精品解析：河南省禹州市第三高级中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

禹州市第三高级中学集萃校区2025-2026学年上学期高一第一次阶段性训练 数学卷 命题人：赵红远 审题人：王军领 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 与集合相等的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. 故选:C. 4. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，写出命题的否定，即可判断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误； 故选：BC. 5. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件． 【详解】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 6. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 7. 下列函数中，最小值为的是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】A中举反例即可，B利用基本不等式等号成立条件不满足，C利用基本不等式求得最小值不是，D先平方，再利用二次函数求解即可. 【详解】对于A，，当时，，不符合要求，故A错误； 对于B：，当且仅当时取等号， 由得显然不成立，所以等号取不到， 即的最小值不是，故B错误； 对于C：因为，所以， ， 当且仅当时取等号，最小值不是，故C错误； 对于D：，易知，， 则， 当即或时，有最小值，即有最小值，故D对. 故选：D 8. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐项计算可得结论. 【详解】因为，所以，因为，所以，故A错误； 因为，所以，因为，所以，故B错误； 因为，，所以，故C正确； 因为，所以，所以，又， 所以，故D正确. 故选：CD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，根据不等式的基本性质分析判断，对于CD，举例判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，即，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确， 对于C，若，则满足，此时，所以C错误， 对于D，若，则满足，此时，所以D错误. 故选：AB 11. 已知，.若，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为9 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用“1”的变形，得，，展开后利用基本不等式求最值，判断AB选项；利用，变形构造基本不等式求最值，进而判断CD. 【详解】由题意知，. A.， 当，即时，等号成立， 所以的最小值是4，故A不正确； B. ， 当，时，等号成立， 所以的最小值为9，故B正确； C.由于，，故， 当时等号成立，即时等号成立， 所以的最大值为，故C正确； D.， 当且仅当时，即时，等号成立， 但，所以等号不能成立，故D不正确. 故选：BC. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 【答案】 【解析】 【分析】运用集合间关系即可得出结果. 【详解】 由题意作出Venn图，从而求解人数， 设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 则可得，，解得，， 即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 故答案为：. 13. 集合，若,则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分，和三种情况讨论即可. 【详解】当时，，满足； 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得； 综上： 故答案为： 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【小问1详解】 已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵，∴，解得． 【小问2详解】 ． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． 【小问3详解】 由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， （1）用、表示文字宣传区域面积和； （2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）长和宽分别为时，面积取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 18. （1）若，求的最大值； （2）已知，求的最大值； （3）设正实数，满足，求的最小值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接利用基本不等式，即可求解； （2）根据条件得，再利用基本不等式，即可求解； （3）根据条件得，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （2）因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （3）因为正实数，满足，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 【答案】（1）， （2）证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【小问1详解】 因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 禹州市第三高级中学集萃校区2025-2026学年上学期高一第一次阶段性训练 数学卷 命题人：赵红远 审题人：王军领 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 与集合相等的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 5. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，最小值为的是（ ） A. B. C. ， D. 8. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，.若，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为9 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 13. 集合，若,则实数a的取值范围是______． 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， （1）用、表示文字宣传区域面积和； （2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 18. （1）若，求的最大值； （2）已知，求的最大值； （3）设正实数，满足，求的最小值. 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $