专题一 代数式求值题型分类精析及解题策略（解题策略+题型精析+拓展训练）2025－2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 专题一代数式求值题型分类精析及解题策略（解题策略+题型精析+拓展训练） 题型1 直接代入求值 这是最基础的题型。当字母的值已知时，直接代入计算即可 例1．已知，且，则的值为（     ） A． B．4 C．8 D． 针对训练1 1．如果有理数a和它的倒数相等，有理数b和它的相反数相等， ． 2．若，，，则 ． 3．小明今年岁，爸爸的岁数是小明的4倍，妈妈比爸爸小2岁，则妈妈今年 岁．如果小明今年12岁，那么妈妈今年 岁． 4．当，时，的值是 ． 题型2 整体代入求值 当已知条件是一个等式（如 x - 2y = 3），而所求代数式中包含已知等式的整体或它的倍数时，常用此法。关键在于将所求代数式变形，构造出已知的整体形式。 例2．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成以下问题： 已知，求代数式的值． 针对训练2 1．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 2．整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用，例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则_____． (2)若，求的值． 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法． 例如：若，则________ 我们将作为一个整体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 4．整体思想是数学学习中的一种重要的思想方法，认真阅读下面的探究过程，然后解决问题： 探究：已知x满足，求代数式的值． 解：由可得，， 将看作一个整体，代入得： 原式， ∴代数式的值为2022． (1)若x满足，求代数式的值； (2)若，且，求代数式的值． 题型3 特殊值法求值 当需要求解一个复杂多项式（如 a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀）中各项系数的关系或特定值时，可以给字母 x 赋予一些特殊值（如 0, 1, -1），列出方程组求解 例3．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 针对训练3 1．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 3．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式对x取任意有理数都成立，例如给x赋值时，可求得．请再尝试给x赋其它的值并结合学过的方程知识，求得的值为 ． 4．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决问题的一种方法，已知，给x赋值使．得到，则；尝试给x赋不同的值，则可得 ． 题型4 利用非负性求值 若几个非负数的和（如平方数、绝对值）为零，则每个非负数都为零。利用此性质可求出字母的值 例4．若，则（    ） A． B．1 C． D． 针对训练4 1．已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．若，求的值． 4．已知：与互为相反数，求的值． 题型5 程序运算求值 按照给定的运算程序图，一步步计算即可 例5．如图是一个数值转换机的示意图，请根据输出结果填写下表 x 0 1 1 y 1 0 3 输出 针对训练5 1．有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 2．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________； (2)求k，b的值． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 4．在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 题型6综合与实践问题求值 例6．（1）【回归课本】下面图1中的（1）~（3）是课本中的一道习题： 请根据下面的图示，用a的代数式分别表示图1中的①（1）~（3）中阴影部分的面积． 图（1）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（2）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（3）中阴影部分的面积是______；（请用a的代数式表示） （2）【联系实际】亮亮和聪聪在做完课本中的习题后，觉得这个问题很有意思，发现生活中就有这样的实际问题：公园绿化维护人员要对一块长满的草坪进行日常保养，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率为；s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．某公司准备对一块边长为12m的正方形草坪（如图2）安装自动喷洒装置．（取近似值） ①若在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，喷洒装置所占面积忽略不计，该方案的喷洒覆盖率______； ②两人继续思考，若按图1中的（2）在该草坪内设计安装4个半径为的自动喷洒装置，如图1中的（3）在该草坪内计安装9个半径为的自动喷洒装置，…，以此类推，设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置．与图2的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． 针对训练6 1．问题提出： 某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型： 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：      图①             图② （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛： （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排__________场比赛． 实际应用： （4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上52位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手__________次． 拓展提高： （5）往返于广州南和珠海北的广珠轻轨列车，中途经南朗、中山、中山北、东升、小榄、容桂、顺德、北滘等8个车站（每种纸质车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备纸质的车票的种数为__________种． 2．近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种奶食品 20 30 B种奶食品 30 45 (1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元． ①求这两种奶食品各购进多少袋？ ②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？ (2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？ 3．如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆，半径为r米，每条跑道的宽为1米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第2跑道的总长度为__________米．（用含a和r的字母表示，保留） (2)第3跑道的总长度为__________米．（用含a和r的字母表示，保留） (3)若，且要求第1跑道的总长度为400米．（以下问题结果精确到个位，取3） ①求r的值； ②操场中心（阴影部分）铺设草坪，跑道及两端的半圆铺设塑胶，若铺设草坪需要50元/平方米，铺设塑胶需要100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 4．为报名参加泉州台商投资区运动会首届羽毛球比赛项目，某校羽毛球队需要购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（），羽毛球拍市场价为元/支，羽毛球为元/盒，以下是泉州台商投资区本地的两家商场提供竞标方案： 甲商场竞标方案为：所有商品九折． 乙商场竞标方案为：买1支羽毛球拍送1盒羽毛球，其余原价销售． 请你根据两家商场提供的竞标方案完成下列问题： (1)分别用含x的代数式表示在甲商场和乙商场购买所有物品的费用． (2)当时，请通过计算说明选择哪个商场购买比较省钱． (3)当时，请根据两家商场所提供的竞标方案，拟出一种折中的新方案，通过计算说明你设计的新方案所需的费用最少，并求出新方案的费用． 题型7数字类规律探索求值 例7．探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求_____； (2)根据表中规律，则_____； (3)求的值． 针对训练7 1．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 2．观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 4．问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 题型8图形类规律探索求值 例8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 针对训练8 1．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． 【观察思考】 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）： (1)当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）； (2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块； (3)【规律总结】若一条这样的人行道一共有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含的代数式表示）． (4)【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？ 2．自行车是很多同学家校往返的重要交通工具，如图，某款自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)观察图形填写下表： 链条节数（节） 2 3 4 链条长度（） (2)如果节链条的总长度是，求与之间的关系式； (3)晓明同学的同款自行车链条生锈断了，需要在淘宝网上采购并自行安装，该型号自行车的链条（安装前）由90节这样的链条组成，那么晓明需要购买该型号链条的总长度是多少？实际安装长度是多少？ 3．按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 4．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)a＝_____ ，  b＝_____； (2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 5．综合与实践：小明在学习了整式一章中的字母表示数的内容后，对用字母表示规律产生了浓厚的兴趣他用完全相等的小木棒搭建了如图所示的四个图形． （1）观察图形，其中图1用了 根小木棒，图2用了 根小木棒，图3用了 根小木棒． （2）若按小明的方式继续搭建，猜想第n个图形中，小木棒的根数是多少？ （3）根据（2）中的猜想，当n＝253时，用了多少根小木棒？ 二、 题型分类精析 三、 拓展训练 一、 常见题型及解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 专题一代数式求值题型分类精析及解题策略（解题策略+题型精析+拓展训练）（解析版） 题型1 直接代入求值 这是最基础的题型。当字母的值已知时，直接代入计算即可 例1．已知，且，则的值为（     ） A． B．4 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则、有理数的加法及绝对值的意义，题目难度不大，综合性较强，根据给出的条件确定a、b的值是解决本题的关键． 根据绝对值的意义以及乘法法则确定a、b的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴a，b同号， ∴或， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为． 故选：D 针对训练1 1．如果有理数a和它的倒数相等，有理数b和它的相反数相等， ． 【答案】1或 【分析】先分别求得a和b，再分两种情况分别求出． 【详解】解：∵有理数a和它的倒数相等，有理数b和它的相反数相等， ∴或，， ∴当，时， ； 当，时， ， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了倒数，相反数的定义，已知字母的值求代数式的值，有理数的乘方运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 2．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方和绝对值的意义，求代数式的值． 根据题意得到，，分两种情况分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 即 故答案为：． 3．小明今年岁，爸爸的岁数是小明的4倍，妈妈比爸爸小2岁，则妈妈今年 岁．如果小明今年12岁，那么妈妈今年 岁． 【答案】 46 【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值．根据题中数量关系表示出爸爸的岁数，再表示出妈妈的岁数，最后令即可计算得到答案． 【详解】解：∵小明今年岁，爸爸的岁数是小明的4倍， ∴爸爸的岁数是岁， 又∵妈妈比爸爸小2岁， ∴妈妈今年岁； 如果小明今年12岁，即， ∴妈妈今年的岁数是． 故答案为：，46． 4．当，时，的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了代数求值，包括有理数的乘方运算，乘法运算和加法运算，解题的关键是掌握各运算法则． 将字母的值代入代数式中，利用有理数的乘方运算，乘法运算和加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：5． 题型2 整体代入求值 当已知条件是一个等式（如 x - 2y = 3），而所求代数式中包含已知等式的整体或它的倍数时，常用此法。关键在于将所求代数式变形，构造出已知的整体形式。 例2．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成以下问题： 已知，求代数式的值． 【答案】2035 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键．将原式变形为，再把代入即可． 【详解】解：， 原式 ． 针对训练2 1．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)51 (3)32 【分析】本题考查了整体代换思想在代数式求值中的应用，涉及等式变形、代数式化简等知识．解题的关键是将所求代数式转化为含已知等式的形式，通过整体代入简化计算． （1）由已知等式求出的值，直接代入所求式． （2）提取公因式将代数式转化为含的形式，代入求值． （3）通过等式变形，将所求式用已知等式表示，消去未知项计算结果． 【详解】（1）解：由，移项得． 将代入，得： 故答案为：2026； （2）解：已知，对代数式化简： 代入，得：； （3）解：已知 ①，②． 对①式变形得：③；对②式变形得：④ 将③④代入 ． 2．整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用，例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则_____． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． （1）将代数式适当变形后得，利用整体代入的方法解答即可； （2）利用等式的性质求得，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴原式 故答案为： （2）解：∵ ∴ ∴原式 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法． 例如：若，则________ 我们将作为一个整体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求代数式的值， （1）将整体代入求解即可； （2）首先将变形为，然后将和相加求解即可； （3）根据题意得到，再利用整体思想即可求解． 掌握整体思想是解题关键，本题旨在考查学生的举一反三的能力． 【详解】（1）， ； （2）①，②， 得，③， ∴ 得 ； （3）∵当时，， ∴当时， ． 4．整体思想是数学学习中的一种重要的思想方法，认真阅读下面的探究过程，然后解决问题： 探究：已知x满足，求代数式的值． 解：由可得，， 将看作一个整体，代入得： 原式， ∴代数式的值为2022． (1)若x满足，求代数式的值； (2)若，且，求代数式的值． 【答案】(1)20 (2)0 【分析】（1）把将看作一个整体代入，再求值即可； （2）先求解，根据，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由可得：， 将看作一个整体代入得：； （2）因为，， 所以， ， ， 所以将、分别代入， 可得． 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键． 题型3 特殊值法求值 当需要求解一个复杂多项式（如 a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀）中各项系数的关系或特定值时，可以给字母 x 赋予一些特殊值（如 0, 1, -1），列出方程组求解 例3．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)4 (2)8 (3)0 【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键． （1）观察等式可发现只要令，即可求出的值； （2）观察等式可发现只要令即可求出的值． （3）令即可求出等式①，令即可求出等式②，两个式子相加即可求出来． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，可得； （3）解：当时，可得①， 由（2）得②； 得：， ， ． 针对训练3 1．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）． 【分析】本题考查了代数式求值，采用特殊值法求代数式的值是解题的关键． （1）把代入中即可求值； （2）把代入中即可求值； （3）把代入中即可求值； （4）结合（2）、（3）中的结果即可求出的值． 【详解】解：（1）当时，； 故答案为：； （2）当时， ， ， （3）当时， ， ， （4）由（2）知， 由（3）知， ①+②得：， ， ， ． 2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，令，可求出，令，可求出，两式相加即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴得， ∴． 3．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式对x取任意有理数都成立，例如给x赋值时，可求得．请再尝试给x赋其它的值并结合学过的方程知识，求得的值为 ． 【答案】41 【分析】根据题干给出的信息，令，得出，令，得出，把代入得出，即可求出结果． 【详解】解：令，则， 即， ∴， 令，则， 即， 把代入得： ， 整理得：， 解得：． 故答案为：41． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是理解题意，得出，． 4．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决问题的一种方法，已知，给x赋值使．得到，则；尝试给x赋不同的值，则可得 ． 【答案】363 【分析】本题主要考查赋值法来求得代数式的值，解题过程中要注意通过观察所求式子来确定需要赋的值． 利用赋值法来求得正确答案． 【详解】解：依题意可知，令，得①， 令，得②， 由得， 所以． 故答案为：363． 题型4 利用非负性求值 若几个非负数的和（如平方数、绝对值）为零，则每个非负数都为零。利用此性质可求出字母的值 例4．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方数非负性，绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一项都等于0列式是解题的关键． 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D． 针对训练4 1．已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质；根据绝对值与偶次幂的非负性，求得，，代入计算，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 所以． 故选：B． 3．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性求出，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ． 4．已知：与互为相反数，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，相反数，代数式求值． 根据题意可得，由绝对值和平方的非负性，可得，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的值为． 题型5 程序运算求值 按照给定的运算程序图，一步步计算即可 例5．如图是一个数值转换机的示意图，请根据输出结果填写下表 x 0 1 1 y 1 0 3 输出 【答案】2，1，，，10 【分析】先把程序式转化为代数式，继而求代数式的值解答即可． 本题考查了程序式计算，转化成代数式的值计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得代数式为， 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 故答案为：2，1，，，10． 针对训练5 1．有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）利用图中公式计算得出答案； （2）利用最后的代数式推出空格中的式子； （3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数， 故答案为：； （2）解：第一个带？号的运算框内，应填：， 第二个带？号的运算框内，应填：， 第三个带？号的运算框内，应填：， 故答案为：，，； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 输出结果为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，代数式表示的实际意义，程序流程图与代数式求值等知识点，看懂程序流程图并得出正确信息是解题的关键． 2．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________； (2)求k，b的值． 【答案】(1)8 (2)的值为2，b的值为6 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，理解流程图，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）把，；，，分别代入中，解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴输出的y值为8， 故答案为：8； （2）解：把，；，，分别代入中， 得， 解得， ∴的值为2，b的值为6． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 4．在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 【答案】(1)①；②， (2)①；②6或0 (3)见解析 【分析】本题考查了求代数式的值的应用． （1）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （2）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （3）根据图4画出即可． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：； ②第一个运算框内填：；第二个运算框内填：， 故答案为：，； （2）解：①当时，，，， 故答案为：； ②分为两种情况：当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 故答案为：6或0； （3）解：因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费； 当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费， 所以水费收缴分两种情况，和， 分别计算，所以可以设计如框图如图． ． 题型6综合与实践问题求值 例6．（1）【回归课本】下面图1中的（1）~（3）是课本中的一道习题： 请根据下面的图示，用a的代数式分别表示图1中的①（1）~（3）中阴影部分的面积． 图（1）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（2）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（3）中阴影部分的面积是______；（请用a的代数式表示） （2）【联系实际】亮亮和聪聪在做完课本中的习题后，觉得这个问题很有意思，发现生活中就有这样的实际问题：公园绿化维护人员要对一块长满的草坪进行日常保养，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率为；s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．某公司准备对一块边长为12m的正方形草坪（如图2）安装自动喷洒装置．（取近似值） ①若在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，喷洒装置所占面积忽略不计，该方案的喷洒覆盖率______； ②两人继续思考，若按图1中的（2）在该草坪内设计安装4个半径为的自动喷洒装置，如图1中的（3）在该草坪内计安装9个半径为的自动喷洒装置，…，以此类推，设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置．与图2的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． 【答案】（1），，；（2）①；②增加装置个数且减小喷洒半径的方案，对提高喷洒覆盖率起不到作用． 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值； （1）由正方形的面积减去圆的面积即可得到答案； （2）①当喷洒半径为时，可得喷洒的圆的面积为，正方形的面积为，再计算喷洒覆盖率即可；②由安装个喷洒半径为的自动喷洒装置，可得喷洒的圆的面积为，而正方形的面积始终为，再计算，并比较即可． 【详解】解：（1）图（1）中阴影部分的面积是， 图（2）中阴影部分的面积是， 图（3）中阴影部分的面积是； （2）①当喷洒半径为时，喷洒的圆的面积为， 正方形的面积为， ∴该方案的喷洒覆盖率； ②设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置， ∴喷洒的圆的面积为， 而正方形的面积始终为， ∴该方案的喷洒覆盖率； ∴这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，对提高喷洒覆盖率起不到作用． 针对训练6 1．问题提出： 某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型： 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：      图①             图② （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛： （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排__________场比赛． 实际应用： （4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上52位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手__________次． 拓展提高： （5）往返于广州南和珠海北的广珠轻轨列车，中途经南朗、中山、中山北、东升、小榄、容桂、顺德、北滘等8个车站（每种纸质车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备纸质的车票的种数为__________种． 【答案】（2）15（3）（4）1326（5）90 【分析】本题考查了归纳总结和对变形对角线问题，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （2）根据图②线段数量进行作答； （3）根据每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，即可得出答案； （4）根据题意，代入求解即可； （5）根据题意，代入求解即可． 【详解】解：（2）由图②可知，我们可以在平面内画出6个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外5个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排15场比赛； 故答案为：15； （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛； 故答案为：； （4）将代入（3）中结果， ∴全班同学总共握手1326次， 故答案为：1326； （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中 解得 ∴要准备车票的种数为90种． 2．近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种奶食品 20 30 B种奶食品 30 45 (1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元． ①求这两种奶食品各购进多少袋？ ②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？ (2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？ 【答案】(1)①A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋；②该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元 (2)购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． （1）①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可， ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋．根据题意有，化简得，则． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋． 依题意，得 解得 答：A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋． ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋． 依题意，得， 化简得， ∴． 答：该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋． 依题意，得， 化简，得，所以． 又因为a，b，均为正整数， 所以a既是3的整数倍，又是11的整数倍，b是3的整数倍， 所以或 当，时，； 当，时，． 答：购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋． 3．如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆，半径为r米，每条跑道的宽为1米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第2跑道的总长度为__________米．（用含a和r的字母表示，保留） (2)第3跑道的总长度为__________米．（用含a和r的字母表示，保留） (3)若，且要求第1跑道的总长度为400米．（以下问题结果精确到个位，取3） ①求r的值； ②操场中心（阴影部分）铺设草坪，跑道及两端的半圆铺设塑胶，若铺设草坪需要50元/平方米，铺设塑胶需要100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 【答案】(1) (2) (3)①；②学校共需付这两项铺设费用为964800元． 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握圆的周长与面积公式是解此题的关键． （1）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （2）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （3）①利用长方形与圆的面积公式列出方程解答即可；②先求出面积，再乘以单价即可得解． 【详解】（1）解：第2跑道的直道总长为米，弯道总长为米，跑道总长度为米； 故答案为：； （2）解：第3跑道的总长度为米； 故答案为：； （3）解：①由题意可得：， ∵， ∴； ②由题意可得： 铺设草坪费用为：（元）， 铺设塑胶费用为：（元）， ∴（元）， ∴学校共需付这两项铺设费用为964800元． 4．为报名参加泉州台商投资区运动会首届羽毛球比赛项目，某校羽毛球队需要购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（），羽毛球拍市场价为元/支，羽毛球为元/盒，以下是泉州台商投资区本地的两家商场提供竞标方案： 甲商场竞标方案为：所有商品九折． 乙商场竞标方案为：买1支羽毛球拍送1盒羽毛球，其余原价销售． 请你根据两家商场提供的竞标方案完成下列问题： (1)分别用含x的代数式表示在甲商场和乙商场购买所有物品的费用． (2)当时，请通过计算说明选择哪个商场购买比较省钱． (3)当时，请根据两家商场所提供的竞标方案，拟出一种折中的新方案，通过计算说明你设计的新方案所需的费用最少，并求出新方案的费用． 【答案】(1)， (2)乙商场购买比较省钱 (3)先向乙商场购买支羽毛球拍并获赠盒羽毛球，再向甲商场购买盒羽毛球，元 【分析】（1）分别按照两家商场优惠方案计算列出关于的代数式即可； （2）将分别代入（1）中两代数式计算，比较结果大小即可； （3）先向乙商场购买6支羽毛球拍并获赠6盒羽毛球，剩余的羽毛球向乙商场购买的费用最少，计算方案的费用即可． 【详解】（1）解：依题意得 在甲商场购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（）所需的费用为： （元）， 在乙商场购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（）所需的费用为： （元）． （2）解：当时，在甲商场所需的费用为：（元） 当时，在乙商场所需的费用为：（元） 选择乙商场购买比较省钱． （3）依题意得 新方案：先向乙商场购买6支羽毛球拍并获赠6盒羽毛球，再向甲商场购买14盒羽毛球． 所需的费用为：（元） ∴新方案所需的费用最少． 【点睛】本题考查了列代数式及代数式求值，方案设计中分析两家优惠方法计算费用是解题关键． 题型7数字类规律探索求值 例7．探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求_____； (2)根据表中规律，则_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了实数运算规律，解题关键是由表中的例子得到规律和灵活运用其规律解题． （1）根据表中的几个例子进行求解即可； （2）根据表中的几个例子我们可以总结出规律得到答案； （3）根据（2）所求进行求解即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，，， ∴， 故答案为：或； （3）解： ； 针对训练7 1．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 【答案】(1)，过程见详解 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法，是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①得， 即； （2）解：令，① 则，② ②－①得， ∴ ∴． 2．观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)128 (2) (3)第②行数等于第①行相应数减去2 (4)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数，根据题意找出各行之间数的变化规律是解题的关键． （1）观察数据可知，第①行第7个数是； （2）观察数据可知，第①行的数都是2的乘方得到，且偶数个数的系数为负，据此即可求解； （3）观察数据可知，第②行的数等于第①行相应的数减去2； （4）根据第②行的数等于第①行相应的数减去2，第③行的数是第①行与第②行相应的数的和，分别用表示出来列出代数式，利用3数之和为1020得到方程，解出来答案后，然后再判断是否合理． 【详解】（1）解：观察数据可知，第①行第7个数是， 故答案为：128． （2）解：观察数据可知，第①行的数都是2的乘方得到，且偶数个数的系数为负， 所以第①行第n个数是， 故答案为：． （3）解：观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2； （4）解：不存在，理由如下： 观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2，第③行的数是第①行与第②行相应的数的和， 由题意可知，同一列的数字符号相同，那么这三个数都是正数， 设第①行的数为，第②行相应的数为，第③行相应的数为， ∴这一列三个数的和为， 整理得， 那么这3个数为256、254、510， ， ∴256在第八列， 但第八列是负数，故不存在这样的数． 4．问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 【答案】①；②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查图形的规律，能够通过题中所给的方法，探究出规律，并能将得到的公式加以运用是解题的关键； 通过观察图形可得；通过观察图形，可得这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： 即可求解，即可得规律代入探究的结论即可得； 【详解】解：①由题意可得，同一行圆圈个数之和均为 个；由此可得两个图前n行圆圈个数总和为： ②； ③由题意可得，相同位置上三个圆圈中数字之和均为 ， ④由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： ⑤    ； ⑥计算 ⑦求 题型8图形类规律探索求值 例8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了代数式的规律题，根据题目规律得到连续自然数相加，再根据连续自然数相加的规律得到答案即可； 【详解】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， ，即第6个三角形数是21； ，即第n个三角形数是． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．以此类推，第n幅图为． 故答案为：（1）21，；（2）；（3），，． 针对训练8 1．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． 【观察思考】 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）： (1)当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）； (2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块； (3)【规律总结】若一条这样的人行道一共有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含的代数式表示）． (4)【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】(1)8 (2)2 (3) (4)1009 【分析】（1）根据图形进行求解即可； （2）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案； （3）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2；图n：4＋2n（即2n＋4）； （4）根据现有2022块等腰直角三角形地砖，可得：2n＋4＝2022，即可求得答案． 【详解】（1）解：由图形3可知，等腰直角三角形地砖有8块， 故答案为：8； （2）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块； 故答案为：2； （3）观察图形2可知： 中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1， 图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律， 图3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2， 归纳得：4＋2n（即2n＋4）， ∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（ 2n＋4）块， 故答案为：； （4）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n＋4，是偶数， 由题意得：2n＋4＝2022， 解得：n＝1009， ∴这条人行道正方形地砖有1009块． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 2．自行车是很多同学家校往返的重要交通工具，如图，某款自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)观察图形填写下表： 链条节数（节） 2 3 4 链条长度（） (2)如果节链条的总长度是，求与之间的关系式； (3)晓明同学的同款自行车链条生锈断了，需要在淘宝网上采购并自行安装，该型号自行车的链条（安装前）由90节这样的链条组成，那么晓明需要购买该型号链条的总长度是多少？实际安装长度是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题主要考查了函数关系式，根据题意得出节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可； （2）由（1）写出表示链条节数的一般式； （3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短． 【详解】（1）解：根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：． 故答案为：； （2）由（1）可得节链条长为：； ∴与之间的关系式为：； （3）当． 故晓明需要购买该型号链条的总长度是； 因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短， 故这辆自行车链条的总长为厘米， 所以90节这样的链条总长度是117厘米． 3．按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）观察图形即可求解； （）根据（）中的规律即可求解； （）把代入（）中的结果计算即可求解； 本题考查了图形的变化规律类问题，代数式求值，通过图形，找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图形可得，图有个三角形，图有个三角形，图有个三角形， 故答案为：，，； （2）解：∵时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， ∴第个图形中有个三角形； （3）解：当时，， ∴第个图形中有个三角形． 4．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)a＝_____ ，  b＝_____； (2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17 (2)4n+1 (3)8089根 【分析】（1）观察图形规律，可知第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，可知第4个为5+4×3=17个； （2）第n个为5+4（n-1）=； （3）将代入即可． 【详解】（1）第2个小正方形阴影有5+4=9个； 第4个小正方形阴影有5+4×3=17个 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个小正方形阴影有5个， 第2个小正方形阴影有5+4=9个， 第3个小正方形阴影有5+4×2=13个， 以此类推， 第n个为5+4（n-1）=； 故答案为：； （3）将代入中得： 即第2022个图形需要的火柴棒根数为8089根． 【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． 5．综合与实践：小明在学习了整式一章中的字母表示数的内容后，对用字母表示规律产生了浓厚的兴趣他用完全相等的小木棒搭建了如图所示的四个图形． （1）观察图形，其中图1用了 根小木棒，图2用了 根小木棒，图3用了 根小木棒． （2）若按小明的方式继续搭建，猜想第n个图形中，小木棒的根数是多少？ （3）根据（2）中的猜想，当n＝253时，用了多少根小木棒？ 【答案】（1）12，32，52；（2）；（3）5052根小木棒 【分析】（1）根据图形计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据图形和数字规律的性质计算，即可得到答案； （3）结合（2）的结论，根据代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，图1用了12根小木棒，图2用了32根小木棒，图3用了52根小木棒 故答案为：12；32；52； （2）∵第1个图形用了根小木棒， 第2个图形用了根小木棒， 第3个图形用了根小木棒， 第4个图形用了根小木棒， ∴第n个图形用了根小棒， ∴第n个图形中，小木棒的根数是； （3）当时， ∴当时，用了5052根小木棒． 【点睛】本题考查了图形和数字规律、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握图形和数字规律的性质，从而完成求解． 二、 题型分类精析 一、 常见题型及解题策略 三、 拓展训练 学科网（北京）股份有限公司 $