湖北省部分高中协作体2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题

湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x2},则集合A∩B的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：如图,函数y=x与y=x2的图象有两个交点,故集合A∩B有两个元素。故选C。 答案：C 2.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　(中间量法):因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e>1,所以c>a>b。故选D。 答案：D 3.已知f(x)=|3x-1|+2,若关于x的方程[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0有三个实根,则实数a的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(2,3) D.(3,+∞) 解析　 因为[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0,所以f(x)=2或f(x)=a,作出函数f(x)的图象如图所示, 由图可得f(x)=2有一个实根0,所以要使f(x)=a有两个不同非零实根,只需2<a<3。故选C。 答案：C 4.已知函数f(x)=2cos,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 解析　a=f,b=f,c=f,因为y=cos x在[0,π]上单调递减,,所以a>b>c。故选A。 答案：A 5.“勾三股四弦五”是勾股定理的一个特例。根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题,比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年。如图,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾三股四弦五”,且AB=3,E为AD上一点,BE⊥AC。若=λ+μ,则λ+μ的值为( ) A.- B. C. D.1 解析　 由题意建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,3),C(4,0),=(0,3),=(4,-3)。 设|AE|=a,则E(a,3),=(a,3)。因为BE⊥AC,所以·=4a-9=0,解得a= =λ+μ,得(0,3)=λ+μ(4,-3),所以 所以λ+μ=。故选B。 答案：B 6.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=( ) A.2 B.1 C. D. 解析　由,得b=。故选D。 答案：D 7.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交 解析　若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则线面相交。A不正确,α内存在直线与a相交;B正确,C不正确,因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面,不可能平行;D不正确,α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交。故选B。 答案：B 8.为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用按比例分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是3∶1,被抽到的参与环保调研的村民中,甲村的人数比乙村多8,则参与环保调研的总人数是( ) A.16 B.24 C.32 D.40 解析　设参与环保调研的总人数为4n,则甲村和乙村参与环保调研的人数分别为3n,n。甲村的人数比乙村多8,即3n-n=2n=8,解得n=4,所以参与环保调研的总人数为4n=16。故选A。 答案：A 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列各图中,能表示函数y=f(x)的图象的是( ) A　　　B C　　　D 解析　选项B中图象,对于x≠0的一个x值,有两个y值与之对应,故不是函数图象;选项A,C,D中图象,均满足函数定义,故是函数图象。故选ACD。 答案：ACD 10.已知复数z,w均不为0,则( ) A.z2=|z|2 B. C. D. 解析　设z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R)。 对A:z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi,|z|2==a2+b2,故A错误; 对B: ,又·z=,即有,故B正确;对C:z-w=a+bi-c-di=a-c+i, 则i,=a-bi,=c-di,则i, 即有,故C正确; 对D:= , ,故,故D正确。 故选BCD。 答案：BCD 11.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 解析　设样本数据x1,x2,…,xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为,m,σ,t,依题意得,新样本数据y1,y2,…,yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为+c,m+c,σ,t,因为c≠0,所以C,D正确。故选CD。 答案：CD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= 。  解析　因为f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期T=6, 于是f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1,f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,而2 024=6×337+2, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=337×1+1+2=340。 答案：340 13.如图,有一个圆锥形粮堆,其轴截面是边长为8 m的等边三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 m。  解析　将圆锥沿母线AC所在直线展开,如图所示,根据题意可得△ABC是边长为8 m的正三角形,所以BC=8 m,所以圆锥底面圆周长为2π×4=8π(m)。设圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为n,点B在展开图中对应的点为B',连接AB',B'P。根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,可得8n=8π,故n=π,则∠B'AC=,所以B'P=(m),所以小猫所经过的最短路程是4 m。 答案：4 14.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= 。  解析　因为=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2),且A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ, 即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),所以所以m+n=-3。 答案：3 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（本小题满分14分） 已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1。 (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围;(7分) (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式。(7分) 解　(1)当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需同时满足≥2,a>0,解得0<a≤。当a<0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下,对称轴方程为x=<0,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0。综上,a的取值范围 是(-∞,0)∪。(7分) (2)①当0<<1,即a>时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时g(a)=f(1)=3a-2。 ②当1≤≤2,即≤a≤时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1。③当>2,即0<a<时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,此时g(a)=f(2)=6a-3。 综上所述,g(a)=(7分) 16.（本小题满分14分） 已知函数f(x)=cos xsin x+sin2x。 (1)化简f(x)的表达式; (7分) (2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间。(7分) 解　(1)f(x)=。(7分) (2)函数f(x)的最小正周期为=π,令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z。(7分) 17.（本小题满分15分） 已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。 (1)求角C的大小; (7分) (2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。(8分) 解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π, 所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。 又因为C∈(0,π),故C=。(7分) (2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。(8分) 18.（本小题满分16分） 如图,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为4,点M为棱AA1的中点,P,Q分别为棱BB1,CC1上的点,且B1P=CQ=1,PQ交BC1于点N。 (1)求证:MN∥平面ABCD; (8分) (2)求多面体BDMPQ的体积。(8分) 解　(1)证明:因为B1P=CQ=1,正方体的棱长为4,所以BP=C1Q=3,BP∥C1Q, 所以△BPN≌△C1QN。所以BN=C1N,即点N为线段BC1的中点。过点N作NE⊥BC,垂足为点E,连接AE(图略),则NE∥CC1,且NE=CC1=2,所以NE∥AM,且NE=AM=2, 所以四边形AMNE为平行四边形。所以MN∥AE。又MN⊄平面ABCD,AE⊂平面ABCD, 所以MN∥平面ABCD。(8分) (2)设多面体BDMPQ的体积为V,连接DP(图略), 则V=VB⁃MPD+VB⁃QPD=2VD⁃BMP=2××3×4×4=16。(8分) 19.（本小题满分18分） 如图,已知平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形, AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°。 (1)求线段AC1的长; (6分) (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(6分) (3)求证:AA1⊥BD。(6分) 解　(1)设=a,=b,=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底, 则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1。 因为=a+b+c, 所以||=|a+b+c|= 。 所以线段AC1的长为。(6分) (2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ, 则cos θ=|cos<,=a+b+c,=b-c,所以 · =(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,| 。所以cos θ=。 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为。(6分) (3)证明:因为=c,=b-a,所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所以, 即AA1⊥BD。(6分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x2},则集合A∩B的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 3.已知f(x)=|3x-1|+2,若关于x的方程[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0有三个实根,则实数a的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(2,3) D.(3,+∞) 4.已知函数f(x)=2cos,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 5.“勾三股四弦五”是勾股定理的一个特例。根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题,比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年。如图,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾三股四弦五”,且AB=3,E为AD上一点,BE⊥AC。若=λ+μ,则λ+μ的值为( ) A.- B. C. D.1 6.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=( ) A.2 B.1 C. D. 7.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交 8.为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用按比例分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是3∶1,被抽到的参与环保调研的村民中,甲村的人数比乙村多8,则参与环保调研的总人数是( ) A.16 B.24 C.32 D.40 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列各图中,能表示函数y=f(x)的图象的是( ) A　　　B C　　　D 10.已知复数z,w均不为0,则( ) A.z2=|z|2 B. C. D. 11.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= 。  13.如图,有一个圆锥形粮堆,其轴截面是边长为8 m的等边三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 m。  14.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= 。  四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（本小题满分14分） 已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1。 (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围;(7分) (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式。(7分) 16.（本小题满分14分） 已知函数f(x)=cos xsin x+sin2x。 (1)化简f(x)的表达式; (7分) (2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间。(7分) 17.（本小题满分15分） 已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。 (1)求角C的大小; (7分) (2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。(8分) 18.（本小题满分16分） 如图,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为4,点M为棱AA1的中点,P,Q分别为棱BB1,CC1上的点,且B1P=CQ=1,PQ交BC1于点N。 (1)求证:MN∥平面ABCD; (8分) (2)求多面体BDMPQ的体积。(8分) 19.（本小题满分18分） 如图,已知平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形, AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°。 (1)求线段AC1的长; (6分) (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(6分) (3)求证:AA1⊥BD。(6分) 共4页，第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题答案 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A B D B A 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.答案：ACD 10.答案：BCD 11.答案：CD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12.答案：340 13.答案：4 14.答案：3 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（本小题满分14分） 解　(1)当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需同时满足≥2,a>0,解得0<a≤。当a<0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下,对称轴方程为x=<0,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0。综上,a的取值范围 是(-∞,0)∪。(7分) (2)①当0<<1,即a>时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时g(a)=f(1)=3a-2。 ②当1≤≤2,即≤a≤时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1。③当>2,即0<a<时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,此时g(a)=f(2)=6a-3。 综上所述,g(a)=(7分) 16.（本小题满分14分） 解　(1)f(x)=。(7分) (2)函数f(x)的最小正周期为=π,令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z。(7分) 17.（本小题满分15分） 解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π, 所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。 又因为C∈(0,π),故C=。(7分) (2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。(8分) 18.（本小题满分16分） 解　(1)证明:因为B1P=CQ=1,正方体的棱长为4,所以BP=C1Q=3,BP∥C1Q, 所以△BPN≌△C1QN。所以BN=C1N,即点N为线段BC1的中点。过点N作NE⊥BC,垂足为点E,连接AE(图略),则NE∥CC1,且NE=CC1=2,所以NE∥AM,且NE=AM=2, 所以四边形AMNE为平行四边形。所以MN∥AE。又MN⊄平面ABCD,AE⊂平面ABCD, 所以MN∥平面ABCD。(8分) (2)设多面体BDMPQ的体积为V,连接DP(图略), 则V=VB⁃MPD+VB⁃QPD=2VD⁃BMP=2××3×4×4=16。(8分) 19.（本小题满分18分） 解　(1)设=a,=b,=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底, 则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1。 因为=a+b+c, 所以||=|a+b+c|= 。 所以线段AC1的长为。(6分) (2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ, 则cos θ=|cos<,=a+b+c,=b-c,所以 · =(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,| 。所以cos θ=。 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为。(6分) (3)证明:因为=c,=b-a,所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所以, 即AA1⊥BD。(6分) 学科网（北京）股份有限公司 $