第三章代数式小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测）2025-2026学年人教版七年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第三章代数式小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测）（解析版） 知识点1 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【注意】 1.单个数字与字母也是代数式; 2.代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; 3.代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 知识点2 代数式的书写规则 1. 代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.数字与数字相乘，乘号不能省略； 4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 知识点3 列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 知识点4 代数式的意义 代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系 知识点5 代数式的求值 1.已知字母的值，直接代入求代数式的值； 2.已知式子的值，整体代入求代数式的值. 考点1 代数式的识别 例1．下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的定义，解题的关键是熟记代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式，据此判断即可． 【详解】解：A．是代数式； B．是代数式； C．0是代数式； D．不是代数式． 故选：D． 举一反三1 1．在中，是代数式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】此题主要考查了代数式的定义．代数式是由数、字母和运算符号组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，单个的数字或字母也是代数式，注意不能含有、、、、、等符号．根据代数式的定义直接判断即可． 【详解】解：，，，含有、、， ∴不是代数式， 是代数式的有，，，，共4个． 故选：B． 2．在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的概念．代数式即用运算符号把数与字母连接起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可． 【详解】解：在，0，π，，，，中， 代数式有：0，π，，，，，共6个， 故选：C． 3．在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可． 【详解】解：10， 10，，，是代数式； 故选：B． 考点2代数式的书写规则 例2．下列代数式书写规范的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：．通常写成的形式，故该选项不符合题意； ．通常写成的形式，故该选项不符合题意； ．通常写成的形式，故该选项不符合题意； ．符合代数式书写规范，故该选项符合题意； 故选D． 举一反三2 1．下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B．元 C． D． 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】此题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解本题的关键．按照代数式的书写要求判断即可． 【详解】解：A、代数式为，原代数式书写不符合题意； B、代数式本身不应带单位，有单位要写成元，原代数式书写不符合题意； C、代数式为，原代数式书写符合题意； D、代数式为，原代数式书写不符合题意， 故选C． 2．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写规则，对各小题的代数式进行判断，即可求出答案． 【详解】解：（1）中分数不能为带分数，故原式书写错误； （2）数与字母相乘要数在前，字母在后并省略乘号，故原式书写错误； （3）书写正确； （4）除号应用分数线，故原式书写错误； （5）书写正确； （6）吨应加括号，故原式书写错误； 符合代数式书写要求的有2个． 故选：D． 3．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的写法；在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号；据上逐一判断即可，解题的关键是掌握代数式的书写要求． 【详解】解：①，书写规范，符合代数式的书写； ②应写成或，原写法不规范，不符合代数式的书写； ③应写成，原写法不规范，不符合代数式的书写； ④，书写规范，符合代数式的书写； ⑤米，应写成米，原写法不规范，不符合代数式的书写； 故答案为：①④． 考点3 列代数式 例3．一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，解答关键是明确十位上的数字表示几个十．一个两位数，十位上的数字是y，表示y个十，即，个位上的数字是x，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为． 故答案为：． 举一反三3 1．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小，若将个位往上拨4粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是 ． 【答案】624 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了算盘的计算原理，理解计算原理是解题的关键．根据算盘的计算原理分别求出各数位上的数字，即可得解． 【详解】解：由题可知，个位上的数为4，十位上的数为2，百位上的数为6， ∴此时算盘表示的数是624， 故答案为：624． 2．读古诗，完成下面习题．（设唐代的一尺相当于现在的a米） 望庐山瀑布 日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川． 飞流直下三千尺，疑是银河落九天 （1）诗中的“三千尺”相当于现在的 米． （2）若唐代的一千尺约现在的307米，则a约等于 ． 【答案】 0.307 【知识点】有理数乘法的实际应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，有理数除法的实际应用． （1）根据一尺相当于现在的a米，利用乘法的意义列出代数式即可； （2）根据一尺相当于现在的a米，利用除法的意义列式计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，诗中的“三千尺”相当于现在的米； （2）若唐代的一千尺约现在的307米，则a约等于． 故答案为：，． 3．甲、乙二人分别从两地出发相向而行，甲比乙早出发1小时，乙出发3小时后他们相遇，两人继续行走2小时后，甲到达地，则乙还需 小时到达地． 【答案】4 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了行程问题的数量关系的运用，此题要知道把路程看作单位“1”，关键是利用路程、速度、时间之间的关系式进行计算． 假设两地路程为1，然后利用路程、速度、时间之间的关系式进行求解即可． 【详解】解：假设两地路程为1， 根据题意得，甲走完全程所用时间为：（小时）， 两人相遇后，甲用2小时到达地，此段路程为全程的， 这段路程也是乙在相遇前3小时所走的路程，即乙用了3小时走了这段路程的， ∴乙走完全程所用时间为（小时）， ∴甲到达地，乙到达地还需时间为（小时）， 故答案为：4． 考点4判断正（反）比例关系 例4．、两城相距240千米，四种不同的交通工具从城到城的速度和所用的时间如下表．先填表，再根据表中的数据回答下列各题． 交通工具 轿车 豪华大客车 货车 自行车 速度（千米时） 120 60 时间/时 3 12 (1)表中两个量的积代表什么？有什么变化？ (2)速度和所用时间成什么比例？为什么？ 【答案】(1)填表见解析，两个量的积代表的是路程，路程不变 (2)成反比例，理由见解析 【知识点】有理数除法的应用、正（反）比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的应用，熟练掌握反比例关系的定义是解题的关键． （1）利用路程速度时间，结合利用、两城相距240千米即可求解； （2）利用反比例关系的定义（两个相关联的量，一个量变换，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系）即可判断． 【详解】（1）解：当轿车的速度为120千米时时，时间为（小时）； 当豪华大客车的时间为3小时时，速度为（千米时）； 当货车的速度为60千米时时，时间为（小时）； 当自行车的时间为12小时时，速度为（千米时）； 故填表为： 交通工具 轿车 豪华大客车 货车 自行车 速度（千米时） 120 80 60 20 时间时 2 3 4 12 第一个量表示速度，第二个量表示时间，则这两个量的积是速度时间，代表的是路程， 因为、两城相距240千米，不变， 所以路程不变； （2）解：因为速度时间路程，路程不变， 所以速度和所用时间成反比例． 举一反三4 1．某工艺品厂每天要生产一批某种型号工艺品，每名工人一天能做工艺品的数量与所需工人的人数如下表所示． 每名工人一天能做工艺品的数量（个） 20 30 40 … 所需工人的人数（人） 6 4 3 … (1)求该工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品多少个？ (2)所需工人的人数是怎样随着每名工人一天能做工艺品的数量的变化而变化的？ (3)分别用x，y表示每名工人一天能做工艺品的数量和所需工人的人数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ 【答案】(1)120个 (2)所需工人的人数随着每名工人一天能做工艺品的数量的增大而减小 (3)，x与y成反比例关系 【知识点】两个有理数的乘法运算、正（反）比例关系 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则成反比例关系． （1）根据表格即可求解； （2）根据表格即可求解； （3）根据可得x与y成反比例关系 【详解】（1）解：由表格可得：（个）， 答：工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品120个； （2）解：由表格可得，所需工人的人数随着每名工人一天能做工艺品的数量的增大而减小； （3）解：由表格可得， ∴x与y成反比例关系． 2．小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)3000字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小 (3)，t与v成反比例关系 【知识点】有理数乘法的实际应用、正（反）比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键． （1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的； （3）由于总字数一定，则完成录入的时间t与录入文字的速度v的乘积一定，为3000，则可知t与v成反比例关系． 【详解】（1）解：， 即这篇社会调查报告共有3000字； （2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小； （3）解：∵总字数一定，为， ∴， ∴t与v成反比例关系． 3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 (1)每包的本数和包数成什么比例？为什么？ (2)如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 【答案】(1)填表见解析；每包的本数和包数成反比例，理由见解析 (2)如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本 【知识点】有理数乘除混合运算、正（反）比例关系 【分析】本题考查了有理数的混合运算，成反比例关系，熟练掌握成反比例的定义是解题的关键． （1）先求出一批《百科全书》的数量，再由数量除以每包的本数即为包数，即可填表；根据两个变量的乘积为常数，即可判断每包的本数和包数成反比例； （2）根据每包的本数、包数、总数之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 则填表如下： 每包的本数 10 20 40 包数 60 30 15 由于， 所以两个变量的乘积为常数， ∴每包的本数和包数成反比例； （2）解：由题意得，（包），（本）， 答：如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本． 考点5 代数式的实际意义 例5．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明． 【答案】苹果每千克元，用100元买2千克苹果，应找回多少钱？（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了用代数式表示数量关系； 根据数量关系进行举例即可． 【详解】解：苹果每千克元，用100元买2千克苹果，应找回多少钱？ 举一反三5 1．说出下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的2倍与的3倍的和 (2)m与n的差的3倍 (3)a的平方与1的和 (4)a的3倍与b的5倍的商 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了用代数式表示数量关系； （1）根据运算符号和运算顺序可得答案； （2）根据运算符号和运算顺序可得答案； （3）根据运算符号和运算顺序可得答案； （4）根据运算符号和运算顺序可得答案． 【详解】（1）解：表示的2倍与的3倍的和； （2）表示m与n的差的3倍； （3）表示a的平方与1的和； （4）表示a的3倍与b的5倍的商． 2．请你用实例解释下列代数式的意义： (1)； (2)． 【答案】(1)一个笔记本5元，一支钢笔10元，购买a本笔记本和b支钢笔需要多少钱？ (2)衣服刚开始每件售价x元， 后面每件售价下降，现在每件售价多少元？ 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的实际意义． （1）根据代数式的表达，可得代数式现实的意义； （2）根据代数式表示，赋予实际意义即可． 【详解】（1）解：一个笔记本5元，一支钢笔10元，购买a本笔记本和b支钢笔需要多少钱？（答案不唯一） （2）解：衣服刚开始每件售价x元， 后面每件售价下降，现在每件售价多少元？（答案不唯一） 3．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明． 【答案】见解析 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查的是代数式的实际意义，设一列高铁的速度是x千米/小时，再根据代数式进行表述即可． 【详解】解：一列高铁的速度是x千米/小时，某列快车的速度比这列高铁速度的再多12千米小时，则这列快车的速度是千米/小时．（答案不唯一） 考点6用代数式表示数式、图形规律 例6．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 【答案】(1)13 (2)16 (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】（1）（2）（3）找到规律即可解答：第n个图案有张白色小正方形纸片．本题考查图形的规律，找到规律是解题关键． 【详解】（1）解：第①个图案有4个白色小正方形， 第②个图案有个白色小正方形， 第③个图案有个白色小正方形， 第④个图案有个白色小正方形， 故答案为：13； （2）解：第⑤个图案有个白色小正方形， 故答案为：16； （3）解：第n个图案有张白色小正方形纸片． 举一反三6 1．（1）已知数列的前n项和为（n为正整数），求，的通项公式； （2）已知数列满足（n为正整数），求数列的通项公式． 【答案】（1）；；（2） 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查数字类规律，正确理解计算是解题的关键． （1）利用与的关系求通项公式； （2）由得，两式相减即可解答． 【详解】解：（1）当时，， 当时，（首项符合）， ； （2）①， ②（）， 得， （）， 当时，，符合上式， ． 2．数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 【答案】（1）；（2）（3）；（4）（5），；（6） 【知识点】乘方的应用、列代数式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查列代数式，根据图形的面积求解即可； （1）根据正方形面积公式列代数式即可； （2）根据图形面积比较大小即可； （3）根据阴影部分面积为大正方形减去周围四个三角形面积求解即可； （4）根据每分割一次剩余空白部分面积就乘以求解即； （5）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为，求解即可； （6）根据第次分割图得规律求解即可． 【详解】解： （1）大正方形面积可表示为， 故答案为：； （2）由图可以发现面积为的图形是大正方形的一部分， ∴， 故答案为：． （3）对比图②可得大正方形面积为， ∴可得图③中阴影部分长方形的面积为， 故答案为：； 如图④， ，…； （4）第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为，空白部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， 故答案为：； （5）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 故答案为：，； （6）根据第n次分割图可得：阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 ， 故答案为：． 3．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ①； ②； ③； ④______； ⑤______． (1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； (2)猜想第（是正整数）个图形相对应的等式为______． 【答案】(1)④；⑤ (2) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题是对图形变化规律的考查． （1）根据从同一顶点向外作出的四条线上的点的个数解答； （2）根据变化的连续自然数和相应的图形的序数解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； 故答案为：；； （2）解：由（1）可得：第n个图形对应的等式为：． 故答案为：． 考点7已知字母的值求代数式的值 例7．已知：a与b互为相反数，x的绝对值是4，计算：的值． 【答案】或4 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数和绝对值的意义． 根据相反数的意义得出，根据绝对值的意义求出的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 或， ∴当时， ； 当时， ； 综上，原式的值为或4． 举一反三7 1．已知互为相反数，互为倒数，，求的值． 【答案】的值为或． 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是相反数及倒数的定义、绝对值的性质及代数式求值，根据题意得出，及是解题关键．先根据相反数及倒数的定义得到，，再根据绝对值的性质得出的值，代入代数式计算即可得答案． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数， ∴，， ∵， ∴， 当时，， 当时，． 2．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、相反数的应用、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了相反数的定义和非负数的性质．由相反数的定义知，再根据绝对值和偶次方的非负性求出a和b的值，然后把求得的a和b的值代入计算即可． 【详解】解∶由题意得， ∴ ，， 则， 解得， ∴， 3．已知，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，代数式求值，几个非负式子相加等于0，则每个式子的值都是0． 首先得到，推出，然后得到，且，求出，，代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，且， ，， ． 考点8已知式子的值求代数式的值 例8．若，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，数轴，相反数，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．首先求得的值，利用相反数，倒数的定义求出与的值，代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为， ∴，，， ∴． 举一反三8 1．【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则= ． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由原等式可得出，整体代入中求值即可； （2）由原等式可得出，将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由得：， 则； （2）解：由得：， 则； 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，，则的值． 【答案】或2 【知识点】倒数、相反数的定义、有理数的乘方运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了相反数、倒数的性质，有理数的混合运算．利用相反数，倒数性质求出，，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，， ∴，， 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为或2． 3．已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】通过对所求代数式进行变形，将已知条件整体代入，逐步化简求值．本题主要考查代数式的化简求值，熟练掌握通过变形将已知条件整体代入的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 考点9程序流程与代数式的值 例9．有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 举一反三9 1．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的绝对值、程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 2．如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 【答案】(1) (2)13，4，1，4，13 【知识点】列代数式、程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了代数式求值与程序流程图，正确列出对应的代数式是解题的关键． （1）根据程序流程图列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求，分别将x的值代入代数式即可得出输出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，； 当，； 当，； 当，； 当，； 填表如下 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 3．下面给出了如图所示的程序框图，进行计算．    (1)如图1，若输入，求输出结果； (2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，若输入，第一次运算得到，求输出结果． 【答案】(1) (2)24 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】（1）按照图示流程进行代入计算即可； （2）先根据第一次运算得到求出的值，再按照图示流程进行代入计算即可． 【详解】（1）由题意可得：， 因为， 所以输出结果是； （2）由题意可得：， 故， 因为，所以需要进行第二次运算： ， 因为， 所以输出结果是24 【点睛】本题考查了代数式代入求值，这类题目读懂题意是关键． 考点10赋值法求值 例10．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，采用特殊值法求代数式的值是解题的关键． （1）把代入中即可求值； （2）把代入中即可求值； （3）把代入中即可求值； （4）结合（2）、（3）中的结果即可求出的值． 【详解】解：（1）当时，； 故答案为：； （2）当时， ， ， （3）当时， ， ， （4）由（2）知， 由（3）知， ①+②得：， ， ， ． 举一反三10 1．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)4 (2)8 (3)0 【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键． （1）观察等式可发现只要令，即可求出的值； （2）观察等式可发现只要令即可求出的值． （3）令即可求出等式①，令即可求出等式②，两个式子相加即可求出来． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，可得； （3）解：当时，可得①， 由（2）得②； 得：， ， ． 2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为 ． 【答案】16 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得，然后把代入即可计算． 【详解】解：给赋值使﹐则， 解得， 给赋值使，则， ∴， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键． 3．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知（3x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g．给x赋值使x＝0，得到（﹣1）6＝g，则g＝ ；尝试给x赋不同的值，则可得a+c+e＝ ． 【答案】 1 2079 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】计算（-1）6的值可求解g值；再令x=1，x=-1可得a+b+c+d+e+f=63①，a-b+c-d+e-f=46=4095②，再将两式相加可求解a+c+e的值． 【详解】解：令x＝0，（﹣1）6＝g， ∴g＝1； 令x＝1，则（3﹣1）6＝a+b+c+d+e+f+1， 即a+b+c+d+e+f＝63①， 令x＝﹣1，则（﹣3﹣1）6＝a﹣b+c﹣d+e﹣f+1， 即a﹣b+c﹣d+e﹣f＝46＝4095②， ①+②得2a+2c+2e＝4158， ∴a+c+e＝2079． 故答案为：１，2079． 【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键． 考点11数式、图形类规律探索 例11．观察下列各式： ； ； ； 计算： ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是观察式子，找出规律，灵活运用裂项相消进行计算． 根据题目中给出的式子找到规律，写出，然后通过裂项相消解题即可． 【详解】解： ． 故答案为： 举一反三11 1．如图，在图1中，互不重叠的三角形共有个，在图2中，互不重叠的三角形共有个，在图3中，互不重叠的三角形共有个，……，则在第5个图形中，互不重叠的三角形共有 个；在第个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律探索，解题的关键是数形结合．根据题意，结合图形，显然后一个图总比前一个图多个三角形．则在第个图形中，互不重叠的三角形共有，第个图形中，互不重叠的三角形共有个． 【详解】解：在图1中，互不重叠的三角形共有个， 在图2中，互不重叠的三角形共有个， 在图3中，互不重叠的三角形共有个， ……， 则在第5个图形中，互不重叠的三角形共有个， 在第个图形中，互不重叠的三角形共有个， 故答案为：，． 2．如图是是用小木棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，第6个图案需要小木棒为 根． 【答案】63 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并从中找到小木棒根数的规律．结合图形计算前三个图形中的小木棒数时，即可发现规律． 【详解】解：当时，需要小木棒， 当时，需要小木棒； 当时，需要小木棒，， 以此类推，第个图形共需小木棒， 当时，原式． 故答案为：63． 3．观察下列三行数： 第一行：，，，，，； 第二行：，，，，，； 第三行：，，，，，． (1)第三行第个数是___________； (2)取每行的第个数，请计算出这三个数的和是多少？ 【答案】(1)； (2)这三个数的和为． 【知识点】有理数的减法运算、数字类规律探索、有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了数字的规律变化，有理数运算，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （）根据题意可得第一行第个数为；第二行第个数为；第三行第个数为；从而把代入即可求解； （）根据（）中规律，然后通过有理数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：∵第一行：，，，，，；第二行：，，，，，；第三行：，，，，，； ∴第一行第个数为；第二行第个数为；第三行第个数为； ∴当时，即第三行第个数为， 故答案为：； （2）解：由（）得第一行第个数为；第二行第个数为；第三行第个数为； 当时，第一行第个数为：；第二行第个数为：；第三行第个数为：， ∴这三个数的和为． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是（   ） A．mn B． C． D． 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列式是解题关键． 【详解】解：一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是， 故选：C． 2．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”(包括顶点)有n个点．当时，这个图形总的点数S为（     ） A．8068 B．8072 C．8076 D．8080 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的变化类问题，通过图形的变化，归纳总结，找到规律是解答本题的关键． 根据图形的变化，当时，图形总的点数为：，由此得到答案． 【详解】解：第1个图形中，每条边上有2个点，共有个个点， 第2个图形中，每条边上3个点，共有个个点， …， ∴第个图形的点数为：， 当时，这个图形总的点数为． 故选：C ． 3．一组图形有规律的排列着．○△□☆○△□☆○△□☆○△□☆…第78个是（    ） A．○ B．△ C．□ D．☆ 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察图形排列规律，确定图形排列的周期长度，再根据确定位置对应的图形即可得． 【详解】解：由图可知，图形是按“○△□☆”的顺序循环排列，每4个为一个周期， ∵， ∴第78个图形与第2个图形相同，即为△， 故选：B． 4．已知，则的值是（   ） A． B．46 C． D．16 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查求代数式的值，整体代入是解题的关键．由整体代入即可解题． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 5．用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式、倒数 【详解】本题主要考查了列代数式，熟知先读的先写这一原则是解题的关键．根据先读的先写这一原则，写出代数式即可． 解：由题知， “a与b两数的倒数和”用代数式可表示为：． 故选：D． 6．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：当，时，则，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，符合题意． 故选：D． 7．如图，是一个“四级阶梯形”，共有10个小正方形．照这样，将“六级阶梯形”的正方形个数除以“二级阶梯形”的小正方形的个数的结果是(　　) A．7 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律探究，“四级阶梯形”共有个小正方形，“级阶梯形”的正方形个数有，求出“六级阶梯形”和“二级阶梯形”的小正方形的个数再相除即可。 【详解】解：“六级阶梯形”， “二级阶梯形”， “六级阶梯形”“二级阶梯形” 故选：A． 8．计算：，，，，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，首先根据：，，，，可知，的个位数是、、、循环出现，因为，所以是第个循环的第个数，由规律可知的个位数是. 【详解】解：，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ， 由规律可知，的个位数是、、、循环出现， ， 是第个循环的第个数， 的个位数是. 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知代数式，则代数式的值为 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．由已知方程变形得出 的值，然后整体代入到目标代数式中进行计算． 【详解】因为代数式， 所以， 所以． 10．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的写法；在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号；据上逐一判断即可，解题的关键是掌握代数式的书写要求． 【详解】解：①，书写规范，符合代数式的书写； ②应写成或，原写法不规范，不符合代数式的书写； ③应写成，原写法不规范，不符合代数式的书写； ④，书写规范，符合代数式的书写； ⑤米，应写成米，原写法不规范，不符合代数式的书写； 故答案为：①④． 11．已知图1，按此规律，计算图2得 ． 【答案】20 【知识点】数字类规律探索、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 根据给出的前三个得出规律，利用规律即可解题． 【详解】解：由题意可得：， ∴． 故答案为：20 12．如图，四边形是一个长方形，根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S为 ． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，用长方形面积减去两个直角三角形的面积即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．规定新运算：，，，请你找到这些算式的规律，计算 ． 【答案】13 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查的是新定义运算，解题的关键是要弄清新运算法则或规律．通过观察和分析给定的算式总结出规律为：，进而将给定的数字代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过观察与计算找到规律：， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．用代数式表示： (1)比a的2倍大1的数； (2)a的相反数与b的一半的差； (3)a的平方除以b的商． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查代数式的文字表述转化，熟练掌握数学语言与文字语言的对应关系是解题的关键． （1）根据题目描述，将文字语言转化为数学代数式； （2）根据题目描述，将文字语言转化为数学代数式； （3）根据题目描述，将文字语言转化为数学代数式． 【详解】（1）解：比a的2倍大1的数用代数式为； （2）解：a的相反数与b的一半的差用代数式为； （3）解：a的平方除以b的商用代数式为． 15．某工厂安排一名员工加工300个零件，已知该员工每小时加工25个零件，设加工时间为x小时． (1)用含x的代数式表示剩余待加工零件数量为 个； (2)当时，求剩余待加工零件个数． 【答案】(1) (2)50个 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的应用． （1）加工时间为x小时，则已加工的零件数量为，再用总零件个数减去已加工的零数量即可得出剩余待加工零件数量； （2）将代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：用含x的代数式表示剩余待加工零件数量为个， 故答案为：； （2）解：当时，（个）， 答：当时，剩余待加工零件个数为50个． 16．已知，将这三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出 ； (2)计算； (3)探究并计算 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的混合计算： （1）观察等式，找到规律，即可求解； （2）根据（1）猜想的结果，将每个加数分解后再合并，即可得到结果； （3）与（2）相比，每个加数的分母中的两个数都扩大了2倍，所以将每个加数都提出，再按照（2）的方法分解即可得到答案. 【详解】（1）解：观察等式，猜想 故答案为：． （2）解：                ； （3）解：                         ． 17．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 【答案】(1)24 (2)最小用型号16 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形的规律探究，找到规律是解题的关键． (1)根据图形中的数量关系即可求解； (2)将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：型号1：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号2：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号3：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， ∴型号4可以坐：(人)． （2）由题意得，， 整理得，， 解得， ∵n为整数， ∴最小用型号16． 18．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，某户5月份用x吨水． 日用水量 不超过12吨 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准(元/吨) 2.00 2.50 3.00 (1)请分别写出，，8时，水费的代数式； (2)某户用水16吨、28吨，各需付水费多少元？ 【答案】(1)时，水费为元；当时，水费为元；8时，水费为元 (2)时，水费为元；时，水费为元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查列代数式，化简求值； （1）根据表格中的收费标准，分别计算出用水量在不同范围内的收费，当不超过吨时，每吨元，吨收费元；如用水量超过吨不超过吨的部分，则前吨每吨收费元，超过部分按每吨元每吨收费，则收费为元;以此类推，得到用水量超过吨时收费情况即可； （2）用水量为吨属于超过吨不超过吨，收费标准应按收费，用水量为吨属于超过吨，收费标准应按收费. 【详解】（1）解：当时，水费为； 当时，水费为元； 当8时，水费为元； （2）当时，水费为元； 当时，水费为元． 19．某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)两家网店一样合算； (3)在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，理由见解析． 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算． (1)根据题目中优惠方案：可得答案； (2)结合(1)，求出当时，两个网店所需付款，再比较即可得出答案； (3)首先求得当时，两个网店所需付款，再计算在甲网店买20副球拍100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球所需费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球， ∴若在甲网店购买，需付款元， ∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款， ∴若在乙网店购买，需付款元， 故答案为：，； （2）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 在甲网店购买，需付款： (元)， 在乙网店购买，需付款： (元)， ∵， ∴此时两家网店一样合算； （3）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 甲： (元)， 乙： (元)， 若在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球， 此时需付款：元， ∵， 最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球． 20．综合与实践 为迎接2025年的到来，李老师写了一副对联，并计划装裱起来．根据以下材料，解决问题． 阅读材料 素材1 对联的一种装裱方式如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长和地头长的和的． 李老师要以这种装裱方式装裱一副对联，对联的长为，宽为． 素材2 对联装裱一般有两种方式：一种是普通机器装裱，另一种是手工装裱． 据调查，某装裱服务公司的收费标准为：一副对联如果装裱左、右宽度为，则普通机器装裱收费为装裱后的面积每平方米100元，满50元减5元；手工装裱收费为装裱后的面积在平方米内，每平方米150元，若超出平方米，超出的部分打八折． 问题解决 问题1 若李老师这副对联装裱的天头长为，则地头长为 ，左、右两边的宽度均为 ． 问题2 若左、右两边的宽度均为，李老师这副对联装裱后的长和宽各为多少？（用含a的代数式表示）． 问题3 如果李老师选择装裱的左、右宽度为，请问李老师选择哪种装裱方式更省钱？ 【答案】问题1：16；4；问题2：长为，宽为；问题3：李老师选择普通机器装裱比较省钱 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，列代数式，求解代数式的值，理解题意是关键． 问题1：根据线段的倍分关系列式计算即可； 问题2：利用线段的和差可得答案； 问题3：求解当时，装裱后对联的长为，装裱后对联的宽为，装裱后对联的面积为，再根据两种不同的方式列式计算装裱费用，再比较即可． 【详解】解：问题1：∵天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长和地头长的和的．李老师这副对联装裱的天头长为， ∴地头长为，左、右两边的宽度均为． 问题2：左、右两边的宽度均为，李老师这副对联装裱后的长为：， 宽为，   答：李老师这副对联装裱后的长为，宽为． 问题3：由题意，得当时，装裱后对联的长为 ，   装裱后对联的宽为 ，   装裱后对联的面积为， 普通机器装裱需要花费 （元） （元）    手工装裱需要花费： （元） ∵； ∴李老师选择普通机器装裱比较省钱． 达标检测 考点精析 知识点梳理 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第三章代数式小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测） 知识点1 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【注意】 1.单个数字与字母也是代数式; 2.代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; 3.代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 知识点2 代数式的书写规则 1. 代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.数字与数字相乘，乘号不能省略； 4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 知识点3 列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 知识点4 代数式的意义 代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系 知识点5 代数式的求值 1.已知字母的值，直接代入求代数式的值； 2.已知式子的值，整体代入求代数式的值. 考点1 代数式的识别 例1．下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B． C．0 D． 举一反三1 1．在中，是代数式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点2代数式的书写规则 例2．下列代数式书写规范的是（　　） A． B． C． D． 举一反三2 1．下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B．元 C． D． 2．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是 （填序号）． 考点3 列代数式 例3．一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为 举一反三3 1．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小，若将个位往上拨4粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是 ． 2．读古诗，完成下面习题．（设唐代的一尺相当于现在的a米） 望庐山瀑布 日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川． 飞流直下三千尺，疑是银河落九天 （1）诗中的“三千尺”相当于现在的 米． （2）若唐代的一千尺约现在的307米，则a约等于 ． 3．甲、乙二人分别从两地出发相向而行，甲比乙早出发1小时，乙出发3小时后他们相遇，两人继续行走2小时后，甲到达地，则乙还需 小时到达地． 考点4判断正（反）比例关系 例4．、两城相距240千米，四种不同的交通工具从城到城的速度和所用的时间如下表．先填表，再根据表中的数据回答下列各题． 交通工具 轿车 豪华大客车 货车 自行车 速度（千米时） 120 60 时间/时 3 12 (1)表中两个量的积代表什么？有什么变化？ (2)速度和所用时间成什么比例？为什么？ 举一反三4 1．某工艺品厂每天要生产一批某种型号工艺品，每名工人一天能做工艺品的数量与所需工人的人数如下表所示． 每名工人一天能做工艺品的数量（个） 20 30 40 … 所需工人的人数（人） 6 4 3 … (1)求该工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品多少个？ (2)所需工人的人数是怎样随着每名工人一天能做工艺品的数量的变化而变化的？ (3)分别用x，y表示每名工人一天能做工艺品的数量和所需工人的人数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ 2．小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 (1)每包的本数和包数成什么比例？为什么？ (2)如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 考点5 代数式的实际意义 例5．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明． 举一反三5 1．说出下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．请你用实例解释下列代数式的意义： (1)； (2)． 3．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明． 考点6用代数式表示数式、图形规律 例6．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 举一反三6 1．（1）已知数列的前n项和为（n为正整数），求，的通项公式； （2）已知数列满足（n为正整数），求数列的通项公式． 2．数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 3．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ①； ②； ③； ④______； ⑤______． (1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； (2)猜想第（是正整数）个图形相对应的等式为______． 考点7已知字母的值求代数式的值 例7．已知：a与b互为相反数，x的绝对值是4，计算：的值． 举一反三7 1．已知互为相反数，互为倒数，，求的值． 2．已知与互为相反数，求的值． 3．已知，求的值． 考点8已知式子的值求代数式的值 例8．若，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为，求的值． 举一反三8 1．【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则= ． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，，则的值． 3．已知，求的值． 考点9程序流程与代数式的值 例9．有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 举一反三9 1．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 2．如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 3．下面给出了如图所示的程序框图，进行计算．    (1)如图1，若输入，求输出结果； (2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，若输入，第一次运算得到，求输出结果． 考点10赋值法求值 例10．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 举一反三10 1．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为 ． 3．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知（3x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g．给x赋值使x＝0，得到（﹣1）6＝g，则g＝ ；尝试给x赋不同的值，则可得a+c+e＝ ． 考点11数式、图形类规律探索 例11．观察下列各式： ； ； ； 计算： ． 举一反三11 1．如图，在图1中，互不重叠的三角形共有个，在图2中，互不重叠的三角形共有个，在图3中，互不重叠的三角形共有个，……，则在第5个图形中，互不重叠的三角形共有 个；在第个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含的代数式表示）． 2．如图是是用小木棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，第6个图案需要小木棒为 根． 3．观察下列三行数： 第一行：，，，，，； 第二行：，，，，，； 第三行：，，，，，． (1)第三行第个数是___________； (2)取每行的第个数，请计算出这三个数的和是多少？ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是（   ） A．mn B． C． D． 2．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”(包括顶点)有n个点．当时，这个图形总的点数S为（     ） A．8068 B．8072 C．8076 D．8080 3．一组图形有规律的排列着．○△□☆○△□☆○△□☆○△□☆…第78个是（    ） A．○ B．△ C．□ D．☆ 4．已知，则的值是（   ） A． B．46 C． D．16 5．用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 7．如图，是一个“四级阶梯形”，共有10个小正方形．照这样，将“六级阶梯形”的正方形个数除以“二级阶梯形”的小正方形的个数的结果是(　　) A．7 B．3 C．5 D．9 8．计算：，，，，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知代数式，则代数式的值为 10．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是 （填序号）． 11．已知图1，按此规律，计算图2得 ． 12．如图，四边形是一个长方形，根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S为 ． ． 13．规定新运算：，，，请你找到这些算式的规律，计算 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．用代数式表示： (1)比a的2倍大1的数； (2)a的相反数与b的一半的差； (3)a的平方除以b的商． 15．某工厂安排一名员工加工300个零件，已知该员工每小时加工25个零件，设加工时间为x小时． (1)用含x的代数式表示剩余待加工零件数量为 个； (2)当时，求剩余待加工零件个数． 16．已知，将这三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出 ； (2)计算； (3)探究并计算 17．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 18．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，某户5月份用x吨水． 日用水量 不超过12吨 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准(元/吨) 2.00 2.50 3.00 (1)请分别写出，，8时，水费的代数式； (2)某户用水16吨、28吨，各需付水费多少元？ 19．某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 20．综合与实践 为迎接2025年的到来，李老师写了一副对联，并计划装裱起来．根据以下材料，解决问题． 阅读材料 素材1 对联的一种装裱方式如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长和地头长的和的． 李老师要以这种装裱方式装裱一副对联，对联的长为，宽为． 素材2 对联装裱一般有两种方式：一种是普通机器装裱，另一种是手工装裱． 据调查，某装裱服务公司的收费标准为：一副对联如果装裱左、右宽度为，则普通机器装裱收费为装裱后的面积每平方米100元，满50元减5元；手工装裱收费为装裱后的面积在平方米内，每平方米150元，若超出平方米，超出的部分打八折． 问题解决 问题1 若李老师这副对联装裱的天头长为，则地头长为 ，左、右两边的宽度均为 ． 问题2 若左、右两边的宽度均为，李老师这副对联装裱后的长和宽各为多少？（用含a的代数式表示）． 问题3 如果李老师选择装裱的左、右宽度为，请问李老师选择哪种装裱方式更省钱？ 考点精析 达标检测 知识点梳理 学科网（北京）股份有限公司 $