图3所示： 题型10 台球问题 【典例1】．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式1】．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【变式2】．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 一、单选题 1．中国文字是方块字，其形、音、结构、神韵都具美感对称美在汉字结构中十分常见，下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（   ） A．瑞 B．中 C．附 D．初 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的特点，熟记知识点是解题关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行判断即可． 【详解】解：A、瑞不是轴对称图形，则本选项不符合题意； B、中为轴对称图形，则本选项符合题意； C、附不是轴对称图形，则本选项不符合题意； D、初不是轴对称图形，则本选项不符合题意； 故选：B． 2．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 4．若和关于直线l 对称，的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质可得即可得到答案． 【详解】∵和关于直线l 对称， ∴， ∴， 的面积为8， ∴的面积为8； 故选：C． 5．对如图所示的变化顺序描述正确的是（    ） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．平移、轴对称、旋转 D．轴对称、平移、旋转 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称，平移以及旋转的定义，根据轴对称，平移以及旋转的定义判断即可． 【详解】解：由题意得：如图所示的变化顺序应为先轴对称，再平移，最后旋转， 故选：D. 6．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 7．下列图形中，对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，以及对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线是对称轴． 分别求出每一个图形的对称轴数量，即可求解． 【详解】解：A、有2条对称轴； B、有5条对称轴； C、有0条对称轴； D、有4条对称轴； ∴对称轴数量最多的B， 故选：B． 8．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）即可得． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，这个格子内标有的数字是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键． 9．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．与互余 B． C．与互补 D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ∵， ∴，即，故A不符合题意； ∴，故B不符合题意，D符合题意； ∵，故C不符合题意． 故选：D． 10．如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质，根据折叠的性质求解即可． 【详解】解：由折叠可得：，，，， 是边的中点， ，， 的面积恰好是面积的， ， ， 根据已知条件无法证明 故①、②皆错误， 故选：D． 二、填空题 11．如图，属于轴对称图形的有 ，成轴对称的图形有 ．（只填序号） 【答案】 ①③④⑧⑩ ②⑤⑦⑨ 【分析】轴对称图形是将一个图形沿着一条直线翻折后直线两侧部分能够完全重合的图形是轴对称图形，轴对称是一个图形沿着某条直线翻折后与另一个图形能够完全重合称这两个图形成轴对称. 【详解】解：属于轴对称图形的是①③④⑧⑩，属于成轴对称的图形是②⑤⑦⑨. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形和轴对称的定义. 12．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质进行判定即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的性质，如图所示， ∴该车的后5位号码实际上， 故答案为： ． 13．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可．解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为； 故答案为： 14．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴； 故答案为：5． 15．在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  【答案】 平移 翻折 翻折 旋转 【分析】本题考查平移，轴对称和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．把一个图形沿某条直线对折，可与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线对称，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．根据平移，轴对称，旋转的性质逐一分析即可． 【详解】解：第一组第一个图形通过平移可第二个图形重合； 第二组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第三组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第四组第一个图形通过旋转可第二个图形重合； 故答案为：平移，翻折，翻折，旋转 16．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形，即可求得答案． 【详解】解：如图，    ∴补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了利用轴对称设计图案的知识．掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，且对称轴为折痕所在的这条直线是解题关键． 17．如图，在中，，，，将沿直线折叠，恰好使点与点重合，直线交边于点，那么的周长是 ． 【答案】 【分析】由轴对称的性质可得，再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵将沿直线折叠，恰好使点与点重合， ∴， ∴的周长为：， ∵，， ∴的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟练的确定轴对称现象中的相等线段是解本题的关键． 18．如图，四边形是长方形（）．点E、F分别是边、上的任意点，连接、．将三角形与三角形分别沿着、翻折，点A、C的对应点分别是点、，当点、、D恰好在同一直线上时， 度． 【答案】45 【分析】首先根据长方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，，据此即可解答． 【详解】解：如图： 四边形是长方形， ， 将三角形与三角形分别沿着、翻折，点A、C的对应点分别是点、，点、、D恰好在同一直线上， ，，， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了翻折的性质，熟练掌握和运用翻折的性质是解决本题的关键． 三、解答题 19．找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：图①，图②，图③都是轴对称图形，对称轴如图所示． 20．如图，在的正方形网格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形．请你在图中，作出与成轴对称的格点三角形（要求所画图形不重复）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解． 【详解】解：如图所示，和即为所求（答案不唯一）． 21．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握画轴对称图形的方法是关键． （1）根据网格结构找出点、、关于的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）． 22．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 23．如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ， ， ． （2）与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 25．已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （）根据点的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用表示出和，根据题意列出方程即可求出结论； （）过点作于，用和表示出和，结合已知等式即可求解； 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）解：若点落在线段上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若点落在线段的延长线上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值或； （3）解：如图所示，过点作于， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.3 轴对称 教学目标 1. 知道轴对称图形的概念； 2. 了解轴对称的性质； 3. 画轴对称图形。 教学重难点 1.重点 （1）轴对称与轴对称图形的区别与联系； （2）轴对称的性质； （3）轴对称的有关作图及其应用。 2.难点 （1）利用轴对称的性质求解几何问题； （2）轴对称的综合应用。 知识点1 图形的翻折与轴对称图形 在日常生活及工作中，还会看到一类图形，将它们沿着某一条直线翻折，其在直线两边的部分能够重合.如图14-3-1,将“幕”在直线l左边的部分沿着直线l翻折，l两边的“喜”字重合.如图14-3-2中的京剧脸谱，将它在直线l左边的部分沿着l翻折，与右边部分重合. 如图14-3-3,三角形ABC和三角形A₁B₁C₁沿着直线l翻折后重合，点A与点A₁是对应点，线段AB与线段A₁B₁是对应线段，∠A与∠A₁是对应角. 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 线段、角、正方形和圆都是常见的轴对称图形. 【即学即练】 1．下列图案是轴对称图形的有（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，不是轴对称图形的一项是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 知识点2 轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 【即学即练】 1．如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，则的度数为 ． 3．从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 4．下面各图形中，（   ）的对称轴最少． A．长方形 B．正方形 C．半圆 D．圆 5．如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ． 6．如图，把长方形的一角沿折叠，使点A落在点F处，若，则 ． 知识点3 画轴对称图形 例 如图14-3-9(1),画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形.分析利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”,即四边形四个顶点关于直线l的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)过点A画直线l的垂线AO,垂足为0.延长AO到点A₁,使OA₁=OA,就得到点A关于直线l的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，分别画出点B、C、D关于直线l的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-3-9(2)所示.四边形A₁B₁C₁D₁就是四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形. 小结：（1）作对称点：①画垂线，作垂足；②延长，作相等； （2） 类似步骤(1)的操作，画出其他对称点； （3） 依次连接各对称点。 对称轴的作法： 在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴． 【即学即练】 1．如图，画出关于直线l对称的图形． 2．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半． 3．请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 4．如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 5．如图，将各图形补成关于直线l对称的图形． 题型01 判断轴对称图形 【典例1】．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型02 判断两个图形成轴对称 【典例1】．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1】．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式2】．下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，属于轴对称图形的有 ，成轴对称的图形有 ．（只填序号） 题型03 轴对称及其性质综合辨析 【典例1】．两个图形关于某直线对称，对称点一定(   ) A．这直线的两旁 B．这直线的同旁 C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上 【变式1】．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 【变式2】．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ） A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN 【变式3】．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 题型04 根据轴对称的性质求解 【典例1】．如图所示的蝴蝶结是一个轴对称图形．若，，那么下面的结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．如图，点D为的边AC上一点，点B，C关于DE对称，若，，则线段BD的长度为 ． 【变式2】．如图，和关于所在的直线对称，点在上，若，则图中阴影部分的面积为 ． 题型05 对称轴的条数 【典例1】．下列图形中，对称轴条数最多的是（     ） A．B．C． D． 【变式1】．下列与圆有关的轴对称图形中只有一条对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．下面图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 题型06 对称轴及其作图 【典例1】．如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做 ；这条直线就是它的 ． 【变式1】．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)． 【变式2】．如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【变式3】．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 题型07 折叠问题 【典例1】．如图，将沿折痕折叠，使边落在边上，则得到结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为15，则的周长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．21 【变式2】．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】．如图，长方形纸片沿线段折叠，点在边上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型08 作图题 【典例1】．如图所示，已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整： （1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______________； （2）分别延长DM，EP，FN至点____________，使______＝______，______＝______，______＝______； （3）顺次连结______，______，______，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL. 【变式1】．已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 【变式2】．画出四边形关于直线的轴对称的图形． 题型09 网格问题 【典例1】．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．    【变式1】．在网格中的位置如图所示，若以网格线所在直线为对称轴，作与成轴对称的图形，那么此网格中可以作出的的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有： ①1条对称轴； ②2条对称轴； ③4条对称轴． 题型10 台球问题 【典例1】．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【变式2】．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 一、单选题 1．中国文字是方块字，其形、音、结构、神韵都具美感对称美在汉字结构中十分常见，下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（   ） A．瑞 B．中 C．附 D．初 2．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A．B． C． D． 3．下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．若和关于直线l 对称，的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．对如图所示的变化顺序描述正确的是（    ） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．平移、轴对称、旋转 D．轴对称、平移、旋转 6．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 7．下列图形中，对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．与互余 B． C．与互补 D．平分 10．如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 二、填空题 11．如图，属于轴对称图形的有 ，成轴对称的图形有 ．（只填序号） 12．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上 ． 13．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ． 14．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    15．在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  16．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．    17．如图，在中，，，，将沿直线折叠，恰好使点与点重合，直线交边于点，那么的周长是 ． 18．如图，四边形是长方形（）．点E、F分别是边、上的任意点，连接、．将三角形与三角形分别沿着、翻折，点A、C的对应点分别是点、，当点、、D恰好在同一直线上时， 度． 三、解答题 19．找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴． 20．如图，在的正方形网格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形．请你在图中，作出与成轴对称的格点三角形（要求所画图形不重复）． 21．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 22．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 23．如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 24．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 25．已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $