专题03 轴对称重难点题型专训（3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学轴对称专题复习讲义通过分点梳理与表格对比系统构建知识体系，将两个图形成轴对称、性质及轴对称与轴对称图形的区别联系等3个核心知识点，按“定义-性质-应用”逻辑呈现，用对比表格清晰区分易混概念，突出对称轴、对称点等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“基础题型+拓展应用”的阶梯式练习设计，11大题型涵盖轴对称图形识别、折叠问题等，如“台球桌面上的轴对称问题”引导学生用几何直观分析现实情境，拓展训练中的规律问题培养推理意识。每个题型配经典例题与即时训练，基础学生可夯实概念，优秀学生能深化空间观念，助力教师实施精准分层教学。

专题03 轴对称重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 台球桌面上的轴对称问题 题型六 轴对称中的光线反射问题 题型七 折叠问题 题型八 画对称轴 题型九 求对称轴条数 题型十 镜面对称问题 题型十一 画轴对称图形 拓展训练一 根据成轴对称性质求角度 拓展训练二 轴对称中折叠问题 拓展训练三 轴对称性质的规律问题 知识点一：两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A．B． C．D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  知识点二：两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）下面图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B．C．D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）轴对称图形的对称轴 连结两个对称点的线段． 成轴对称的两个图形是 图形． 知识点三：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知和关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①；②；③直线l垂直平分线段；④直线BC和直线的交点不一定在直线l上．其中正确的结论有 （选填正确的序号）．    【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）五个大小完全相同的正方形按如图所示的位置摆放，再添加一个大小完全相同的正方形与原来的图形构成轴对称图形，则添加的小正方形是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．如图有关环保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ，（填序号）   　　　 　　   3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个. 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的两个共同特征： 特征1：______； 特征2：______． (2)请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同） 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（    ） ①可由沿方向平移一定的距离得到；②可由绕点顺时针旋转一定的角度得到；③可由沿直线翻折得到；④不可由通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课堂例题）如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是 ．（填序号） 4．（24-25七年级上·上海长宁·期中）各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如图是由正六边形和等边组合在一起的轴对称图形，请仅用无刻度的直尺（画图过程用虚线，画图结果用实线），分别按下列要求作图． (1)在图1中，画出一条与平行的直线； (2)在图2中，画出组合图形的对称轴． 【经典例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例4】（24-25七年级上·上海虹口州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值分别是（    ） A．5，6 B．5，8 C．6，6 D．6，8 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，已知四边形与四边形关于直线成轴对称，则点，，，的对称点分别是点 ； ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地吃草，再牵马去河边喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？ 【经典例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例5】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 1．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 4．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【经典例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例6】（2025·上海宝山·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 1．（2025·上海长宁·模拟预测）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 4．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）． 【经典例题七 折叠问题】 【例7】（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，将一张长方形纸按图中虚线对折，再沿直线剪开，再把它展开后得到，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（   ） A．四边形 B．四边形 C． D． 2．（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为 ． 3．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，折痕为，点M、N分别在边，上，点C，D的对应点分别为E，F，且点F在平行四边形内部，的延长线交于点G．交边于点H．，，，当点H为三等分点时，的长为 ． 4．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 画对称轴】 【例8】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 4．（25-26七年级上·上海闵行·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，也在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后所得的； (3)与组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【经典例题九 求对称轴条数】 【例9】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）下列图形中，对称轴最多的是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形 1．（2025七年级上·上海普陀·专题练习）如图所示的图形为轴对称图形，该图形的对称轴条数为（    ）    A．1 B．3 C．5 D．6 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴． 3．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【经典例题十 镜面对称问题】 【例10】（25-26七年级上·上海崇明·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（ ） A．W17639 B．W17936 C．M17639 D．M17936 2．（24-25七年级上·上海闵行·月考）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）操作与探究． (1)分别画出图①中“”和“”关于直线l的对称图形(画出示意图即可)． (2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是什么？ (3)把字母“”和“”写在薄纸上，观察纸的背面，写出你看到的字母背影． (4)小明站在五个学生的身后，这五个学生正向前方某人用手势示意一个五位数，从小明站的地方看(如图③所示)，这个五位数是23456．请你判断出他们示意的真实五位数是多少？ 【经典例题十一 画轴对称图形】 【例11】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在格纸范围内，与成轴对称的格点三角形的个数为（   ）个． A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，是由经过图形的变换得到的，可以看作经过怎样的图形变化得到？下列结论：①一次旋转，一次轴对称；②一次平移，一次轴对称；③2次轴对称；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【拓展训练一 根据成轴对称性质求角度】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，与关于直线对称，其中，．    (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长和的面积． 3．（25-26七年级上·上海松江·期中）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【拓展训练二 轴对称中折叠问题】 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图1，已知长方形的纸片． (1)如图2，将纸片沿折叠，使落在边上，则______°； (2)如图3，将纸片沿，折叠，使，的对应边，重合，求的度数； (3)如图4，将纸片沿，折叠，使，的对应边，重合，求的度数； 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）数学活动：折纸中的数学 【知识背景】 我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．    如图4.3﹣11是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1，点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是________； 【类比再探】 （2）如图2，将长方形纸片分别沿直线折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，求的度数； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； 【拓展探究】 （3）将长方形纸片分别沿直线折叠，使点A，B，C分别落在点，，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）．    【拓展训练三 轴对称性质的规律问题】 1．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）（1）如图，在图中画出关于轴对称的，通过观察对称点的坐标特征，归纳规律：点关于轴对称的点的坐标是______； （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，并直接写出三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是______； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是______． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以__________， 所以射线__________是__________的角平分线． 拓展应用 （2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题； ①若，则的度数为__________， ②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程） 3．（25-26七年级上·上海静安·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）【跨学科·化学】如图是常见的化学仪器平面示意图，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 6．（24-25七年级上·上海杨浦·课前预习）把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ． 7．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是 ，的对应角是 ． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 9．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）如图，内有一点P，点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为 ． 10．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，三角形中，，点D是上一点，将沿折叠，恰好使点C落在点E处，E在上．则的周长为 ． 11．（24-25七年级上·上海青浦·课后作业）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 12．（24-25七年级上·上海徐汇·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 13．（24-25七年级上·上海闵行·期末）两个全等的三角形，可以拼出不同的轴对称图形．已知，，请在图①②③④中分别画出与全等的另一个三角形，使它与组成一个轴对称图形，并画出它的对称轴． 14．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点为格点，在所给的网格中，按要求作图． (1)在图1中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称，且点，为格点； (2)在图2中，画一个，使与关于某条直线对称，且点为格点． 15．（24-25七年级上·上海虹口·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 台球桌面上的轴对称问题 题型六 轴对称中的光线反射问题 题型七 折叠问题 题型八 画对称轴 题型九 求对称轴条数 题型十 镜面对称问题 题型十一 画轴对称图形 拓展训练一 根据成轴对称性质求角度 拓展训练二 轴对称中折叠问题 拓展训练三 轴对称性质的规律问题 知识点一：两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  【答案】 平移 翻折 翻折 旋转 【分析】本题考查平移，轴对称和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．把一个图形沿某条直线对折，可与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线对称，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．根据平移，轴对称，旋转的性质逐一分析即可． 【详解】解：第一组第一个图形通过平移可第二个图形重合； 第二组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第三组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第四组第一个图形通过旋转可第二个图形重合； 故答案为：平移，翻折，翻折，旋转 知识点二：两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）下面图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）轴对称图形的对称轴 连结两个对称点的线段． 成轴对称的两个图形是 图形． 【答案】 垂直且平分 全等 【分析】根据轴对称图形的性质，对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，以及成轴对称的两个图形是全等图形，进行作答即可． 【详解】解：轴对称图形的对称轴垂直且平分连结两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形． 故答案为：垂直且平分；全等． 【点睛】本题考查轴对称图形以及成轴对称的两个图形的性质．熟练掌握对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，成轴对称的两个图形是全等图形，是解题的关键． 知识点三：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据图示的裁剪，判定左上角，左下角，右下角的图示形状即可求解． 【详解】解：根据裁剪结合图示可得，左上角，即正方形垂直方向上是含有线段的图形，左下角，即正方形中间部分是含有线段的图形，右下角，即正方形水平方向是含有曲线的图形， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知和关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①；②；③直线l垂直平分线段；④直线BC和直线的交点不一定在直线l上．其中正确的结论有 （选填正确的序号）．    【答案】①②③ 【分析】利用轴对称的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，，直线垂直平分线段，直线BC和直线的交点一定在直线l上， 即正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上． 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形特征．轴对称图形的定义是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，利用轴对称图形定义对各选项一一进行分析解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）五个大小完全相同的正方形按如图所示的位置摆放，再添加一个大小完全相同的正方形与原来的图形构成轴对称图形，则添加的小正方形是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 直接利用轴对称图形的定义得出答案． 【详解】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④处． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．如图有关环保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ，（填序号）   　　　 　　   【答案】①③④ 【分析】根据轴对称图形的定义，即可进行解答． 【详解】解：①不是轴对称图形，符合题意； ②是轴对称图形，不符合题意； ③不是轴对称图形，符合题意； ④不是轴对称图形，符合题意； 综上：不是轴对称图形的有①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个. 【答案】5 【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知. 【详解】解：如图： 与成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为，，，，，共有5个. 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的两个共同特征： 特征1：______； 特征2：______． (2)请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同） 【答案】(1)都是轴对称图形，阴影部分面积都为4 (2)见解析 【分析】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）根据两个特征解决问题即可． 【详解】（1）解：这四个图案都具有的两个共同特征是：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4． 故答案为：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4． （2）解：如图所示： 【点睛】本题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（    ） ①可由沿方向平移一定的距离得到；②可由绕点顺时针旋转一定的角度得到；③可由沿直线翻折得到；④不可由通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移、旋转、轴对称变换，逐项判断即可，熟练掌握图形的平移、旋转、轴对称变换是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移，不能和重合，故①错误； 绕点顺时针旋转能和重合，故②正确； 和关于直线轴对称，即可由沿直线翻折得到，故③正确； 可由沿直线翻折得到，也可由绕点顺时针旋转得到，故④错误； ∴正确的有②③这个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：①一个轴对称图形可以有多条对称轴，正确； ②成轴对称的两个图形一定全等，正确； ③若两个图形关于某直线对称，它们的对应点可能都在对称轴上，原说法错误； ④若点A，B关于直线对称，则且平分，原说法错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可； 【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称， ∴S△CEF=S△BEF， ∴阴影部分的面积=S△ABC=×10=5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．根据轴对称的性质解答． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，但不一定相等， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课堂例题）如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    【答案】 直线 线段 3 90 【分析】根据轴对称的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∵， ∴， 故答案为：直线，线段，3，90． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴垂直平等对应点连线． 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP，△AMP≌△BMP， ∴①②③⑤正确，而④错误． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海长宁·期中）各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如图是由正六边形和等边组合在一起的轴对称图形，请仅用无刻度的直尺（画图过程用虚线，画图结果用实线），分别按下列要求作图． (1)在图1中，画出一条与平行的直线； (2)在图2中，画出组合图形的对称轴． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用正六边形的对边平行性质，画出与平行的直线即可； （2）利用正六边形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，分别延长，，相交于点，作直线GM即可． 【详解】（1）解：如图1，直线AD和直线BC均满足题意． （2）如图2，分别延长，相交于点，作直线，则直线即为所求． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换、平行线的判定与性质、等边三角形的性质、正多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例4】（24-25七年级上·上海虹口州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】连接交于点M，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接交于点M， ∵点，关于对称， ∴，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值分别是（    ） A．5，6 B．5，8 C．6，6 D．6，8 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，已知四边形与四边形关于直线成轴对称，则点，，，的对称点分别是点 ； ， ， ， ． 【答案】 ，，， 【详解】本题考查了成轴对称的概念，掌握成轴对称的概念是解题的关键． 根据成轴对称的概念写出对称点、对应线段，对应角即可． 解：由成轴对称可知，点，，，的对称点分别是点，，，；，，，， 故答案为：，，，；；；；． 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得出，根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：由轴对称可知：，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地吃草，再牵马去河边喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称作图，分别作点关于的对称点，，连接，与，的交点即为将军牵马吃草和饮水的地点． 【详解】解：如图，将军先牵马去草地上的点吃草，再牵马去河边上的点喝水，再回到驻地A，路程最短． 【经典例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例5】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】解：如图， ∵A，P关于BD对称， ∴∠AQB=∠PQB， ∵∠PCB＞∠PQB， ∴∠PCB＞∠AQB， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【答案】见解析 【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线． 【详解】如图所示：运动路线：． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质． 【经典例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例6】（2025·上海宝山·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】分别作出点A关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点． 【详解】①分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″； ②连接A′、A″，分别交OM，ON于点B、点C，连接AB、AC、BC，则△ABC即为所求． 【点睛】此题主要考查了作图−复杂作图，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 【经典例题七 折叠问题】 【例7】（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，将一张长方形纸按图中虚线对折，再沿直线剪开，再把它展开后得到，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了剪纸问题，轴对称图形．依据折叠即可得到，进而得出是的对称轴，据此求解即可． 【详解】解：由题可得，是的对称轴， ∴， ，， 根据已知条件无法得出，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（   ） A．四边形 B．四边形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰直角三角形的两个底角是，折叠前后的对应边相等，对应角相等．先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵三角形是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，    ∴，， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】/0.3 【分析】本题考查折叠问题以及三角形的面积，由折叠性质可得①，过作于，交的延长线于，由三角形面积公式得②，①-②得，，然后由三角形的和差倍分可得答案． 【详解】解：由折叠可知≌， ， ， ①， 过作于，交的延长线于， ， ， ， ， ②， 得，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，折痕为，点M、N分别在边，上，点C，D的对应点分别为E，F，且点F在平行四边形内部，的延长线交于点G．交边于点H．，，，当点H为三等分点时，的长为 ． 【答案】或 【分析】由折叠得，，，证明得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当时，， ∵将平行四边形纸片折叠，折痕为，，， ∴，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点G作交延长线于点P，过点D作交延长线于点T，得矩形， 则，， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴. 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键. 4．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：中，，，， ， 是边上的中线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， 将沿翻折得到， ，， ， 是的中位线， ， ， 设，则， 在中，， ， 即当点是边的中点时，的长为； （2）解：由（1）知， ， 将沿翻折得到， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， （经检验是原方程的根） ； （3）解：①如图，当时， ，， ， ， ， 作于， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【经典例题八 画对称轴】 【例8】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形对称轴的画法即可得到结果． 【详解】解：∵该图形是轴对称图形，可画出条对称轴， 故选． 【点睛】本题考查的轴对称图形对称轴的画法，根据图形画出对称轴是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的意义和性质解答． 【详解】解：A、如图，A是轴对称图形； B、如图，B是轴对称图形； C、找不到一条直线，使得C沿这条直线对折后两边完全重合，所以C不是轴对称图形； D、如图，D是轴对称图形； 故选C ． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别与对称轴的绘制，熟练掌握轴对称图形的意义和性质是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 【答案】垂直平分线（或中垂线） 【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解． 【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分， ∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 故答案为：垂直平分线（或中垂线）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 4．（25-26七年级上·上海闵行·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，也在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后所得的； (3)与组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)与组成的图形是轴对称图形，画对称轴见解析． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，旋转变换，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据轴对称的性质，作出各对应点即可求解； （）将，，，沿点顺时针旋转即可得出对应点，然后连接即可； （）利用轴对称图形性质，画出对称轴即可． 【详解】（1）解：如图，作点，，关于直线对称，所以即为所求； （2）解：如图，作点，，，沿点顺时针旋转，所以即为所求； （3）解：与组成的图形是轴对称图形，作对称轴如图， 所以直线即为所求． 【经典例题九 求对称轴条数】 【例9】（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）下列图形中，对称轴最多的是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查了对称轴的定义，根据对称轴的定义解答即可求解，掌握对称轴的定义是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形有条对称轴，等边三角形有条对称轴，长方形有条对称轴，正方形有条对称轴， ∴对称轴最多的是正方形， 故选：． 1．（2025七年级上·上海普陀·专题练习）如图所示的图形为轴对称图形，该图形的对称轴条数为（    ）    A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：    由图可知该图形的对称轴有5条． 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴． 【答案】3/三 【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可得到答案． 【详解】解：由三个一样的圆组成图形如图所示， 它有3条对称轴． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形性质来判断，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可得出答案． 【详解】（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形，轴对称图形对应线段相等，对应角相等，说法正确； （2）成轴对称的两个图形的对称轴可能在图形中间，说法不正确； （3）等边三角形三边相等，角相等，是轴对称图形且有三条对称轴，说法正确， 故答案为：2 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的性质，对称轴数量的判断是解题关键． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【答案】(1)图见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键； （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用轴对称图形的性质求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：这样的添加方法共有4种，如下图： 【经典例题十 镜面对称问题】 【例10】（25-26七年级上·上海崇明·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（ ） A．W17639 B．W17936 C．M17639 D．M17936 【答案】D 【分析】根据镜面对称的特点可直接得出答案． 【详解】根据汽车车牌在水中的倒影与实际的车牌成镜面对称，可知该车的牌照号码是M17936， 故选：D． 【点睛】本题主要考查镜面对称的应用，掌握镜面对称的特点是关键． 2．（24-25七年级上·上海闵行·月考）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）操作与探究． (1)分别画出图①中“”和“”关于直线l的对称图形(画出示意图即可)． (2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是什么？ (3)把字母“”和“”写在薄纸上，观察纸的背面，写出你看到的字母背影． (4)小明站在五个学生的身后，这五个学生正向前方某人用手势示意一个五位数，从小明站的地方看(如图③所示)，这个五位数是23456．请你判断出他们示意的真实五位数是多少？ 【答案】（1）详见解析；(2)见解析；(3) “”和“”；(4)他们示意的真实五位数是42635，图见解析. 【分析】（1）对应点应到的距离相等，找出几个关键点画出即可； （2）实物和镜子里的像，是关于镜面成轴对称，利用（1）即可求解； （3）正反两面的字关于这张纸成轴对称，利用（1）求解； （4）这5个数和所求的5个数同（3）一样，是成轴对称的； 【详解】（1）如图所示， (2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是“”和“”． (3) 把字母“”和“”写在薄纸上，观察纸的背面，看到的字母背影分别是“”和“”． (4)他们示意的真实五位数是42635，如图所示． 【经典例题十一 画轴对称图形】 【例11】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在格纸范围内，与成轴对称的格点三角形的个数为（   ）个． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，当对称轴在竖直方向时，满足条件的三角形有1个， 当对称轴在水平方向时，满足条件的三角形有5个， 当对称轴与水平方向成方向时，满足条件的三角形有4个， 共（个， 故选：C 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，是由经过图形的变换得到的，可以看作经过怎样的图形变化得到？下列结论：①一次旋转，一次轴对称；②一次平移，一次轴对称；③2次轴对称；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：先将绕点旋转至如图所示的位置， 再将所得的三角形沿线段的垂直平分线翻折，即可得到；①正确； 先将沿方向平移，使和重合，然后将所得的三角形沿线段的垂直平分线翻折，如图所示： 即可得到；②正确； 两次轴对称不能将变换得到．③不正确； 先将沿着直一条直线翻折，得如图所示的一个三角形 再将所得的三角形沿一直线翻折，得如图所示的三角形， ④ 最后将所得的三角形沿着一直线翻折，即可得到． 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】5 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有5种画法． 【详解】解：依题意，如图： 有5个位置使之成为轴对称图形， 故答案为：5． 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可； （2）利用轴对称图形的性质补全图形即可． 【详解】（1）解：作图如下：    （2）解：作图如下：    【拓展训练一 根据成轴对称性质求角度】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）由轴对称的性质可知，进而可得的度数； （2）由轴对称的性质可知，则，，求出，即可求出的度数； （3）同（2）得，，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵是点P分别关于，的对称点， ∴， ∵ ∴ 故答案为： （2）解：因为分别为点P关于AB，BC的对称点， 所以由轴对称可知， 所以． 同理可得． 因为， 所以， 所以； （3）解：同（2）可得，， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，与关于直线对称，其中，．    (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长和的面积． 【答案】(1)垂直平分 (2) (3)的周长为，的面积为 【分析】（1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分可以得到； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到周长和面积相等； 【详解】（1）解：（1）∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的周长； 的面积． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握关于某条直线对称的两个图形全等． 3．（25-26七年级上·上海松江·期中）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，，由平角的性质可得，再由，即可求解； （2）同（1）的方法求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， ，， ， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ，，， ， ． 【拓展训练二 轴对称中折叠问题】 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图1，已知长方形的纸片． (1)如图2，将纸片沿折叠，使落在边上，则______°； (2)如图3，将纸片沿，折叠，使，的对应边，重合，求的度数； (3)如图4，将纸片沿，折叠，使，的对应边，重合，求的度数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键． （1）由折叠知，再根据即可求解； （2）由折叠知，，再根据即可求解； （3）由折叠知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠知， 由题意得： ； 故答案为：； （2）由折叠可知： ， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知：，， ． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或，详见解析 【分析】本题主要考查折叠问题，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）由折叠的性质得，进而可得，再根据平角的定义求解； （2）由折叠的性质得，，再根据，可得； （3）分点在点的左侧、右侧两种情况，结合折叠的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 即； （3）解：，，之间的数量关系为：或 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ∴， ∴； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ∴， ∴， 综上所述，，，之间的数量关系为：或． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）数学活动：折纸中的数学 【知识背景】 我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．    如图4.3﹣11是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1，点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是________； 【类比再探】 （2）如图2，将长方形纸片分别沿直线折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，求的度数； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； 【拓展探究】 （3）将长方形纸片分别沿直线折叠，使点A，B，C分别落在点，，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）．    【答案】（1）；（2）①②（3） 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）①根据、、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； （3）结合（2）的推理过程即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； （3）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练三 轴对称性质的规律问题】 1．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）（1）如图，在图中画出关于轴对称的，通过观察对称点的坐标特征，归纳规律：点关于轴对称的点的坐标是______； （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，并直接写出三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是______； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是______． 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，；；（3） 【分析】此题考查了轴对称的作图和轴对称的规律，准确作图是关键． （1）作出关于轴对称的对称点，顺次连接即可得到，再归纳规律即可； （2）作出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点，顺次连接即可得到，再归纳规律即可； （3）根据（1）（2）得到规律即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点关于轴对称的点的坐标是； 故答案为：； （2）解：如图，即为所求，三点的坐标分别为， 归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是； 故答案为： （3）解：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是． 故答案为： 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以__________， 所以射线__________是__________的角平分线． 拓展应用 （2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题； ①若，则的度数为__________， ②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程） 【答案】（1）；（2）①，②的度数始终是 【分析】本题考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，掌握折痕为角平分线，是解题的关键． （1）根据折叠，得到，进而根据角平分线的定义，得到平分，即可； （2）①根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可；②根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1）因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以， 所以射线是的角平分线． （2）①由题意，得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②的度数始终是， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·上海静安·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平面镜反射定律的应用，掌握平面镜反射定律中反射角等于入射角是解题的关键． （1）猜想：．　根据平面镜的反射定律及三角形内角和定理验证即可； （2）将代入（1）问中的结论，计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）． 理由如下：如图2，根据平面镜反射光线规律，知，， ∴， 又， ∴，即． （2）由（1）知， 当，． 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）【跨学科·化学】如图是常见的化学仪器平面示意图，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，结合图形逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，此时点P的位置即为所求，据此可得答案． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可． 【详解】解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·课前预习）把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ． 【答案】 某一条直线 成轴对称 成轴对称 对称轴 对称点 【解析】略 7．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是 ，的对应角是 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称性质，根据轴对称性质求解即可． 【详解】根据题意得，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 9．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）如图，内有一点P，点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，熟知如果两个图形关于这条直线对称，那么这两个图形的对应点的连线被这条直线垂直平分是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可求出的长． 【详解】解：点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N， ，， 的周长是， ， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，三角形中，，点D是上一点，将沿折叠，恰好使点C落在点E处，E在上．则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得出相等的线段．根据翻折变换的性质可得，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：沿折叠点C落在边上的点E处， ， ， 的周长． 故答案为：11． 11．（24-25七年级上·上海青浦·课后作业）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【答案】不可以 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：因为找不到一条直线使沿着这条直线对折后与互相重合， 所以不可以看作由经过轴对称得到． 12．（24-25七年级上·上海徐汇·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 13．（24-25七年级上·上海闵行·期末）两个全等的三角形，可以拼出不同的轴对称图形．已知，，请在图①②③④中分别画出与全等的另一个三角形，使它与组成一个轴对称图形，并画出它的对称轴． 【答案】画图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据画出的三角形与已知的三角形关于某条直线成轴对称，分别作图，即可作答． 【详解】解：答案不唯一，如： 如图， 对称轴为直线； 对称轴为直线， 对称轴为直线， 对称轴为直线. 14．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点为格点，在所给的网格中，按要求作图． (1)在图1中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称，且点，为格点； (2)在图2中，画一个，使与关于某条直线对称，且点为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作轴对称图形，掌握轴对称图形的含义是解题的关键： （1）是网格的对角线，在正方形网格中找一个或的长方形网格的对角线，且不与重合，关于某条直线与对称的即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 15．（24-25七年级上·上海虹口·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转，；（2）①，②． 【分析】本题考查了中心对称、轴对称性质． （1）由图形的变换可知，可以看作是由通过一次旋转可得，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：，由此即得出； （2）由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②连接、、，由对称的性质可得，，由此可得． 【详解】解：（1）由题意可以，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴可以看作是由通过绕旋转的度数得到． 故答案为：旋转，． （2）①由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②结论：． 连接、、， 由对称性质可知：，， ∵两条对称轴之间的夹角， 旋转角， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $