2.2.3 直线的一般式方程(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 1.B　由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即x－y＝1，即＋＝1，所以直线的截距式方程为＋＝1. 2.A　过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝（x－2），化简可得x－2y＋4＝0. 3.D　由l1∥l2知，a×a＝1×（a＋2），即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1. 4.A　原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－. 5.C　将l1与l2的方程分别化为斜截式得l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a，根据直线的斜率和纵截距的符号判断，选项A中，若两直线平行，则a＝b，与条件矛盾，A错误；选项B中，由直线l1得a＜0，b＞0，则直线l2的纵截距为负数，与图形矛盾，B错误；选项C中，由直线l1得a＞0，b＞0，则直线l2的斜率与纵截距都大于0，符合题意，C正确；选项D中，由直线l1得a＞0，b＜0，则直线l2的斜率为负数，与图形矛盾，D错误.故选C. 6.BD　因为直线l：x＋y＋2＝0，令x＝－，可得y＝1，即直线经过点（－，1），故B正确；由x＋y＋2＝0可得y＝－x－2，所以直线的斜率为－，直线在y轴上的截距为－2，直线l经过第二、三、四象限，故A、C错误，D正确.故选B、D. 7.AD　选项A，当C＝0时，是方程Ax＋By＝0的解，即l过坐标原点，故A正确；选项B，当AB＞0时，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为y＝－x－，则直线l的斜率k＝－＜0，l的倾斜角为钝角，故B错误；选项C，当B＝0，C≠0时，由A，B不全为0，得A≠0，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为x＝－，故直线l和x轴垂直，不平行，故C错误；选项D，直线l过点P（x0，y0），则Ax0＋By0＋C＝0，可得C＝－Ax0－By0，代入直线方程l：Ax＋By＋C＝0，得Ax＋By－Ax0－By0＝0，即A（x－x0）＋B（y－y0）＝0，故D正确.故选A、D. 8.3　解析：由已知得∴m＝3. 9.a≠±1　解析：直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 10.解：（1）直线的斜率为－，由点斜式方程得y－3＝－（x－5），即x＋y－3－5＝0. （2）x＝－3，即x＋3＝0. （3）y＝3，即y－3＝0. （4）根据题意可设直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠－3），将点P（－1，2）代入可得C＝5，可得直线l的方程为x－2y＋5＝0. （5）当直线过原点时满足题意， 此时设直线方程为y＝ax，由直线过点B（1，2）， 得a＝2，故直线方程为y＝2x，化为一般式为2x－y＝0. 当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即－＝1，解得a＝－1，故直线方程为x－y＋1＝0. 11.C　如图，直线2x－y＝0将坐标平面分为两个半平面区域，直线上的点M（m，n）的坐标满足方程2m－n＝0，如点（1，2）；直线左上方的点M（m，n）的坐标满足不等式2m－n＜0，如点（1，3）；直线右下方的点M（m，n）的坐标满足不等式2m－n＞0，如点（1，1），若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0上，则必有（2a－b）（2c－d）＝0；若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0的同侧，则必有（2a－b）·（2c－d）＞0；若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0的异侧，则必有（2a－b）（2c－d）＜0. 12.BC　将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移m（m∈N*）个单位长度，所得直线的方程为y＝－（x－m），即x＋3y－m＝0（m∈N*）.故选B、C. 13.8　解析：因为直线l1：x＋2y＋2＝0和l2：mx＋（1－n）y＋1＝0（m＞0，n＞0）平行，所以n≠1且它们的斜率相等，在y轴上的截距不相等，所以＝－，且≠－1，所以2m＋n＝1（m＞0，n＞0），所以＋＝（2m＋n）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，所以＋的最小值是8. 14.解：（1）由 解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2. （2）由题意可知直线的斜率为负值，且在y轴上的截距为负值. 即 解得2＜m＜， 故m的取值范围为（2，）. （3）由题意知4（m2－3m＋2）＋（m－2）2＝0， 解得m＝2或m＝. 15.解：（1）由题意，当直线PQ的斜率不存在时， t＝10－t，故t＝5，此时P（5，5），Q（5，0）， 直线PQ不经过点M（6，1）； 当直线PQ的斜率存在时，t≠5， kPQ＝， 直线PQ的方程为（2t－10）y＝t（x＋t－10）. 假设直线PQ过点M（6，1）， 则2t－10＝t（6＋t－10），即t2－6t＋10＝0， Δ＝－4＜0，方程无实根，故直线PQ不经过点M（6，1）. 综上，直线PQ不经过点M（6，1）. （2）①证明：由题意设点A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a），点C（2a，a）满足y＝x， 故顶点C一定在直线y＝x上. ②直线PQ的方程为（2t－10）y＝t（x＋t－10）， 因为P（t，t），Q（10－t，0）， 设阴影部分的面积为S， 则S＝S△OPQ－S正方形ABCD＝t（10－t）－a2（0＜t＜10）. 因为点C（2a，a）在直线PQ上， 则（2t－10）a＝t（2a＋t－10）， 所以a＝t（10－t）. 所以S＝5a－a2＝－（a－）2＋. 所以当a＝，即t＝5时， 图中阴影部分的面积取得最大值，Smax＝， 此时点A（，0），B（5，0），C（5，），D（，）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3　直线的一般式方程 1.直线3x－2y－4＝0的截距式方程是（　　） A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝4 D.x－＝1 2.过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（　　） A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0 3.已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为（　　） A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1 4.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为（　　） A.－，－1 B.，－1 C.－，1 D.，1 5.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0（a≠0，b≠0，a≠b）在同一坐标系中的图形大致是（　　） 6.〔多选〕关于直线l：x＋y＋2＝0，下列说法正确的有（　　） A.直线l的斜率为－ B.经过点（－，1） C.在y轴上的截距为2 D.直线l经过第二、三、四象限 7.〔多选〕已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，则下列说法正确的是（　　） A.当C＝0时，l过坐标原点 B.当AB＞0时，l的倾斜角为锐角 C.当B＝0，C≠0时，l和x轴平行 D.若直线l过点P（x0，y0），直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0 8.若直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m＝　　　　. 9.三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围为　　　　. 10.根据下列条件分别求直线的方程，并化为一般式方程： （1）经过点A（5，3），且倾斜角为120°； （2）过点B（－3，0），且垂直于x轴； （3）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； （4）过点P（－1，2），且与直线x－2y－3＝0平行； （5）过点B（1，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数. 11.已知点P（a，b），Q（c，d），若（2a－b）（2c－d）＜0，则下列结论正确的是（　　） A.P，Q在直线2x－y＝0上 B.P，Q在直线2x－y＝0同侧 C.P，Q在直线2x－y＝0异侧 D.P，Q在直线x－2y＝0异侧 12.〔多选〕将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移m（m∈N*）个单位长度，所得直线的方程可能为（　　） A.3x－y＋1＝0 B.x＋3y－1＝0 C.x＋3y－3＝0 D.x＋3y＋3＝0 13.（2025·盐城月考）已知直线l1∥l2，其方程分别为l1：x＋2y＋2＝0，l2：mx＋（1－n）y＋1＝0，其中m＞0，n＞0，则＋的最小值为　　　　. 14.若方程（m2－3m＋2）x＋（m－2）y－2m＋5＝0表示直线. （1）求实数m需满足的条件； （2）若该直线经过第二、三、四象限，求实数m的取值范围； （3）若该直线与直线4x＋（m－2）y－16＝0垂直，试求m的值. 15.已知t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10－t，0）. （1）直线PQ是否经过点M（6，1）？ （2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上. ①求证：顶点C一定在直线y＝x上； ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $