1.2矩形的性质与判定同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2 矩形的性质与判定 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（ ） A．8 B．10 C．12 D．18 2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）．    A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 5．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=6cm，则四边形CODE的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（　　） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（   ） A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC 二、填空题 9．长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为    10．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形． 11．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件 （写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）    12．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1 S2． 三、解答题 13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长. 14．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)若∠A=50°,则当∠BOD=___°时，四边形BECD是矩形. 15．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论． 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积． 17．已知：如图，菱形，分别延长，到点F，E，使得，，连接，，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接交于点O，如果，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.2 矩形的性质与判定》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B C D C B 1．C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可． 【详解】∵矩形ABCD的两条对角线交于点O， ∴OA=OB=AC， ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=2×6=12． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 2．C 【详解】解：∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE=CE． 设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x．， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即x 2=22+（4－x）2， 解得x=2.5， ∴CE的长为2.5． 故选C． 3．C 【分析】先说明四边形OCDE是矩形，然后运用菱形的性质逐项排除即可完成解答. 【详解】解：∵菱形 ∴AB=BC=CE=AE,AC⊥BE,OE=BE 又∵， ∴四边形OCDE是矩形 ∴OD=CE,OE=CD ∴OD=AB=AE,OB=CD 故A、B选项正确； 又∵ ∴四边形OBCD是平行四边形 ∴OD∥BC 所以D正确； 又OD=CE与BE没有直接关系，所以C错误； 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，灵活掌握菱形、矩形的性质和判定是解答本题的关键. 4．B 【详解】试题解析：∵PQ∥AB,MN∥AD ∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形 故选B. 5．C 【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积． 【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN ∴S矩形EBNP= S矩形MPFD , 又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD， ∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8， ∴S阴=8+8=16， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD． 6．D 【分析】由CEBD，DEAC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=3，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 【详解】解：∵CEBD，DEAC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=6，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC=AC=3， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为=4OC=4×3=12． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，证得四边形CODE是菱形是解此题的关键． 7．C 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB，由勾股定理求出OB即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB=AO， ∴OA=AB=OB， ∵AE=cm， ∴OB=2=OD； 故选C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 8．B 【详解】分析：根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 详解：添加的条件是AC=BD．理由是： ∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．      故选B． 点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 9．或． 【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1-a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）与（2a-1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值． 【详解】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1． 故答案为1-a； 此时，分两种情况： ①如果1-a＞2a-1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1． ∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形， ∴矩形的宽等于1-a， 即2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=； ②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1-a． 则1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=． 综上所述：a的值是或． 10．= 【分析】根据中点四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等． 【详解】解：∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形， ∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可， 则AC=BD， 故答案为：=． 【点睛】本题考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形和中位线定理，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不大． 11．AC=BD 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】添加的条件是AC=BD， 理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为AC=BD 【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 12．=． 【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系． 【详解】矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2， 故答案为=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题． 13． 【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=6，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=12，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可． 【详解】∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∴OA=OC=OB=OD， ∴AC=BD=12， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， 由勾股定理得：BC= 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键． 14．（1）见解析；（2）100. 【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论． 【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠OEB=∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO=CO， 在△BOE和△COD中 ∴△BOE≌△COD(AAS)； ∴OE=OD， ∴四边形BECD是平行四边形； (2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC=100°−50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD， ∵BO=CO，OD=OE， ∴DE=BC， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； 故答案为100. 【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解题关键在于掌握各判定定理. 15．矩形. 【详解】试题分析：（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证； （2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 试题解析：（1）∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， ∵O为AC的中点， ∴OA=OC， ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为： 证明：∵△BOE≌△DOF， ∴OB=OD， ∵OD=AC， ∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC， ∴四边形ABCD为矩形． 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.平行四边形的判定与性质；3.矩形的判定． 16．矩形ABCD的面积是9． 【分析】首先根据矩形的性质可得AO=DO，然后再计算出∠ADB的度数，再根据直角三角形的性质可得AD的长，再利用勾股定理计算出AD长，然后再根据矩形的面积公式可得矩形ABCD的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD， ∴OA=OD， ∵∠AOD=120°， ∴∠ADO=30° ∴AB=BD． 在直角三角形ABD中，由勾股定理，得 AD=, ∴S矩形ABCD=AB•AD=3×3=9． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，以及矩形的性质和直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 17．(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的性质、勾股定理等知识．根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答是关键． （1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可； （2）连接，根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为矩形； （2）连接，，与交于点G，    由（1）可知，，且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $