精品解析：河北省沧州市泊头市交河中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 2025-2026高三省级联测考试 数学试卷 班级______ 姓名______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知全集，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 若双曲线一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 56 B. C. 63 D. 7. 已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，下面说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面平面 D. 直线与直线所成角为 10. 已知正实数a，b满足，则下面说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，同时过焦点F作与直线l垂直的直线与抛物线C交于D，E两点，则下面说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若直线l的倾斜角为60°，则 C. 若在x轴上存在一点M，使得，则点M的坐标为 D. 当直线l的斜率为时，四边形ADBE的面积为36 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13. 在中，内角所对的边分别为，已知，，，则的周长是______. 14. 某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第6次闪烁时，黄灯亮的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表： 单位：人 物理成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 90 60 150 不优秀 160 190 350 合计 250 250 500 （1）记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 记等差数列的前n项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前n项和为，求； （3）若恒成立，求实数m的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱平面ABC，，点D是BC的中点，点F是的中点，点E在AC上，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在一点P，使得直线PF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程； （3）若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 19. 已知函数，，. （1）讨论函数在区间上的单调性. （2）已知≠0时，. （i）若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围； （ii）当时，若，是函数的两个根，，且，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026高三省级联测考试 数学试卷 班级______ 姓名______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再确定其虚部即可. 【详解】由，可知的虚部为. 故选：D. 2. 已知全集，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的概念求解. 【详解】根据题意，，所以， 故选：B. 3. 若双曲线一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解. 【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线一条渐近线的倾斜角为30°，， 所以，即， 所以，即，即， 所以，， 故选：C. 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数图象的对称性列式求解. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，得， 则，所以当时，取得最小正值为. 故选：B 5. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求参数，然后代入求值即可． 【详解】由函数为奇函数， 所以， 即，解得. 当时，所以符合题意， 所以． 故选：D． 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 56 B. C. 63 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可. 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 7. 已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到圆心和半径，根据求出，故点C到直线l的距离为，利用点到直线距离公式得到方程，求出. 【详解】根据题意，圆C的圆心为，半径为4，直线l：， 因为，其中，所以， 解得，可得， 所以点C到直线l的距离为，则， 可得（舍）或. 故选：D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数幂及对数的运算性质得到a，b，c的范围，即可比较大小. 【详解】因为， 而，因为，所以， 又因为，所以，所以； 而 ， 因为，所以， 所以，所以，所以. 综上，可知 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，下面说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面平面 D. 直线与直线所成角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用平面与平面平行的性质可判断；B选项证明平面即可判断；C选项通过观察可判断；D选项通过平移找到直线与直线所成角进行求解即可. 【详解】 对于A选项，如图所示，在正方体中，平面平面， 又平面，平面，故A正确； 对于B选项，在正方体中，平面，平面， ，是正方形，， ，平面，平面， 平面，，故B正确； 对于C选项，取的中点为，由正方体的对称性可得， 若平面与平面垂直，因为平面平面平面， 而平面，则平面，而平面， 则，矛盾，故C错误； 对于D选项，连接，，在正方体中，，， 四边形是平行四边形，， 或其补角即为直线与直线所成的角， 在正方体中，，， 直线与直线所成角为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知正实数a，b满足，则下面说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，由基本不等式求的范围判断B，平方后利用基本不等式求最值判断C，由B及对勾函数的单调性求最值判断D. 【详解】由，当且仅当时等号成立，故A正确； 因为，所以，当且仅当时取等号，所以，故B不正确； 因为，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故C正确； 因为，由B选项分析知，由双勾函数单调性知，当时，有最小值，所以的最小值为，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，同时过焦点F作与直线l垂直的直线与抛物线C交于D，E两点，则下面说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若直线l的倾斜角为60°，则 C. 若在x轴上存在一点M，使得，则点M的坐标为 D. 当直线l的斜率为时，四边形ADBE的面积为36 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意分析出直线l的斜率存在且不为0，，即可判断A；设，，联立方程组，由韦达定理及抛物线的焦点弦公式求出，即可判断B；设点，直线l的方程为，由，得到，联立方程组，将韦达定理代入上式求出，即可判断C；设直线l及的方程，联立方程组，由韦达定理及弦长公式求出和，将直线l的斜率代入四边形ADBE面积的表达式并计算，即可判断D. 【详解】同时过焦点F的直线l与直线垂直，都与抛物线C有两个交点， 所以直线l的斜率一定存在且不为0，所以，故A错误； 设，，因为，所以直线l的方程为， 联立，整理得，可得， 所以，故B正确； 设点，设直线l的方程为， 联立，整理得，可得， 因为，所以，即， 即， 即，计算可得，故C正确； 设直线l的方程为，则直线的方程为， 联立，整理得，可得， 由弦长公式可得 ， 同理可得， 故， 当直线l的斜率为时，，此时，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，然后根据导数的几何意义结合条件即可得. 【详解】因为，所以，， 所以，所以切线方程为，即， 故答案为： 13. 在中，内角所对的边分别为，已知，，，则的周长是______. 【答案】18 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求出，再结合余弦定理得到，最后得出周长即可. 【详解】因为的面积，所以， 则，解得， 由余弦定理可得，即， 可得，则， 故的周长为. 故答案为： 14. 某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第6次闪烁时，黄灯亮的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出递推关系求解. 【详解】设事件“第n次闪烁红灯亮”，“第n次闪烁黄灯亮”，“第n次闪烁蓝灯亮”，那么由题意可知，，又， 所以，可构造等比数列，， 因为，所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以，， 故第6次闪烁时，黄灯亮的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表： 单位：人 物理成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 90 60 150 不优秀 160 190 350 合计 250 250 500 （1）记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为学生的数学成绩与物理成绩有关联 【解析】 【分析】（1）根据列联表以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）先进行零假设，然后计算出卡方值，根据独立性检验的思想判断即可. 【小问1详解】 由题可知，数学成绩优秀者有250人，在这250人中物理成绩不优秀的有160人， 所以. 【小问2详解】 零假设为：学生的数学成绩与物理成绩无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生的数学成绩与物理成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 16. 记等差数列的前n项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前n项和为，求； （3）若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本运算求解即可； （2）化简得，利用裂项相消法求解即可； （3）由题意可得，根据的单调递性，求出其值域，即可得实数m的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为d， 则, 解得， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 可得， 所以 ； 【小问3详解】 因为，且， 所以， 易知单调递减， 所以， 所以， 故实数m的取值范围为. 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱平面ABC，，点D是BC的中点，点F是的中点，点E在AC上，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在一点P，使得直线PF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在三棱柱中，取的中点M，中点，连接， 则，四边形为平行四边形，， 由点D是BC的中点，且，得，即四点共面， 连接DM，FM，由点F，M分别为，的中点，得且， 则，，于是四边形FMDB为平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. （2） （3）存在，4 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质及平行公理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由点D是正边BC的中点，得，过作，而平面ABC， 则平面ABC，以D为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，又，则， ，， 设平面的法向量为，则，令，得， 而平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为θ， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）得，， 设，则， ，取AB的中点G，则，， 由侧棱平面ABC，平面，得平面平面ABC， 而平面平面，平面ABC，则平面，又， 由直线PF与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 18. 已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程； （3）若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件及即可求解； （2）讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与椭圆的方程，令即可求解； （3）讨论直线的斜率是否存在及是否为，联立直线与椭圆的方程，令，再借助韦达定理即可求解； 【小问1详解】 由题意得，因为，，所以， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线l：，易得与椭圆C相切； 当直线l的斜率存在时，设直线l：，即， 联立，可得， 由可得，， 即，解得. 此时直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 【小问3详解】 设切点分别为A，B， 当直线PA斜率不存在时，此时直线的斜率为； 当直线PA斜率为0时，此时直线的斜率不存在，易得； 当直线PA斜率存在且不为0时，此时，， 设直线PA方程为， 联立，可得， 由于直线PA与椭圆C相切，所以， 化简得，即， 由于直线PB斜率为， 所以方程的两个根分别为k和， 所以， 化简得， 此时点P的轨迹方程为， 将代入中成立， 综上所述，点P的轨迹方程为. 19. 已知函数，，. （1）讨论函数在区间上的单调性. （2）已知≠0时，. （i）若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围； （ii）当时，若，是函数的两个根，，且，，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）（i） （ii）证明：当时，，所以， 令，则，故在区间上单调递增. 又，， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以. 又，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 由于，且， 则，从而. 因为，，所以即证，即证. 令，， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 故. 【解析】 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i），对其二次求导，通过，，三种情况讨论即可；（ii）通过二次求导结合零点存在定理，得到存在唯一的，当时， 单调递减，当时， 单调递增，进而得到，问题转化成证.构造函数，，通过其单调性即可求证. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 又在单调递增，当时，， 即时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）因为， 所以，则， 令，则， 若，当时，，单调递减， 所以，单调递减，不符合题意； 若，当时，，单调递增， 所以，单调递增，不符合题意； 若，则在区间上有两个解，不妨设为，. 列表如下： x - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 当时，，则在区间上没有零点. 要使在区间上有且仅有1个极值点， 则在区间上有且仅有一个变号零点， 则需要，即，解得. 又因为，所以. 当时，，， 由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增， 所以为的极小值点. 综上所述，a的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $