1.1 菱形的性质与判定同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 一．选择题（共8小题） 1．已知菱形的两条对角线长分别为6和8cm，则这个菱形的边长是（　　）厘米． A．8 B．5 C．10 D．4.8 2．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点C的坐标为（2，0），∠D＝60°，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 5．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝18，则AB＝（　　） A．15 B．30 C．18 D．13 6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　） A．23 B．20 C．15 D．10 7．如图，下列条件中①AC⊥BD②∠BAD＝90°③AB＝BC④AC＝BD，能使平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 8．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD 二．填空题（共8小题） 9．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　 ． 10．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则菱形的边长为　 　 ． 11．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BCD＝60°，点E是CD上一动点（不与C、D重合），点F是AD上一动点，AF+CE＝6，则△BEF面积的最小值为 　 　 ． 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　 　 （限填序号）． 13．如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　 　 ． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　 　 ． 15．如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若，则EF＝　 　 cm． 16．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，AC＝AE，点E在线段AB的延长线上，若点E表示的数是1，则点A表示的数是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BD上的点，且DE＝BF，连接BE、DF相交于点G． 求证：（1）BE＝DF； （2）∠ABE＝∠ADF． 18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝∠C． 求证：四边形ABCD是菱形． 20．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF、OC， （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB，BD＝2，求OE的长． 22．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，∠BED＝∠BFD． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝8，AD＝4，∠A＝60°，当AE的长为　 　 时，四边形BEDF是菱形． 23．求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 如图，已知①　 　 ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：②　 　 ． 嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程． 24．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF． （1）如图1，求证：四边形EBFD是菱形； （2）如图2，∠ABC＝90°，AE＝EO，请直接写出图中的所有等边三角形． 1.1 菱形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．已知菱形的两条对角线长分别为6和8cm，则这个菱形的边长是（　　）厘米． A．8 B．5 C．10 D．4.8 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，得出菱形的两条对角线互相平分且垂直，即对角线的长分别是3cm，4cm，运用勾股定理列式，即，进行作答． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的两条对角线互相平分且垂直， 则， ∴对角线的长分别是3cm，4cm， ∴， ∴菱形的边长分别是5cm， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，掌握以上性质是解题的关键． 2．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，∠ACB＝∠ACD∠BCD＝60°，可证△ABC是等边三角形，可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD∠BCD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点C的坐标为（2，0），∠D＝60°，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AC，作DE⊥x轴于点E，可证明△ABC是等边三角形，得到BC＝2OC＝4，得出AB＝AD＝CD＝BC＝4，求出CE＝2，根据勾股定理求出，得到点D的坐标为，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AC，作DE⊥x轴于点E， ∴∠DEC＝90°， ∵菱形ABCD，∠ADC＝60°， ∴∠B＝∠ADC＝60°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∵AO⊥BC， ∴BC＝2OC， ∵点C的坐标为（2，0）， ∴OC＝2， ∴BC＝2OC＝4， AB＝AD＝CD＝BC＝4， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝30°， ∴， ∴， ∵OE＝OC+CE＝2+2＝4， ∴点D的坐标为， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°角直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】根据菱形的对角线性质求边长后可计算周长． 【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图： ∵ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4． ∴AB＝5． ∴周长＝4×5＝20． 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的性质：对角线互相垂直且平分；四边相等．属基础题． 5．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝18，则AB＝（　　） A．15 B．30 C．18 D．13 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分得到AO，BO，结合勾股定理求解即可得到答案． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝18， ∴AO＝12，BO＝9，AO⊥BO， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，掌握菱形的性质及勾股定理世界提的关键． 6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　） A．23 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB＝BC＝5，那么就可求菱形的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠CAD∠BAD， ∴∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵△ABC的周长是15， ∴AB＝BC＝5， ∴菱形ABCD的周长是20． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形． 7．如图，下列条件中①AC⊥BD②∠BAD＝90°③AB＝BC④AC＝BD，能使平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ①若AC⊥BD，则可得其为菱形，①成立， ②中∠BAD＝90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误， ③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立， ④中得到其为矩形，并不能得到其为菱形，所以④不成立， 故A选项中①③都正确，B中②不成立，C中④错误，而D中多一个选项②也不对， 故选：A． 【点评】熟练掌握菱形的性质及判定定理． 8．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理即可得出答案． 【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 故A不符合题意； ∵∠B＝∠C， ∴四边形ABCD为矩形， 故B不符合题意； ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形． 故C符合题意； ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD为矩形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　24　 ． 【答案】24． 【分析】先求出菱形的边长，根据勾股定理再求得另一对角线的长，根据面积公式求出面积． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝4， 在直角三角形ABO中，由勾股定理得，AO＝3， ∴AC＝6， ∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查菱形的性质，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决． 10．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则菱形的边长为　5cm　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据菱形的面积求出另一条对角线的长，再由对角线互相垂直且平分，可得直角三角形，利用勾股定理可得出边长． 【解答】解：由题意得：AC＝8cm， ∵菱形的面积为24cm2， ∴BD＝6cm， ∴AO＝4cm，OD＝3cm， 在Rt△AOD中，AD5（cm）， 故答案为：5cm． 【点评】本题考查菱形的性质，比较简单，关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 11．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BCD＝60°，点E是CD上一动点（不与C、D重合），点F是AD上一动点，AF+CE＝6，则△BEF面积的最小值为 　　 ． 【答案】． 【分析】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小． 【解答】解：连接BD， ∵菱形ABCD边长为6，∠BAD＝60°； ∴△ABD与△BCD为正三角形， ∴∠FDB＝∠BCE＝60°， ∵AF+CE＝6，DF+AF＝6， ∴CE＝DF， ∵BD＝BC， ∴△BDF≌△BCE（SAS）， ∴BF＝BE，∠CBE＝∠DBF， ∴∠EBF＝∠CBD＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴当BE⊥CD时，△BEF的面积最小，此时BE＝3， ∴边BE上的高为3， ∴△BEF面积的最小值3， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　①③　 （限填序号）． 【答案】①③． 【分析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【解答】解：添加条件①时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴不能得到四边形ABCD是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查了菱形的判定定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 13．如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　（2，4）　 ． 【答案】（2，4）． 【分析】过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 【解答】解：过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E， ∴AD∥BE，∠ADO＝90°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB，AB∥OC， ∴四边形ADEB是矩形， ∴AD＝BE，AB＝DE， ∵点A的坐标为（﹣3，4）， ∴AD＝4，OD＝3， ∴， ∴BE＝4，AB＝DE＝5， ∴OE＝DE﹣OD＝2， ∴点B（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　3　 ． 【答案】3． 【分析】由菱形的性质可得 AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD，由勾股定理可求BO的长，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO3， ∴BD＝6， ∵DE⊥AB，BO＝DO， ∴OEBD＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 15．如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若，则EF＝　2　 cm． 【答案】2． 【分析】根据菱形的性质证明△ABD是等边三角形，△CDF≌△ABE（ASA），得AE＝CF，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD， 由菱形性质可知AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°， ∵BE＝2cm， ∴BD＝ABBE＝6cm， ∴BO＝3cm， ∴AOBO＝3cm， ∴AC＝2AO＝6cm， ∵BE⊥AB，DF⊥CD， ∴∠CDF＝∠ABE＝90°； ∴△CDF≌△ABE（ASA）， ∴AE＝CF， ∵∠BAE＝30°， ∴CF＝AE＝2BE＝4cm， ∴EF＝AE+CF﹣AC＝4462（cm）， 故答案为：2． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△CDF≌△ABE是解题的关键． 16．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，AC＝AE，点E在线段AB的延长线上，若点E表示的数是1，则点A表示的数是　　 ． 【答案】． 【分析】过点C作AE的垂线，垂足为点F，在直角三角形ACF和直角三角形BCF中，运用勾股定理可以求出AC的长，进而解决问题． 【解答】解：如图，作CF⊥AE于点F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝1，AC平分∠DAB，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°， ∴∠CAB∠DAB＝30°， ∴BF＝BC＝1， ∴，， ∴ ∴， ∵点E表示的数是1， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴上的点与两点之间的距离，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BD上的点，且DE＝BF，连接BE、DF相交于点G． 求证：（1）BE＝DF； （2）∠ABE＝∠ADF． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程． 【分析】（1）由菱形的性质可得DC＝BC，可证CE＝CF，由SAS可证△BCE≌△DCF，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得∠CBE＝∠CDF，可得∠ABE＝∠ADF． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝BC， ∵DE＝BF， ∴CE＝CF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF； （2）∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠ADF． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OB＝OD，根据角平分线的性质得到AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形； （2）根据已知条件得到CD＝10，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵AC 平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，OD8，OCAC＝6， ∴CD10， ∵DP∥AC，CP∥BD， ∴四边形OCPD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形OCPD是矩形， ∴OP＝CD＝10． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝∠C． 求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】见解析． 【分析】连接AC，根据全等三角形的判定和性质定理，以及菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：连接AC， 在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， 又∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 20．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF、OC， （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 【答案】（1）见详解； （2）． 【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明其临边相等即可； （2）过点O作OH⊥BC于H，先求BO，再求OH，BH，HC，最后根据勾股定理求OC． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AF∥BE， ∵点E、F分别是BC、AD的中点， ∴， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵BC＝2AB，且BC＝2BE， ∴AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）如图，过点O作OH⊥BC于H， 由（1）知，四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴，BO⊥AE， ∵AB＝8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵BC＝2AB＝2×8＝16， HC＝BC﹣BH＝16﹣6＝10， ∴． 【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB，BD＝2，求OE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证∠CAB＝∠DCA，再证∠DAC＝∠DCA，得CD＝AD＝AB，即可解决问题； （2）由菱形的性质得OA＝OC，BD⊥AC，OBBD＝1，再利用勾股定理求出OA＝2，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝2， ∴OA＝OC，BD⊥AC，OBBD＝1， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2， ∴AC＝2OA＝4， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝2， 即OE的长为2． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，∠BED＝∠BFD． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝8，AD＝4，∠A＝60°，当AE的长为　4　 时，四边形BEDF是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质得到∠CFB＝∠ABF，BE∥DF，根据平行四边形的判定定理得到四边形BEDF是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到BE＝AB﹣AE＝4，AD＝AE，根据等边三角形的性质得到DE＝AD＝4，求得BE＝DE，由（1）知四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BFD， ∴∠AED＝∠CFB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠CFB＝∠ABF，BE∥DF， ∴∠AED＝∠ABF，BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：当AE的长为4时，四边形BEDF是菱形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，AE＝4，AD＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝4，AD＝AE， ∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝4， ∴BE＝DE， 由（1）知四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形． 故答案为：4． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 23．求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 如图，已知①　AB⊥BD　 ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：②　四边形ABCD是菱形　 ． 嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程． 【答案】①AB⊥BD，②四边形ABCD是菱形．证明见解析． 【分析】根据菱形的判定定理即可证得结论． 【解答】解：已知：AB⊥BD，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：①AB⊥BD，②四边形ABCD是菱形． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解决问题的关键． 24．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF． （1）如图1，求证：四边形EBFD是菱形； （2）如图2，∠ABC＝90°，AE＝EO，请直接写出图中的所有等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）△AOB，△COD，△BEF，△DEF都是等边三角形． 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质得出AO＝CO，∠AEO＝∠CFO，进而得出△AEO≌△CFO，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可； （2）根据等边三角形的判定解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠OCF，∠AEO＝∠OFC， ∴△AEO≌△CFO， ∴OE＝OF， ∴四边形EBDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD是菱形， （2）解：在Rt△ABE和Rt△EOB中， ∵AE＝OE，BE＝BE， ∴Rt△ABE≌Rt△EOB（HL）， ∴AB＝OB，AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， 同理可证明△COD是等边三角形， ∵ABAC， ∴∠ACB＝30°， ∴∠CBO＝30°， ∵∠AEE＝∠OBE＝30°， ∴∠CBO＝30°， ∴∠EBF＝60°， ∴∠BFO＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 同理可证明：△DEF是等边三角形 ∴△AOB，△COD，△BEF，△DEF都是等边三角形． 【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，根据已知得出EO＝FO是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $