精品解析：安徽省淮北市第十二中学2026届高三上学期第一次月考数学试卷

淮北市第十二中学2023级高三第一次月考 数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 3. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ） A. B. ，且，恒有 C. 函数在上的值域为 D. 对，恒有成立的充分不必要条件是 11. （多选）已知定义域为R的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论正确的是（　　） A. B. 的最小正周期 C. 在上单调递减 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_____________ 13. 若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 14. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，且. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且满足． （1）求角B的大小； （2）求的面积的最大值． 17. 如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，. （1）求棱的长； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 已知函数 有两个极值点 且 . （1）求实数 的取值范围； （2）证明: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二中学2023级高三第一次月考 数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出，可判断各选项的准确性. 【详解】设，则. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 所以对恒成立. 所以成立，即命题为真命题. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以. 故选：D 3. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，再结合特殊值即可得到判断. 【详解】由指数函数单调递增可知：， 由指数函数单调递减可知：，且， 由对数函数单调递减可知：， 综上可得，， 故选：C. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用函数的定义域、奇偶性与特殊值的正负排除不符合要求的选项即可得. 【详解】由定义域为，故可排除C； 又， 故为奇函数，故可排除D； 由，故可排除B； 故选：A. 6. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】函数是R上的增函数， ，解得. 故选：D. 7. 已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数确定函数的单调性，脱去“”，利用不等式恒成立列出不等式组得解. 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增， 则在上也是增函数， 因为不等式对任意实数恒成立 所以对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 当时，不恒成立， 当时，可得，解可得. 即的取值范围是， 故选：A 8. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】的图象如图所示： ∵方程有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得． 故选：D． 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断BC的正误，利用作差法结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：取，则，故A错误. 选项B：因为，而，故，故B正确. 选项C：由，可得， 则不等式两边均乘以可得，故C正确. 选项D： 又，则， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ） A. B. ，且，恒有 C. 函数在上的值域为 D. 对，恒有成立的充分不必要条件是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的概念即可得的值，从而可判断A；根据指数函数与反比例函数的性质可判断函数在上的单调性，从而可判断B；由函数的单调性求函数值即可得函数在上的值域，从而可判断C；由函数单调性解不等式，结合含参一元不等式恒成立即可求的取值范围，从而可判断D. 【详解】函数的定义域为，又是奇函数，所以，故，故A正确； ，由于函数在上递增，函数在上递增， 所以函数上递增，则，且，恒有，故B正确； 因为在上单调递增，，又，所以函数在上的值域为，故C错误； 若对，恒有成立，则，即整理得的解集为， 当时，不等式的解集为，不符合题意 当时，要使得解集为，则有，解得， 综上，对，恒有可得，其成立的充分不必要条件是，故D正确. 故选：ABD. 11. （多选）已知定义域为R的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论正确的是（　　） A. B. 的最小正周期 C. 在上单调递减 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A,由知，图象的对称轴为直线，进而可以判断A选项；对于B,由条件及关于点对称，经过变形可以推导出的周期，再由单调性可知最小正周期；对于C,由条件在上单调递增，关于点对称及的周期可以推导出在上的单调性；对于D,根据周期化简得，再根据对称性，单调性即可判断. 【详解】对于A，由知，图象的对称轴为直线，则，A正确； 对于B，由知，， 由图象关于点对称，即，故， 所以，即，所以， 因为图象的对称轴为直线， 所以图象关于点对称，所以为奇函数，因为的定义域为R,所以， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最小正周期为4，B错误； 对于C，由选项B知，在上单调递减，C正确； 对于D，根据的周期为4，可得，而， 由选项B知，函数在上单调递增，而不在单调区间内， 若，则不成立，D错误． 故选：AC 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】由，解得，且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题证明方法，构造函数，根据定义域，对函数解析式进行参变分离，求出参数范围. 【详解】设， ，即，在上有解， 则，由变形得， 当时，，根据有解，得. 故答案为：. 14. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增. 而，， 所以的取值范围为. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，且. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解法，求得，根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （2）由，得到或，结合，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由不等式，解得，即， 因为是的必要条件，所以， 又因为且，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：由（1）知：集合，且， 因为，则或，解得或， 又因为，所以实数的取值范围为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且满足． （1）求角B的大小； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求解； （2）利用基本不等式求出ac的最大值，再用面积公式即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，由余弦定理得 ， ，∴ ； 【小问2详解】 因为 ，， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以 ， 所以的面积的最大值； 综上， ，的面积的最大值. 17. 如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，. （1）求棱的长； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）5 （2）证明：由（1）可知中，满足， 所以，且，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合勾股定理和余弦定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，转化为证明平面，即可证明面面垂直； （3）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 中，由余弦定理， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，以点为原点，为轴的正方向，作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ，， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 19. 已知函数 有两个极值点 且 . （1）求实数 的取值范围； （2）证明: . 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知可得有两个根，转化为函数与函数有两个交点，结合图象求解； （2）由，得，令，用表示，代入，构造函数证明. 【小问1详解】 由已知可得， 因为有两个极值点，所以有两个根， 所以函数与函数有两个交点， 对函数，， 当时；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，；时，， 所以函数的图象如图所示， 所以若函数与函数有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）可知，所以① ，② ， ①-②得， 令，则，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递增，所以， 即，得 又，所以， 即，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $