2.2.3直线的一般式方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 第二章 直线与圆的方程 §2.2.3 直线的一般式方程【导学】 导学目标 1.掌握直线的一般式方程.【重点】 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.【重点】 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．【难点】 【知识要点】 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 归纳： 在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)中，方程表示的直线 (1)平行于x轴；y=b (2)平行于y轴；x=a (3)与x轴重合；y=0 (4)与y轴重合．x=0 直线的一般式方程的 应用 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 利用一般式解决直线平行与垂直 问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． (2)可利用如下待定系数法： 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 【典型例题】 题型一　直线的一般式方程与其他形式转化 【例1-1】（衔接教材P65L5）已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程． 【例1-2】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(2，3)； (2)斜率为3，在y轴上的截距为－1； (3)经过A(－1，3)，B(－2，－1)两点； (4)在x，y轴上的截距分别是6，－2. 题型二　直线的一般式方程的应用 【例2-1】若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，求实数m的值． 【例2-2】已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线． （1）当m为何值时，直线的倾斜角为45°； （2）当m为何值时，直线在x轴上的截距为1. 【例2-3】已知A(-2,3)和直线l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 【例2-4】已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值 题型三 直线方程的综合应用 【例3-1】已知a>0,b>0，直线和垂直，求的最小值. 【例3-2】“”是“直线与直线平行”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S， 求S的最小值及此时直线l的方程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $