专题3.6 不等式90道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题3.6不等式90道计算题专项训练(9大题型) 题型预览 题型一解不含参数的一元二次不等式 题型二解含有参数的一元二次不等式 题型三基本不等式求和的最大值 题型四基本不等式求和的最小值 题型五二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六基本不等式“1”的妙用求最值 题型七条件等式求最值 题型八对勾函数求最值 题型九由一元二次不等式的解确定参数 奥 计算专项训练 【经典计算题一解不含参数的一元二次不等式】 1.(22-23高二下·黑龙江鸡西期中)阅读下列材料，解答问题 (2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2 设m=2x-5m=3x+7则m+=5x+2, 则原方程可化为m+n2=(m+ 所以m=0,即(2x-53x+7)=0 ，即 25、7 解之得，古 3 则不等式2-+6x疗6r2的解袋为了x引】 请利用上述方法解不等式(4-5+(3x-2}2<(c-3 2.(22-23高一上·海南儋州·期中)解下列不等式（组）并写出解集. 02r+3x+9>0 xx+2)>0 (2)x2<1 3。(2425高一上河南阶段练习)已知集合A=x+3≤4树，B=xa≤x≤3a+2 )当=l时，求AnB和(G4小UCB, (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 4.(2425高一下河北张家口期中)设关于x的不等式r-(6+2)x+c<0的解集为2<x<3头】 ①)设不等式r-(c+x-c>0的解集为A,集合B=-22),求AnB 包诺1求”的酸小收 5.(24-25高一上广东汕头期末)设集合A={x∈R{x+5(x-4≥0，B=x∈Rm<x<2m )若m=3,求(GUB ②若BcC4, R,求实数”的取值范围. 6.(2025高三·全国专题练习)设x,yeR,且产+)少广=L,求证：y-≤1+a 7.(24-25高一上·安徽：期中)已知关于无的函数'=+-3+1 )岩=1，求>0时的取值范围。 y>0 (2)是否存在实数t,满足当-4≤x≤1时，y的最大值为3？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由. 8.(24-25高一上山西大同阶段练习)求下列不等式的解集： (03r-7xs10 (2)x2-x+<0. 4 6)2r2+xs-3 9.(23-24高一上江苏镇江阶段练习)已知函数)=ar-(6+3到x+3,其中4，b∈R 若不等式<0的解集为3人 求不等式x2-ax-4b>0的解集： 2当b=3时，求不等式f<0的解集， 10.(22-23高一上北京期中)已知函数f()=(x+2(x-1,a∈R ()若a=2,解不等式fx≥0： (2)解关于x的不等式f(y<0 【经典计算题二解含有参数的一元二次不等式】 1.(24-25高-上江西阶段练习)已知aeR,函数'=am+3a+2x+2a+3 ()当a=l时，函数y=r+(3a+2)x+2a 3的图象与x轴交于4,0)，B,0两点，求+， y21 (2)求关于x的不等式的解集. 2.(2023高一上全国·专题练习)解下列关于x的不等式的解集 0)r+(a+2x+1>0ca≠0). 2r-2a-0r-2>0caeR). 4 a+b]≥ 3.(23-24高一上陕西西安·阶段练习)(1)已知 ,heR*,证明不等式 1,1 a b (2)解关于x的不等式ar-2a+1x+4>0(a∈R) 4.(23-24高一上辽宁阶段练习)已知不等式2≤ar2+br+c≤3的解集为 x2≤x≤3 (①若a>0,且不等式ar+b-到x-c≤0 有且仅有9个整数解，求的取值范围： (2)解关于的不等式：r+(6-刂x+5<0 5.(23-24高一上·安徽阜阳阶段练习)已知函数f0=2r-(a+2x+a,a∈R )当a=-时，求解关于的不等式)>0， (2)解关于“的不等式 f(x)>0 6.(2425高一上上海黄浦阶段练习》已知aeR,求关于x的不等式-(2a-r-2>0的解集 7.(25-26高三上江西赣州开学考试)已知二次函数f=a-4x+3 ①若八)<0的解集为<x<0,分别求a,b的值： (2)解关于x的不等式/>2amr-2x-1 8.(2425高-下湖北黄石阶段练习)解关于x的不等式+(2a+3到x+6>0aeR) 9。(24-25高一上：广东梅州期未末)已知函数f()=r++6 (若关于x的不等式列≤0的解集为2，求实数kb的值 2对于参数k∈R,解关于x的不等式)≥0 10.(24-25高一上福建泉州期中)已知函数心)=ar+r+a>0,关于'不等式l≤④≤2的解集 为l≤xs2 ()解关于的不等式a+6-)r+3<0 (2)关于x的不等式a+b-5)x-2c-1s 有且仅有7个整数解，求“的取值范围. 【经典计算题三基本不等式求和的最大值】 1.(23:24高一上甘肃白银期中))已知0<x<1,求V0-0的最大值： x,y2x+5y=20 (2)已知正实数”满足 20,求”的最大值 2.(24-25高一上河南郑州期中)设>0，>0，且x+2y=2 ,且 ,则”的最大值。 14 +一=1 3.(22-23高一上江苏扬州阶段练习)(1)若x,y是正数，且xy,则y的最小值： (②）若x>3求y=2x+1x3的最小值 4.(23-24高一上·北京·期中)用20cm长度的铁丝围成一个矩形，当矩形的边长为多少cm时面积最大？ 最大为多少？ 专题3.6 不等式90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 解不含参数的一元二次不等式 题型二 解含有参数的一元二次不等式 题型三 基本不等式求和的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 基本不等式“1”的妙用求最值 题型七 条件等式求最值 题型八 对勾函数求最值 题型九 由一元二次不等式的解确定参数 【经典计算题一 解不含参数的一元二次不等式】 1．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）阅读下列材料，解答问题 设则， 则原方程可化为， 所以，即， 解之得， 则不等式的解集为． 请利用上述方法解不等式 【答案】 【分析】根据题目信息求得方程的根，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，先分析方程的根， 设，则， 则对应方程为， 所以，即， 解之得，， 则不等式的解集为． 2．（22-23高一上·海南儋州·期中）解下列不等式（组）并写出解集． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法求解； （2）先分别利用一元二次不等式的解法求解各不等式，再求两个不等式解集的交集即可得出该不等式组解集． 【详解】（1）由， 则， 解得， 所以不等式的解集是． （2）由，解得，即， 所以不等式组的解集是． 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）解出集合，写出时的集合，直接求解即可. （2）将是的充分不必要条件转化为两集合的包含关系，列不等式组求解即可. 【详解】（1）由得， 解得，即，或， 当时，，或， 所以，或， （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由（1）知：， 所以且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 4．（24-25高一下·河北张家口·期中）设关于的不等式的解集为． (1)设不等式的解集为，集合，求； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由不等式的解集为可知2,3是方程得根，由韦达定理即可得结果，代入不等式可得解集，再求； （2）可先将原式化为再借助基本不等式求解即可. 【详解】（1）∵关于的不等式的解集为， ∴，解得， 不等式为， 由得或，即， ∵，∴； （2）∵，∴， 则， 当且仅当时等号成立，即的最小值为3. 5．（24-25高一上·广东汕头·期末）设集合． (1)若，求． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出时集合以及，然后求它们的并集；（2）根据分情况讨论集合的情况来确定的取值范围. 【详解】（1）对于不等式，解得或. 那么. 当时，集合. . （2）当时，满足. 此时，解这个不等式得. 当时，即. 因为，所以.解得. 综上，的取值范围是. 6．（2025高三·全国·专题练习）设，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，则，代入已知方程，利用判别式大于等于零可得； 【详解】设，则 代入中得， 即 因为，，所以，    即， 解得，故. 7．（24-25高一上·安徽·期中）已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决. （2）分情况讨论函数在上最大值，令最大值为3求的值. 【详解】（1）当时，可转化为：. 所以或. 所以的取值范围是：. （2）函数在的最大值，可能是在行或或时取得. 若.此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意. 若.此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意； 若，解得或. 当时，，对称轴为，故不合题意. 综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3. 8．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2). (3){或}. 【分析】（1）（2）（3）根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）不等式，即， 方程的根为， 由二次函数的图像与性质可知，不等式解集为. （2），由二次函数的图像与性质可知， 不等式解集为. （3）不等式等价于， 方程的根为， 由二次函数的图像与性质可知，不等式的解集为 9．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数，其中. (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可以先求出的值，然后直接解一元二次不等式即可. （2）当时，不等式变为了，首先讨论当时的情形，然后再分别讨论时的情形，在讨论时，还要继续对进行分层讨论，由此即可得解. 【详解】（1）由题意若不等式的解集为， 则当且仅当， 即，解得， 此时不等式变为了， 即，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）当时，不等式变为了， 当时，不等式变为了， 解不等式得，此时不等式的解集为； 当时， 分以下两种情形来讨论： 情形一： 令，得，此时有， 此时方程有两个不相等的实数根， 而此时二次函数开口向上， 又， 所以当时，不等式的解集为. 情形二： 令，得，此时只需即可， 此时方程有两个相等的实数根或者无解， 而此时二次函数开口向上， 即不等式恒成立， 所以此时不等式无解，即此时不等式的解集为. 当时， 分以下两种情形来讨论： 情形一： 令，得，此时只需即可， 此时方程有两个不相等的实数根， 而此时二次函数开口向下， 又，所以此时不等式的解集为. 情形二： 令，得，又，故产生矛盾,即此种情形不可能成立. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是求出参数的值，至于第二问的关键是在对时的讨论中，还需对继续进行分层讨论. 10．（22-23高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，解不等式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可； （2）分类讨论，，，与五种情况，利用二次不等式的解法解之即可，注意时不等号的方向. 【详解】（1）当时，， 所以由得，解得或， 故的解集为或. （2）由得， 当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 令，解得或， 当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或； 当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或； 当，即时，不等式解得，故不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 【经典计算题二 解含有参数的一元二次不等式】 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，函数． (1)当时，函数的图象与x轴交于，两点，求； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意结合根与系数的关系可得，然后利用完全平方公式与立方和公式可求得结果； （2）分，，，和五种情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为的图象与x轴交于，两点， 所以， 所以， 所以； （2）由，得， 即， 当时，，解得， 当时，由，得， 解得或， 当时，，则由得或， 当时，当，即时， 由，得， 当，即， 由，得，解得， 当，即时，由，得， 综上，当时，解集为，当时，解集为或， 当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为. 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是通过分类讨论方程根的大小，结合一元二次不等式的解法求解，考查分类思想和计算能力，属于较难题. 2．（2023高一上·全国·专题练习）解下列关于的不等式的解集 (1)（）. (2)（）. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由求根公式求出方程的两根，分和两种情况讨论即可. （2）首先讨论时的情形，然后由求根公式求出方程的两根，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）方程： 且 解得方程两根：； 当时，原不等式的解集为： 或； 当时，原不等式的解集为： 综上所述, 当时，原不等式的解集为： 或； 当时，原不等式的解集为： （2）当时，，∴，则的解集为. 当时，解，得， ①当时，，则的解集为. ②当时，（1），即，则可化简为，此时不等式无解； （2），即，则的解集为； （3），即，则的解集为； 综上：（1）时，解集为； （2）当时，解集为； （3）当时，无解； （4）当时，解集为； （5）当时，解集为. 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）（1）已知，证明不等式 （2）解关于的不等式. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）要证，只要证，结合基本不等式求解； （2）先分讨论，时又分考虑，结合图形和两个根的大小关系进行讨论. 【详解】（1）证明：因为，要证，只要证 因为， 所以等号一定成立，， （2）解：当时，不等式的解集为； 当时，不等式即为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； ④当时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知结合二次函数性质及二次不等式的恒成立可求； （2）结合含参二次不等式的求法对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，原不等式等价于恒成立， 且的解集为，故方程的2个根为2，3， 故由韦达定理，所以， 所以恒成立， 可得恒成立，所以，解得， 则，即，故， 所以，因为不等式有且仅有9个整数解，故，解得， 所以的取值范围为； （2）1、当时，由（1）得时，， 故，即：， ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为. 2、当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为， 由韦达定理：，所以，则恒成立，即恒成立，所以， 解得，又， 该不等式解集为， 3、当时，，则无解. 4、当时，，则. 综上：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为. 5．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数. （1）当时，求解关于的不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）当时，得，求解一元二次不等式即可； （2）对进行分区间讨论，分别求解. 【详解】解：（1）， 可得不等式解集为 （2）令，解得. 若即时，原不等式的解集为， 若即时，原不等式的解集为， 若即时，原不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】思路点睛：解含参数的一元二次不等式的解法： （1）要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论； （2）转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，在以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论； （3）如果判别式大于零，但两根的大小还不能确定，此时再以两根的大小作为分类标准进行讨论. 6．（24-25高一上·上海黄浦·阶段练习）已知，求关于x的不等式的解集. 【答案】见解析 【解析】当时，求解一次不等式，当时，求出对应方程的根，，从而对分类讨论一元二次不等式的解集. 【详解】当时，，∴，则的解集为 当时，解，得， ①当时，，则的解集为. ②当时，（1），即，则可化简为，无解； （2），即，则的解集为； （3），即，则的解集为； 综上：（1）时，解集为； （2）当时，解集为； （3）当时，无解； （4）当时，解集为； （5）当时，解集为. 【点睛】本题考查含参不等式的求解，涉及一元一次不等式，含参数的一元二次不等式分类讨论，属于基础题. 7．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. （2）由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 8．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 9．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）结合二次函数的图象与性质，按照判别式的符号分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知方程的两根为，． 由韦达定理，可知，解得． （2）令， ①当，即时， 函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上． 因此，不等式的解集为． ②当，即或时， 函数图像与轴有两个交点，且开口向上． 令，则方程有两个不等实根， 为：，. 可知，不等式的解集为： 或. 综上所述，①当时，不等式的解集为； ②当或时，不等式的解集为 或. 10．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为，且， 所以恒成立，且的两根为1，2. 故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 【经典计算题三 基本不等式求和的最大值】 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）设，，且，则的最大值． 【答案】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】由，可得，． 由基本不等式可得：， 因为，所以， 即．当且仅当即，时，等号成立． 故xy的最大值为． 3．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）（1）若是正数，且，则的最小值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为，且， 所以，即，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； （2）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 4．（23-24高一上·北京·期中）用20cm长度的铁丝围成一个矩形，当矩形的边长为多少cm时面积最大？最大为多少？ 【答案】矩形的长为cm，宽为cm时，面积有最大值，最大值为 【分析】设矩形的长为cm，宽为cm，求出矩形的面积利用基本不等式可得答案. 【详解】设矩形的长为cm，则宽为cm， 则矩形的面积为， 因为，所以， 当且仅当即时， 即矩形的长为cm，宽为cm，矩形面积有最大值，最大值为. 5．（2025高三·全国·专题练习）定义为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b均为正实数，求h的最大值． 【答案】． 【分析】利用基本不等式结合不等式的性质可求h的最大值． 【详解】因为，故且， 由题设有，故，故， 故，故，当且仅当且时，即时等号均成立， 故h的最大值是． 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； （2）正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 7．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 8．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）已知，，且. (1)求ab的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据基本不等式，即可求解； （2）根据，代入，转化为二次函数求最小值. 【详解】（1），，得， 当时，等号成立， 所以的最大值为2； （2）， ， 当时，时，取得最小值. 9．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知，，且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接利用基本不等式即可求出结果； （2）根据条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为，， 所以，得到， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （2）因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，又，所以时取等号， 所以，的最小值为. 10．（23-24高三上·河南·阶段练习）小云家后院闲置的一块空地是扇形，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，，.    (1)在方案1中，设，，求，满足的关系式； (2)试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积的最大值更大，并求出该最大值. 【答案】(1)（其中，） (2)选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为 【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围； （2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；在连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可. 【详解】（1）连接， ，，，， ，在中， ，满足的关系式为（其中，）； （2）   方案1：设游泳池的面积为， 由（1）得，当且仅当，即，时等号成立， ； 方案2：设游泳池的面积为，取的中点， 连接，，设，，在中， 所以，当且仅当时等号成立， ， 而，则， 所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为. 【经典计算题四 基本不等式求和的最小值】 1．（2025高三·全国·专题练习）若且，求的最小值． 【答案】 【分析】，利用均值不等式求和的最小值. 【详解】，， 由，知， 所以， 当且仅当即时， 此时， 所以，所以时等号成立， 故的最小值为． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知且，，求的取值范围． 【答案】 【分析】法一：结合韦达定理转化成一元二次方程根的问题，根据韦达定理得到不等式组，解得的取值范围； 法二：由均值不等式得，结合，解得的取值范围； 法三：由均值不等式得，结合，解得的取值范围. 【详解】法一：由，结合韦达定理，得一元二次方程有两个正根． 由韦达定理得，解得得． 法二：由均值不等式得， 联立解得，则． 法三：由均值不等式得， 联立，解得，则． 3．（2025高三·全国·专题练习）若二次函数恒成立，求的最小值． 【答案】 【分析】根据二次不等式恒成立的条件列出关系式，对待求表达式分子分母同除以，然后放缩，转化成关于的式子，换元法，结合基本不等式进行求解. 【详解】对于成立， 则，得， ， 设，则， 设，此时， 当，即，即，故当， 即时，的最小值为. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，且，对任意恒成立，求的最小值． 【答案】8 【分析】解法1：依题意由齐次化思想并根据判别式可得，再利用基本不等式计算即可； 解法2：根据判别式可得，再利用换元法由基本不等式计算可得结果； 解法3：由判别式，将中的替换成关于的表达式，再由令，结合基本不等式计算即可； 解法4：令，得，代入判别式可得，再由基本不等式计算即可； 解法5：假设，化简为，又，再根据待定系数法由，可得，所以． 【详解】解法1：齐次化思想 根据条件有，由可得； 又，则，因此， 令，即，则． 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为8； 解法2： 由题意可知，即， ， 此时已经转化成齐次式，所以分子分母同除以，并令， 得， 当且仅当且时，即，时取得等号． 解法3： 根据条件有，，则，故． 由，可令， 可得， 当且仅当且时取得最小值，即，时取得． 解法4： 令，得， 代入， 得； 当且仅当，即时取得最小值； 解法5：待定系数法 假设，化简为， 又， 故比对系数得，，解得，． 因为，所以，即， 因为，所以． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最小值． 【答案】4 【分析】法一：由和均值不等式，得到最小值； 法二：，由四项均值不等式得到最小值. 【详解】法一：由得， 当且时，两个等号都成立． 故当且时，Z可取到最小值4． 法二：， 当且仅当即时，等号成立，所以Z可取到最小值4． 6．（2025高三·全国·专题练习）若面积为定值，求： (1)周长的最小值； (2)内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理和基本不等式的性质求出周长的最小值即可. （2）根据三角形面积相等列出等式，用将表示出来，然后根据周长的最小值即可求出内切圆半径的最大值. 【详解】（1）设直角三角形的两直角边为，斜边为， 则依题意得，所以. 所以的周长为. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 此时的最小值为. 故 所以的周长最小值为. （2）设内切圆半径为，则， 所以. 由（1）知的最小值为， 所以. 7．（23-24高一上·云南昭通·期中）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值． 【答案】最大面积为， 【分析】设，根据题设条件可得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，矩形的周长为，且，则， 设，则，又为直角三角形， 所以，整理得到，则， ， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，时，取等号，满足， 故，时，取最大面积为. 8．（24-25高一上·上海奉贤·期中）设，定义． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的取值范围； (3)若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)，，M的最大值为 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分，，三种情况，结合新定义讨论求解即可； （3）结合题意易判断M与a，以及M与的大小，结合基本不等式易得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. （2）①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. （3）由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 9．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）利用基本不等式证明. 【详解】（1）解：因为1， ，， 所以， 所以. （2）证明：因为，所以，当且仅当时，等号成立. 同理可得，当且仅当时，等号成立. 因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立. 10．（24-25高一上·上海宝山·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （2）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （3）根据例题，将变形为，再利用求解即可； 【详解】（1）因为，模仿例题，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （2）因为，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （3）因为，且，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 【经典计算题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 【答案】 【分析】拆分分母构造均值不等式，匹配系数求解待定参数 ，最后利用均值不等式的放缩即可求解. 【详解】， 当时取等号. 为将化为常数，则需， 解得， 所以， 故的最大值为． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题 (1)已知，求的最大值． (2)设，求的最大值． 【答案】(1)最大值1 (2)最大值． 【分析】（1）将所求式子转化为，再利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1），，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值1． （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值． 4．（22-23高一上·四川成都·阶段练习） (1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得 的最小值； （2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 5．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设在上恒成立，结合二次函数性质列不等式组求范围； （2）由题设，结合基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，即在上恒成立， 所以，可得. （2）由（1）知：，而， 当且仅当时等号成立，所以最小值为. 6．（2023高一·上海·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 7．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时. 【解析】（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，将代入整理得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）∵， ∴， 当且仅当即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时； （2）令， 将代入得： ， ∵， ∴， 当且仅当， 即， 即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题. 8．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求不等式解集：； （2）设，求函数的最小值． 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）移项，通分化简，将不等式转化为一边是分式，另一边是0的不等式，然后得到不等式的解集； （2）由已知可得.将给定函数分离常数，并改写为，对利用基本不等式求最值，然后得到原函数的最小值. 【详解】（1）∵， ∴ 解可得，或， 不等式的解集为或 （2），∴， ∴ ， 当且仅当即时取等号，即最小值. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，和利用基本不等式二次分式型函数的最值，属基础题. 利用基本不等式求最值时，要注意检验等号能否取得，若不能取得，需要使用对勾函数的性质求解. 9．（2024·上海普陀·二模）已知函数，的图像分别与轴、轴交于、两点，且，函数. 当满足不等式时，求函数的最小值. 【答案】 【详解】本试题主要考查了函数与向量的综合运用．根据已知条件得到 10．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）5；（2）4 【解析】（1）由，且，利用基本不等式，可求出最小值； （2）由，，利用“1”的代换及基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）∵，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立. ∴函数的最小值为5. （2）∵，且， ∴，当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为4. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 【经典计算题六 基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解. 【详解】（1），即， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为7. （2）. 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，求函数的最小值. 【答案】4 【分析】解法一；利用“1”的巧用，结合基本不等式即可求得答案；解法二，将变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解法一：已知，则，, 则， ∵，∴，，∴， 当且仅当，即时，等号成立. ∴，即，故当时，有最小值4. 解法二：由已知得， ∵，∴， 当且仅当，即时，等号成立. ∴，即， 故当时，有最小值4. 3．（24-25高一上·四川乐山·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将原式改为，进而用基本不等式解决； （2）根据，将原式改为，进而化简，最后根据基本不等式得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当即时取“=”. 则的最大值为. （2）因为，且， 所以， 当且仅当时取“=”. 则的最小值为. 4．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知，，且，求的最小值. 【答案】 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 5．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，，，且， 所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. （2） ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)求的取值范围； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用不等式的基本性质可求得的取值范围； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）解：因为，，则，， 由不等式的基本性质可得， 因此，的取值范围是. （2）解：因为，且，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最小值为. 7．（23-24高一上·甘肃·期末）已知，求证 (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. （2）解：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 8．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知是正数，且满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）根据不等式的性质即可求解. （2）利用基本不等式“1”的整体替换即可得到答案. 【详解】（1）由，得， 利用不等式的性质得，即， 又因为，所以. （2）由基本不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立， 所以的最小值为. 9．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）若正数，满足求，求的最小值？ 【答案】12 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用分析求解. 【详解】因为正数，满足求，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为12. 10．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）设，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值； （2）由已知等式变形可得，再将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）解：因为，，由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. （2）解：因为，，在等式两边同时除以得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【经典计算题七 条件等式求最值】 1．（2025高二下·全国·专题练习）已知x，y为正实数，，求的最大值． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，为正实数，且， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 所以， 故的最大值为：. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，. (1)比较与的大小； (2)若，求ab的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）根据题意利用作差法分析证明即可； （2）根据题意利用基本不等式可得，解不等式即可得结果. 【详解】（1）因为， 因为，，则， 可得， 所以. （2）由，得， 因为，即，整理可得， 且，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 故ab的最小值为9． 3．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知x，y均为正数． (1)若，求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用重要不等式即可求得xy的最大值； （2）利用重要不等式即可求得的最小值． 【详解】（1）x，y均为正数，则由，可得， 即，当且仅当时等号成立. 故xy的最大值为； （2）x，y均为正数， 则， 当且仅当时等号成立. 故的最小值为． 4．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 【答案】（1）12；（2）；（3）6；（4）. 【分析】对于（1），用配凑法及基本不等式的变形即可求解最大值；对于（2）可以先用换元的方法进行化简，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；对于（3）直接利用基本不等式的变形，然后解不等式即可；对于（4）将变成，然后用两次基本不等式求解即可求解最大值. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12. （2）, 令,则 则可化为 , 当且仅当,即时等号成立, 的最小值为. （3）， 即， 解得或(舍), 当且仅当且， 即时等号武立， 的最小值为6. （4）正数满足， , 即, , ， ， 当且仅当且, 即时等号成立, 故的最大值为. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b是正实数，且，求的最大值． 【答案】 【分析】，换元得到，，由基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】记，则，故， 其中， 当且仅当，即，等号成立，此时. 6．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）设，且 (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值 【答案】(1)81； (2)4. 【分析】（1）（2）根据已知得到等量条件，结合基本不等式求目标式的最值，注意取值条件即可. 【详解】（1）由题设知，而，当且仅当时取等号， 所以最大值为. （2）由题设知，即，而， 所以，当且仅当取等号，故最小值是4. 7．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）已知实数，，，求 (1)的取值范围； (2)的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），通过，得到，解出关于的不等式的解，从而得到的取值范围；对于（2），可以将通分，得到，通过求出的范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由基本不等式的定义可知，又 即，解得或（舍去）. 所以的取值范围为 （2）由基本不等式的定义可知，又 即，解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以，因为，所以 所以， 所以的取值范围为 8．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知为正实数，且. (1)求的最大值； (2)是否存在，使得的值为？并说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由条件等式及基本不等式求得，结合等号成立条件确定最值； （2）由（1）及基本不等式求最小值，即可确定存在性. 【详解】（1）为正实数，且， 又（当且仅当时取等号）， ，则，且取等号， 的最大值为. （2）， 当且仅当时等号成立， ， 不存在，使得的值为. 9．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）已知，，且. (1)求xy的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式得到，求出，进而求出xy的取值范围； （2）用含的式子表示，从而得到，利用基本不等式得到取值范围，注意等号取不到. 【详解】（1）因为，，所以，当且仅当时取等号， 即， 解得:， 即； （2）由，，，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，但， 所以，的取值范围是. 10．（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）设，，，其中为参数． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）9；（2）． 【分析】（1）由题意可得，再由基本不等式即可求解. （2）由题意可得，且，进而可得（y-1）(x-4)=9，再由基本不等式即可求解. 【详解】解：（1）当时，，，，则， ， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为； （2），由可得， ，，由可得， 所以，则（y-1）(x-4)=9， 当且仅当，即当x=7，y=4时，等号成立， 因此，最小值为 【经典计算题八 对勾函数求最值】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）(1)已知，求的最大值，并求此时x的值； (2)已知，求的最小值(提示：利用图像助解)． 【答案】(1)时，；(2)． 【分析】(1)构造基本不等式求解即可； (2)根据双勾函数的图像性质求解即可. 【详解】(1)，当且仅当时，； (2)作出的图像，可知函数在时单调递增，∴时，． 2．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由即可求函数的解析式； （2）由（1）得的解析式代入，分离含参量，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由， ∴，∴. （2）由 ， 即：， 又因为：，∴， 令，则：， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴，即：. 3．（2023高一·上海·专题练习）（1）求函数在上的最小值； （2）若函数在上的最小值为6，求的取值范围； （3）若函数在上是减函数，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值；（2）根据（1）的结果，可直接求的取值范围；（3）利用对勾函数的单调性，求的取值范围. 【详解】（1），当时，即时等号成立， 所以函数在上的最小值是； （2）由（1）区间包含元素3，所以； （3）函数在区间单调递减，单调递增， 若函数在上是减函数， 则. 4．（24-25高一·浙江·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）5；（2）7 【解析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）将代入，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】（1），， ， 当且仅当，即时等号成立，故函数的最小值为5； （2）由得， ，， ， 时，取得最大值为7. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（23-24高二上·河南许昌·阶段练习）（1）若，求的最小值； （2）若，，，比较、的大小. 【答案】（1）最小值为12；（2）. 【解析】（1）设，，然后利用基本不等式可求出答案； （2）利用作差法比较出的大小即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 当，即时取等号， 所以的最小值为12. （2）因为， 所以 所以，由题意可知，，所以 6．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 7．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米长的铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x米墙，求最少需要多少米铁丝网． 【答案】 【分析】由题意知矩形长米，则宽为米，可求得周长为，利用基本不等式求周长的最小值，即可得最少需要铁丝网的长度. 【详解】解：由题意，知矩形草地长米，则宽为米， ∴矩形草地周长为， ∵且， ∴解得：， 由基本不等式知， 当且仅当，即米时等号成立， 则米. ∴最少需要米铁丝网. 8．（2023高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②. 【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解； （2）将函数变形为，利用基本不等式求解； （3）将函数变形为，利用基本不等式求解； （4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解； （5）将函数变形为，利用基本不等式求解； （6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （2）因为，所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 所以函数的最大值为. （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （4）， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. （5）, 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以， 所以函数的值域为. （6）①令，因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为1. ②令，则，所以， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，即时，有最小值为4， 所以， 所以函数的最大值为. 9．（23-24高一·全国·单元测试）已知函数. (1)当，求函数的值域； (2)当时，是否存在实数a，使的图象都在函数的图象的下方？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）对x分类讨论，利用基本不等式法求最值，即可得到值域； （2）假设存在a符合题意，利用分离参数法和基本不等式即可求出a的范围. 【详解】（1）当，函数的定义域为R. 若，则y=0； 若，函数，所以； 若，则，函数，所以，即； 综上所述：，即函数的值域为 （2）假设存在实数a符合题意，即对任意实数，都有恒成立， 即对任意实数， 因为在时，，所以， 即存在实数满足题意. 10．（23-24高一上·北京通州·期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度（千米/时）（）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为万元（）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为. (1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用表示成速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？ 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意表示出可变部分的成本与列车的运行时间，即可表示出总的费用f（x）； （2）分三种情况，结合对勾函数求出取最小值时的的值即可. 【详解】（1）解：由题意可知，定义域为； （2）解：由（1）知， 令，（，）， 由对勾函数的性质可知，该函数在上单调递减，在上单调递增， ①，即时，在上单调递增，故时，单程运行一次总费用最小； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故时单程运行一次总费用最小； ③，即时，在单调递减，时单程运行一次总费用最小. 综上可知，时，时，单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小. 【经典计算题九 由一元二次不等式的解确定参数】 1．（22-23高一上·四川广安·阶段练习）若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解； （2）把不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则是方程的两根， 所以， 故，此时； （2）， 解得：或， 所以不等式的解集为或. 2．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】（1）由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. （2）当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 3．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 5．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集. 【详解】（1）根据题意，得方程的两个根为1和， 由根与系数的关系得， 解之得 （2）由（1）得关于的不等式， 即，因式分解得． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 6．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系可得，，进而解一元一次不等式即可； （2）由（1），原不等式可化为，解之即可求解. 【详解】（1）关于的的不等式的解集为， 且和2是方程的两个根， ， 不等式可化为 ，解得， 不等式的解集为 （2）由（1）知， 不等式可化为， ，即，解得， 不等式的解集为. 7．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得和3为方程的根，进而结合韦达定理求得的值，进而求解； （2）直接根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意，和3为方程的根， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以不等式，即为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 8．（22-23高一上·天津滨海新·期中）设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集与对应的方程的根的关系，利用韦达定理列方程求解即可； （2）整理不等式可得，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 则和3是方程的两个根， 得，解得， 所以. （2）若，则，即， 因为，所以， ①当时，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，解集为， ④当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 9．（24-25高一上·江西抚州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）利用韦达定理求解可得； （2）因式分解，根据两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得，解得， 经检验，满足题意. （2）, 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或. 所以，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 10．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知二次函数，，不等式的解集为或． (1)求的解析式； (2)设，不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有的解集为或，结合对应一元二次方程根与系数关系求参数，即可得解析式； （2）由题设有的解集为，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 即的解集为或， 所以，可得，故； （2）由的解集为， 所以，可得. 学科网（北京）股份有限公司 $